常微分方程33线性常系数齐次方程ppt课件

1、3.3线性齐次常系数方程 在上一节中我们讨论了线性方程通解的在上一节中我们讨论了线性方程通解的结构问题，但却没有给出求通解的具体方法出，结构问题，但却没有给出求通解的具体方法出，对一般的线性方程没有普遍的解法，对一般的线性方程没有普遍的解法，但对常系数线性方程及可化为这一类型的方程，但对常系数线性方程及可化为这一类型的方程，可以说是彻底的解决了，本节将介绍求解常系数可以说是彻底的解决了，本节将介绍求解常系数齐次方程通解的解法。齐次方程通解的解法。一一 复值函数复值函数 假如假如 和和是区间是区间(a,b)(a,b)上定义的上定义的)(t)(t称称为该区间上为该区间上(a,b)()()(titt

2、z实函数，实函数，的复值函数的复值函数 . 1 1 连续连续 如果实函数如果实函数 和和在区间在区间(a,b)(a,b)上上)(t)(t就称就称在区间上在区间上(a,b)上连续上连续.)(tz连续连续,2 2 可微可微 如果实函数如果实函数 和和在区间在区间(a,b)(a,b)上上)(t)(t就称就称在区间上在区间上(a,b)上可微上可微.)(tz可微可微,且复值函数且复值函数 )(tz的导数定义如下的导数定义如下: : dtdidtddtdzdttdzdttdzdttztzd)()()()(2121dttdzcdttczd)()(11dttdztztzdttdzdttztzd)()()()(

3、)()(212121性质性质1:性质性质2:性质性质3:那么有如下性质那么有如下性质: :假设假设)(1tz)(2tz和和可微可微,c为复值常数，为复值常数，! 4)(! 2)(1 42tt! 5)(! 3)(53tttititsincos 3 3 欧拉公式欧拉公式 1) 1) 复指函数与欧拉公式复指函数与欧拉公式titetisincos)(21costitieet)(21sintitieeit其中其中)(tie! 3)(! 2)(132titititittiteeee)(2) 2) 复指函数的性质复指函数的性质记记i表示表示i的共轭的共轭.性质性质1:ttee性质性质2:1212()ttte

4、ee性质性质3:()ttdeedt 4 4 复值解复值解 考虑方程考虑方程 1111( )( )( )( )nnnnnnd xdxdxa tata t xf tdtdtdt其中其中( )ftatb ),2 , 1)(nitai及及是区间是区间 上的上的实函数实函数.若有区间若有区间a,b上复值函数上复值函数:)()()(tittzx为上述方程的复值解为上述方程的复值解. .满足上述方程，满足上述方程，)(tzx 则称则称定理定理3.123.12 如果方程如果方程1111( )( )( )0nnnnnnd xdxdxa tata t xdtdtdt中所有系数中所有系数),2 , 1)(nitai

5、都是实值函数都是实值函数.而而是该方程的复值解是该方程的复值解, ,)()()(tittz以及以及那么那么 的实的实部部和虚部和虚部)(tz)(t)(t)(tz的的共轭共轭)(tz也都是该方程的解也都是该方程的解.(3.3.4)(3.3.4)证明：证明：由已知条件及由已知条件及 的性质可得的性质可得 xL0)()()()(tiLtLtitL由此得由此得0)()(tLtL所以所以 ， 都是方程都是方程3.3.4的解的解)(t)(t0 )(tzL)(tz即即 也是方程也是方程3.3.4的解的解.0)()(tLtL因为因为 可得可得)()( )(tiLtLtzL又又1111( )( )( )0nnn

6、nnnd xdxdxa tata t xdtdtdt(3.3.4)(3.3.4)二二 常系数齐次线性方程常系数齐次线性方程 11110nnnnnnd xdxdxaaa xdtdtdt（3.3.53.3.5）（其中（其中 为常数为为常数为n n阶常系数齐次线性方程阶常系数齐次线性方程. .12,na aa 为求得该方程的通解，我们先利用为求得该方程的通解，我们先利用待定指数函数法求其基本解组待定指数函数法求其基本解组. . 一阶常系数齐次线性微分方程一阶常系数齐次线性微分方程xdtdx有通解有通解tcex因而，对方程因而，对方程3.3.53.3.5求指数函求指数函数形式的解数形式的解tex（3.

7、3.63.3.6）把把3.3.63.3.6代入方程代入方程3.3.53.3.5得得0)(12211tnnnnnteaaaaeL成为方程成为方程3.3.53.3.5解的充要条件为：解的充要条件为：te11110nnnnnnd xdxdxaaa xdtdtdt（3.3.53.3.5） 方程方程3.3.73.3.7称为方程称为方程3.3.53.3.5的特征方程，的特征方程，它的根称为方程它的根称为方程3.3.53.3.5的特征根的特征根. .0)(12211nnnnnaaaaF（3.3.73.3.7）1 1 特征根为单根特征根为单根 设设 是是3.3.73.3.7的的n n个不相同根，个不相同根，

8、12,n 则对应方程则对应方程3.3.53.3.5有有n n个解个解12,nttteee（3.3.83.3.8）11110nnnnnnd xdxdxaaa xdtdtdt（3.3.53.3.5）0)(12211nnnnnaaaaF（3.3.73.3.7） 这这n n个解在区间个解在区间a t ba t 1重实根重实根 k方程有方程有m m个解个解 1,kkktttmetete11110nnnnnnd xdxdxaaa xdtdtdtc) 对每一个重数为对每一个重数为1的共轭复根的共轭复根 cos,sinttet eti方程有方程有2 2个解：个解：d)d)对每一个重数对每一个重数 m 1m 1

9、的共轭复根的共轭复根 i第三步第三步 根据第二步写出基本解组和通解根据第二步写出基本解组和通解 解：特征方程解：特征方程 32340故特征根为故特征根为 11 2,32例例1 1：求：求3232340d xd xxdtdt的通解的通解. .其中其中11 2,32是单根，是单根，是二重根，是二重根，因此有解因此有解.,22tttteee方程通解为：方程通解为：.)(23221ttttececectx其中其中123,c c c为任意常数为任意常数. .例例2 2：求：求的通解的通解. .044 xdtxd解：特征方程解：特征方程 014故特征根为故特征根为 ii4321, 1, 1上述两实根和两复

10、根均是单根，方程通解为：上述两实根和两复根均是单根，方程通解为：.sincos)(4321tctcecectxtt其中其中为任意常数为任意常数. .4321,cccc例例3 3：求：求的通解的通解. .033223344dtdxdtxddtxddtxd解：特征方程解：特征方程 0) 1(333234故特征根为故特征根为 1, 021.)()(24321tetctccctx其中其中为任意常数为任意常数. .4321,cccc方程通解为：方程通解为：其中其中是单根，是单根，是三重根，是三重根，0112例例 4 4：求：求 的通解的通解 424220d xd xxdtdt方程的四个实值解为：方程的四

11、个实值解为：cos , cos ,sin , sint ttt tt故通解为故通解为 解：特征方程解：特征方程 422221(1)0 特征根特征根 i2, 1是二重根是二重根. .1234( )()cos()sinx tcc ttcc tt其中其中为任意常数为任意常数. .4321,cccc三三 某些变系数线性齐次微分方程的解法某些变系数线性齐次微分方程的解法1 1 化为常系数法化为常系数法 欧拉方程欧拉方程 111110nnnnnnnnd xdxdxta taa xdtdtdt这里这里为常数为常数. .),2, 1(niai令令 ute将欧拉方程化为常系数将欧拉方程化为常系数 齐次微分方程齐

12、次微分方程. .特点：特点：x的的k k 阶导数的系数是阶导数的系数是t t 的的k k 次方的常数倍次方的常数倍. . 例例5 5 ：求：求 2220d xdxttxdtdt解：令解：令 ，那么，那么 , ,utelnut1.dxdx duxdtdu dtt du222221.()dxdd xdud xdxdtdtdudttdudu代入原方程得代入原方程得: : 2220d xdxxdudu方程的通解为方程的通解为: : 12()ux tcc u e为任意常数为任意常数. . 12(ln)x tcct t故原方程的通解为：故原方程的通解为： 其中其中21,cc考虑二阶变系数方程考虑二阶变系数

13、方程 化为常系数方程化为常系数方程. .这里这里 a(t )a(t )是待定的函数是待定的函数. .( )( )0 xp t xq t x（3.3.173.3.17）的系数的系数 和和 ( )p t( )q t满足什么条件，可经线性变换满足什么条件，可经线性变换 ( ) ( )xa t y t（3.3.183.3.18）( )2 ( )( ) ( )( )a t ya tp t a t ya t( ) ( )( ) ( )0p t a tq t a ty将将3.3.183.3.18代入代入3.3.173.3.17得得: :（3.3.193.3.19）211( )( )( )( )42I tq

14、tp tp t假如假如为常数为常数,)(21()(dttpexpta 取取代入代入3.3.193.3.19整理得整理得 211 ( )( )( )042yq tp tp ty（3.3.203.3.20）解：解： 1( )p tt21( )14q tt 因为因为222111( )11442I tttt 故令故令 1 11exp()2xdt yytt例例6 6：求：求221()04t xtxtx的通解的通解 故原方程的通解为：故原方程的通解为： 12cossinttxcctt将原方程化为常系数方程：将原方程化为常系数方程：0yy12cossinyctct通解为：通解为： 2 2 降阶法降阶法对对n

15、 n阶线性齐次微分方程阶线性齐次微分方程0)()()1(1)(xtaxtaxnnn(3.3.22)(3.3.22)若能找到若能找到k k个线性无关解个线性无关解(k n),(k n),则可选择适当的变换则可选择适当的变换, ,使使n n阶齐次方程降低阶齐次方程降低k k阶，阶，化为化为n-kn-k阶方程，且保持线性和齐次性阶方程，且保持线性和齐次性设设)(1txx 是齐次方程的一个非零解，是齐次方程的一个非零解，作线性变换作线性变换ytxx)(1代入代入(3.3.22)(3.3.22)，则可得：，则可得：0)()(1)1(1)(ytbytbynnn再令再令 uy 例例 7 7：求：求 的通解的通解 解：解： 方程有特