八年级数学张美玲海伦公式

1、C1407班的李镜楠有一天拦住我，说：“老师，我觉得海伦公式很重 要，你可以讲一下吗”海伦公式一、什么是海伦公式如图1,在三角形ABC, A=15, B=14, C=13求三角形ABC的面积，运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗像这样的题目，用海伦公式很容易解决，那么，什么是海伦公式呢海伦公式：三角形的面积S .ppa pb pc其中：a、b、c分别是三角形的三边长，p - a b c2海伦公式亦称“海伦-秦九韶公式”。此公式（利用三角形的三 条边长来求三角形面积）相传是亚历山大港的海伦发现的， 并可在其 于公元60年的Metrica中找到其证明。亦有认为早于阿基米德时 代已经懂得这条公式，

2、而由于Metrica »是一部古代数学知识的结 集，该公式的发现时期很有可能先于海伦的著作。亚历山大里亚的海伦 （希腊语：？p（OY ? ?入£2丫3 p e ? ?）（公元10年70年），是一位古希腊数学家，居住于托 勒密埃及时期的罗马省。他也是一名活跃于其家乡亚历山大里亚的工 程师，他被认为是古代最伟大的实验家，他的著作在希腊化时期文明 （Hellenistic civilization ）科学传统方面享负盛名。我国南宋末年数学家秦九韶，其著作数书九章卷五第二题即 三斜求积。“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里, 大斜一h五里，里法三百步，欲知为田几何”答

3、曰：“三百十五顷. 其术文是：“以小斜哥并大斜哥，减中斜哥，余半之，自乘于上；以 小斜哥乘大斜哥，减上，余四约之为实，开平方得积。”若以大 斜记为a,中斜记为b,小斜记为c,用现代公式表示即为：12 24 ca (能否由秦九韶的公式推导出海伦公式 二、秦九韶公式推导出海伦公式 详见人教版教材八年级下册三、秦九韶公式的证明中国古代的天元术发展水平非常高， 猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，从三角形最基本的面积公式S ABC 1aha入手，利用勾股定理，布列方程组求高。 2如图2,图2 222x y c在ABC, AD为边BC上的高，根据勾股定理，有 x2 z2 b2

4、y z a解方程，得2a2,22a b c z 2a:22222-2 z a C b2122 22 ；-2T2x Jcy 、C (2a)2a、4ac (a c b)2 2 2又因为 Sabc 口aha,所以 s Jc2a2 (C a b )2242三、海伦公式的证明那么，海伦公式如何证明呢海伦公式：三角形的面积S ppa p b p c其中：a、b、c分别是三角形的三边长，p 2 a b c222证明(1)：由余弦定理可知：cosC a b c ,由此得出 2absinC _1 cos2C1 cosC 1 cosC2 222221 a b c a b c2 2ab2aba2 b2 2ab c2

5、 c2 a2 b2 2ab, 2ab2ab,222.2a b c c a b2ab2ab1 a b c a b c a b c a b c2ab由 p 1 a b c 可得: 2a b c 2 p ,abcabc 2c 2P 2c 2pc ,abcabc 2a 2P 2a 2P a ,abcabc 2b 2P 2b 2Pb ,因此：1 sin C abcabc a b c a b c2ab ,2 P P a p b p c a b由三角形面积公式 S 1absinC即得2S p p a p b p c上述证明用到了三角函数 sinC、cosC,因为初二年级的学生还 没有接触三角函数，我们也可以

6、考虑用以下的方法证明。图3BT是 ABC 的AC边上的高,占T八、I为垂足。记 AB c ,AC b, BC a, BT h , CT d （见上图）证明（2）: ABC是锐角三角形（图3）,则由勾股定理有2 a2 c,2.2d h122b d h22由（1）式得出,带入（2）式：c2 b展开，即得c2b2a2 h2 2b； a2 h2 h2 ,由此式解得,2.22, 22 2,2 4ab a b c a b c abc abc abch 2 2，4b24 b2类似于证明（1）,得出,2 4ppa p b p c h,由于三角形面积S 2bh,由上式即得S p p a p b pc若ABC是钝

7、角三角形（图4）,不失一般性，设 C 90则由勾股定理有a2 d2 h21c2 b d 2 h23类似于ABC是锐角三角形的情况，可得h2 4p p a p b pc h2b因而亦得s p p papbpc 。若ABC是直角三角形（图4）,不失一般性，设 C 90 由勾股定理有a2 b2 c2。.p p a p b p ca b c abcabcabc222212 2 22-Jab c c a b4 ,-ab2故，止匕时仍有 s j p papbpc-。四、海伦公式的推导 海伦公式形式漂亮，结构工整，有多种变形，如:S= . p(p a)(p b)(p c)1 =.(a b c)(a b c)

8、(a c b)(b c a) 4= P(a b)2 C2C2(a b)2丁 (a2b2 c2加"(a2 b2 c2 2的二 14a2b2一厂b=c2)212 22 22 2444=,2a b 2a c 2b c a b c 4三角形的面积和三边有如此优美和谐的关系，我们不禁会类比猜想，简单四边形的面积和它的四条边又是什么关系呢由于三角形内 接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形 ABCD 中，设四条边长分别为a,b,c,d ,且p -bycd，则S四边形=(p a)(p b)(p c)(p d)现根据猜想进行证明。证明：如下图，延长 DA CB交于点E。设EA =

9、e EB = f/ 1 + /2 =180° /2+/ 3 =180°/ 1 = / 3/. AEAE3- A ECD二 =e = b , S eab =2b2a ef cd8ra 边形 abcdd b解得：e =组孑 d2 b2f =b(ad bc) d2 b222由于S 四边形 ABCD=2Sa EABb222、将，跟b =%单代入海伦公式公式变形, d2 b2得：.S 四边形 ABCD= d2 2b2 Je"© 上 昌24b2d2 b24b2b4(ab cd)2(d2 b2)2 b2(ab cd)2b2(d2 b2)2 b2(ad bc)2 24

10、(d2 b2)4( (d2 b2)2 (d2 b2)2(d2 b2)2 )d2 b24b2(b"2 22 2222 22 2/,22、4 4(ab cd)2(d2 b2)2 (ab cd)2 (d2 b2)2 (ad bc)22 .(d b )1= 4(d2 b2)l222 2222 222.4(ab cd) (d b ) ab cd d b ad bc1= 4(d2 b2)2,2.2、2, 2, 22,2.4.42,22,2.22、.4(ab cd) (db )(a bc d db2d ba db c )122= 4(d b )222 222222222224(ab cd) (d b ) b (a b d c ) d (d b a c )122-"= 4(d b ) (d2 b2)24(ab cd)2 (c2 d2 b2 a2)21=4 . (2ab 2cd c2 d2 b2 a2)(2ab 2cd d2 b2