高一数学函数的基本性质精品名师资料

1、新课标人教版课件系列新课标人教版课件系列高中数学必修必修11.3.1 函数的基本性质教学目的教学目的 （1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性 教学重点：函数的单调性及其几何意义 教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性 观察下列各个函数的图象，并说说它们观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律分别反映了相应函数的哪些变化规律： 1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？2、随随x的增大，的增大

2、，y的值有什么变化？的值有什么变化？1.3.1 单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值请观察函数请观察函数y=x2与与y=x3图象，回答下列问题：图象，回答下列问题：1 1、当、当x0 x0，+)+)，x x增大时，图（增大时，图（1 1）中的）中的y y值值 ；图（；图（2 2）中的）中的y y值值 。2 2、当、当x(x(，0)0)，x x增大时，图（增大时，图（1 1）中的）中的y y值值 ；图（；图（2 2）中的）中的y y值值 。增大增大增大增大增大增大减小减小3 3、分别指出图、分别指出图(1)(1)、图、图(2)(2)中，当中，当x x 00，+)+)和和x(x(，0) 0)时

3、，函数图象是时，函数图象是上升上升的还是的还是下降下降的？的？4 4、通过前面的讨论，你发现了什么？、通过前面的讨论，你发现了什么？结论：若一个函数在某个区间内图象是上升的，则函数值y随x的增大而增大，反之亦真； 若一个函数在某个区间内图象是下降的，则函数值y随x的增大而减小，反之亦真。观察某城市一天观察某城市一天24小时气温变化图小时气温变化图 f (t)，t0，24 问题：问题：如何描述气温如何描述气温随时间随时间t的变化情况？的变化情况？ (t1,1)(t2,2)t1t2问题：问题： 在区间在区间4，14上，如何用数学符号语言来刻上，如何用数学符号语言来刻画画“随随t的增大而增大的增大而

4、增大”这一特征？这一特征？ 如图，研究函数如图，研究函数f(t)，t0，24的图的图象在区间象在区间4，14上的变化情况上的变化情况 在在4，14上，取几个不同的输入值，例如上，取几个不同的输入值，例如t15，t26，t3 8，t410，得到相对应的，得到相对应的输出值输出值1，2，3，4在在t1t2t3t4时，有时，有1234，所以在，所以在4，14上，上，随随t的增的增大而增大大而增大to 取区间内取区间内n个输入值个输入值t1，t2，t3， tn，得到相对应的输出值得到相对应的输出值1，2，3，n，在，在t1t2t3tn时，有时，有123n，所以在区间所以在区间4，14上，上，随随t的增

5、大而增大的增大而增大 在在4，14上任上任取取两个值两个值t1，t2，只要，只要t1t2，就有，就有12，就可以说在区间，就可以说在区间4，14上，上，随随t的增大而增大的增大而增大 问题：问题： 设函数设函数yf(x)的定义域为的定义域为a，区间，区间i a,在区间在区间i上，上，y随随x的增大而增大，该如何用的增大而增大，该如何用数学符号语言来刻画呢？数学符号语言来刻画呢？ 在在4，14上内任取两个值上内任取两个值t1，t2，只要，只要t1t2，就有，就有12，就可以说在区间，就可以说在区间4，14上，上，随随t的增大而增大的增大而增大 函数函数yf(x)的定义域为的定义域为a，区间，区间

6、i a，如果，如果对于区间对于区间i内的内的任意任意两个值两个值x1，x2， 当当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数那么就说函数y=f(x)在区间在区间i上是上是单调增函数单调增函数，区间区间i称为函数称为函数y=f(x)的的单调增区间单调增区间.问题：问题： 如何定义单调减函数和单调减区间呢？如何定义单调减函数和单调减区间呢？ 函数函数yf(x)的定义域为的定义域为a，区间，区间i a，如，如果对于区间果对于区间i内的内的任意任意两个值两个值x1，x2 当当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数那么就说函数y=f(x)在区间在区间i上是上是单调减函

7、数单调减函数，区间区间i称为函数称为函数y=f(x)的的单调减区间单调减区间.1.函数函数yf(x)，x 0，3的图象如图所示的图象如图所示oxy123区间区间0，3是该函数的单调增区间吗？是该函数的单调增区间吗？概念辨析概念辨析 2.对于二次函数对于二次函数f(x)x2，因为，因为1，2(，)，当，当12时，时，f(1)f(2)，所以函数，所以函数f(x)x2在区间在区间(，)上是单调增函数上是单调增函数 3.已知函数已知函数yf(x)的定义域为的定义域为0，)，若，若对于任意的对于任意的x20，都有，都有f(x2)f(0)，则函数，则函数yf(x)在区间在区间0，)上是单调减函数上是单调减

8、函数 yxox2f(x2)判断判断yx10 x2xf(x1)f(x2)设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为i: 如果对于如果对于属于定义域属于定义域i内某内某个区间个区间上的上的任意任意两个自变量两个自变量的值的值x1,x2, 当当x1x2时时,都有都有f(x1) f(x2),那么就说那么就说f(x)在在这个区间上是这个区间上是一、增函数 如果函数如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数在某个区间是增函数或减函数,那那么就说函数么就说函数y=f(x)在这个区间具有在这个区间具有(严格的严格的),这一区间叫做这一区间叫做y=f(x)的的.yf(x1)f(x2)x10 x2x设函数设函数

9、f(x)的定义域为的定义域为i: 如果对于如果对于属于定义域属于定义域i内某内某个区间个区间上的上的任意任意两个自变量两个自变量的值的值x1,x2, 当当x1x2时时,都有都有f(x1) f(x2),那么就说那么就说f(x)在在这个区间上是这个区间上是二、减函数三、单调性与单调区间请问请问: 在单调区间上增函数的图象是在单调区间上增函数的图象是_, 减函数的图象是减函数的图象是_. (填填“上升的上升的”或或“下降的下降的”)上升的上升的下降的下降的想一想想一想 ：如何从一个函数的图象来判断这个：如何从一个函数的图象来判断这个函数在定义域内的某个单调区间上是增函数函数在定义域内的某个单调区间上

10、是增函数还是减函数？还是减函数？ 如果这个函数在某个单调区间上的图象如果这个函数在某个单调区间上的图象是上升的，那么它在这个单调区间上就是增是上升的，那么它在这个单调区间上就是增函数；如果图象是下降的，那么它在这个单函数；如果图象是下降的，那么它在这个单调区间上就是减函数。调区间上就是减函数。1、增函数、减函数的三个特征：、增函数、减函数的三个特征：（1）局部性：局部性：也就是说它肯定有一个区间。区间可以是整个定义域，也可以是其真子集，因此，我们说增函数、减函数时，必须指明它所在的区间。如y=x+1 (xz)不具有单调性不具有单调性（2）任意性任意性：它的取值是在区间上的任意两个自变量，决不能

11、理解为很多或无穷多个值。（3）一致性一致性增函数：f( ) f( ) 减函数：f( ) f( )1x 1x1x1x2x2x2x2x例例1.下图是定义在下图是定义在 闭区间闭区间-5,5上的函数上的函数y=f(x)的图象的图象,根据图象说出根据图象说出y=f(x)的单调区间的单调区间,以及在每个单调区以及在每个单调区间上间上, y=f(x)是增函数还是减函数是增函数还是减函数?解解:函数函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有-5,-2),-2,1),1,3),3,5,其中其中y=f(x)在区间在区间-5,-2),1,3)上是减函数上是减函数,在区间在区间-2,1),3,5上是增函数上是增函数.

12、例例2：物理学中的玻意耳定律：物理学中的玻意耳定律 （k为正常数）为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积告诉我们，对于一定量的气体，当其体积v减小时，减小时，压强压强p将增大。试用函数的单调性证明之。将增大。试用函数的单调性证明之。vkp =分析：按题意，只要证明函数在区间上是减函数分析：按题意，只要证明函数在区间上是减函数即可。即可。 例例2、物理学中的玻意耳定律、物理学中的玻意耳定律 告告诉我们，对于一定量的气体，当其体积诉我们，对于一定量的气体，当其体积v减小时，减小时，压强压强p将增大。试用函数的单调性证明之。将增大。试用函数的单调性证明之。)( 为正常数kvkp =证明：证明

13、：根据单调性的定义，设v1，v2是定义域(0，+)上的任意两个实数，且v1v2，则21121212( )()vvkkp vp vkvvvv=由v1，v2 (0，+)且v10, v2- v1 0又k0,于是0)()(21vpvp)()(12vpvp 即 所以，函数 是减函数.也就是说，当体积v减少时，压强p将增大.),0(,=vvkp取值定号变形作差结论结论例例：证明函数f(x)= x3在r上是增函数. 证明证明：设x1,x2是r上任意两个 实数， 且x1x2,则 f(x1)-f(x2)=x13-x23 =(x1-x2)(x12+x1x2 +x22 ) = (x1-x2)(x1+ x2) 2 +

14、 x22 因为 x1x2 ，则 x1-x2 0 所以 f(x1)-f(x2)0 即 f(x1)f(x2) 所以f(x)= x3在r上是增函数.探究：探究：画出反比例函数画出反比例函数 的图象。的图象。（1）这个函数的定义域）这个函数的定义域i是什么？是什么？（2）它在定义域）它在定义域i上的单调性是怎样的？证明上的单调性是怎样的？证明你的结论。你的结论。xy1= 通过观察图象，先对函数是否具有某种性质做通过观察图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，是研究函数性质的一种常用方法。性，是研究函数性质的一种常用方法

15、。1.( )(0,).fxx= 例 函 数在上 是 增 函 数 还 是减 函 数 ？ 证 明 你 的 结 论设设x1，x2（0，+），且），且x1x2，则，则22111)(,1)(xxfxxf= = =212111)()(xxxfxf = = 2112xxxx = =0), 0(,2121 xxxx01221 xxxx0)()(21 xfxf12()()f xf x.), 0(1)(上上是是减减函函数数在在函函数数 = =xxf111ox y1f（x）在定义域）在定义域上是减函数吗？上是减函数吗？ 取取x1=-1，x2=1f（-1）=-1f（1）=1-11f（-1）f（1）1( )(,0).f

16、 xx=函数在上是减函数吗？1()(, 0 )(0 ,)fxx= 能 说 ：函 数的 单 调 递 减 区 间 是吗 ？用定义证明函数的单调性的步骤用定义证明函数的单调性的步骤:(1). 设设x1x2, 并是某个区间上任意二并是某个区间上任意二值值;(2). 作差作差 f(x1)f(x2) ;(3). 判判断断 f(x1)f(x2) 的符的符号号:(4). 作作结论结论. 分解因式分解因式, 得出因式得出因式(x1x2 配成非负实数和。配成非负实数和。方法小结方法小结有理化。有理化。 5、讨论函数、讨论函数f(x)= x +1x在在(0,+) 上的单调性上的单调性. 解：设解：设 0 x1 x2

17、 则则 f (x1) f ( x2) =（x1 - x2）+1 x11 x2=-(x1 x2) (x1 x2 1) x1x2 0 x1 x2 x1 - x2 0当当0 x1 x2 1时，时， x1 x2 1， x1 x2 1 0 f ( x1) f ( x2 ) f ( x2) f (x)= x +1x在在(0,1上是减函数上是减函数.当当1 x1 1， x1 x2 1 0 f ( x1) f ( x2 ) 0 即即 f ( x1) 0）在x0上的单调性xk解：对于x2x10,f(x2)-f(x1)=x2-x1+1xk2xk-=1212xxxx (x1x2-k)因1212xxxx 0x12-k

18、 x1x2-k x22-k故x22-k0即x2时，f(x2)f(x1)总之，f(x)的增区间是 ，减区间是,kk, 0krx图象上有一个最低点（图象上有一个最低点（0,0），即对于任意的），即对于任意的 ，都有都有).0()(fxf图象没有最低点。图象没有最低点。画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题： 1 说出说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；单调性；2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？函数的什么特征？ (1) (2) 32)(=

19、xxf12)(2=xxxfxyooxy2-1 1最大值最大值 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为i，如果，如果存在实数存在实数m满足：满足： （1）对于任意的）对于任意的xi，都有，都有f(x)m; （2）存在）存在x0i，使得，使得f(x0) = m那么，称那么，称m是函数是函数y=f(x)的的最大值最大值 2最小值最小值 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为i，如果，如果存在实数存在实数m满足：满足： （1）对于任意的）对于任意的xi，都有，都有f(x)m; （2）存在）存在x0i，使得，使得f(x0) = m那么，称那么，称m是函数是函数

20、y=f(x)的的最小值最小值 2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xi，都有f(x)m（f(x)m） 注意：注意：1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0i，使得f(x0) = m；例例3、“菊花菊花”烟花是最壮观的烟花之一烟花是最壮观的烟花之一.制造时制造时一般是期望在它达到最高点一般是期望在它达到最高点(大约是在距地面高度大约是在距地面高度25m到到30m处处)时爆裂时爆裂. 如果在距地面高度如果在距地面高度18m的地的地方点火，并且烟花冲出的速度是方点火，并且烟花冲出的速度是14.7m/s.(1)写出烟花距地面的高度与写出烟花距地面的高度与时间之

21、间的关系式时间之间的关系式.(2) 烟花冲出后什么时候是它烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻爆裂的最佳时刻?这时距地这时距地面的高度是多少面的高度是多少(精确到精确到1m).解解: (1)设烟花在设烟花在t秒时距地面的高度为秒时距地面的高度为h m,则由物体运则由物体运动原理可知：动原理可知： h(t)= -4.9t2+14.7t+18(2)作出函数作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象的图象(如右图如右图).显然，显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面标就是烟花爆裂的

22、最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度的高度. 由于二次函数的知识，对于由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有我们有: 29)9 . 4(47 .1418)9 . 4(45 . 1)9 . 4(27 .142=ht 时，函数有最大值当 于是，烟花冲出后于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻秒是它爆裂的最佳时刻,这这时距地面的高度为时距地面的高度为29 m.例3.求函数 在区间2，6上的最大值和最小值 12=xy解：设x1,x2是区间2,6上的任意两个实数，且x1x2,则) 1)(1()(2) 1)(1()1() 1(21212)()(121212122121

23、=xxxxxxxxxxxfxf 由于2x1x20,(x1-1)(x2-1)0,于是)()(, 0)()(2121xfxfxfxf 即所以，函数 是区间2,6上的减函数.12=xy 因此,函数 在区间2,6上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4 .12=xy12=xy（二）利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法 1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值 3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递增增，则函数，则函

24、数y=f(x)在在x=a处有处有最小值最小值f(a),在在x=b处有处有最大值最大值f(b) ； 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递减减，在区，在区间间b，c上单调递上单调递增增则函数则函数y=f(x)在在x=b处有处有最小值最小值f(b)； 课堂练习1、函数、函数f(x)=x2+4ax+2在区间在区间(-，6内递减，内递减，则则a的取值范围是的取值范围是( )a、a3 b、a3c、a-3 d、a-3d2、在已知函数、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在在(-，-2上上递减，在递减，在-2,+)上递增，则上递增，则f(x)在在1,2上的上的值域值域_.21,39

25、归纳小结归纳小结 1 1、函数的最大（小）值及其几何意义、函数的最大（小）值及其几何意义 2 2、利用函数的单调性求函数的最大（小）值、利用函数的单调性求函数的最大（小）值 证明：证明：设设x1,x2是是上任意两个实数，上任意两个实数，且且x10,又由又由x10所以所以f(x1)- f(x2)0, 即即f(x1) f(x2) , 0因此因此 f(x)=1/x 在在(0，+)上是减函数。上是减函数。取值判断符号变形作差下结论例题讲解：例题讲解： 例例1 设函数设函数 f(x) =x2- -2x-3.3在区间在区间t，t+1上的最小值上的最小值为为g(t)，求，求g(t)的解析式。的解析式。分析分

26、析解：解：f(x)=(x- -1)2-4.3，对称轴为，对称轴为x=1 (2)当当0t 1时，则时，则g(t)=f(1)=-4.3; (1)当当t1时，则时，则g(t)=f(t)=t2- -2t-3.3; (3)当当t+11，即，即t0时，则时，则g(t)=f(t+1)=t2-4.3;t2- -2t-3.3;(0t 1)g(t)=(t1) 例例2 求求 f(x) =x2-a-ax+a在区间在区间- -1，1上的最值。上的最值。分析分析 例例2 求求 f(x) =x2-a-ax+a在区间在区间- -1，1上的最值。上的最值。分析分析解：解：f(x)=(x- - )2+a- - ，对称轴为，对称轴

27、为x=2a4a22a (1)若若 ，即，即a- -2时，时， f(x)min=f(- -1)=1+2a1+2a，f(x)max=f(1)=1;12a (4)若若 , 即即a2时，时， f(x)min=f(1)=1， f(x)max=f(- -1)=1+2a;12a (2)若若- -1 0 ,即即- -2a0时，时，f(x)min=f( )=a-a2/4，f(x)max=f(1)=1;2a2a2a (3)若若0 1 ,即即0 0a2时，时，f(x)min=f( )= a-a2/4， f(x)max=f(- -1)=1+2a;2a一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为i，如果

28、存在，如果存在实数实数m满足：满足：（1）对于任意的）对于任意的 ，都有，都有 ；（2）存在）存在 ，使得，使得那么，我们称那么，我们称m是函数是函数y=f(x)的最大值的最大值（maximum value）。）。ixmxf)(ix 0.)(0mxf=四、函数的最大值四、函数的最大值注意：注意：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在 ，使得使得 ；0 xi0( )f xm=函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的对于任意的 ，都有都有 xi( )( ( )f x m f x m例例1：“菊花菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂如果烟花距一般是期望在它达到最高点时爆裂如果烟花距地面的高度地面的高度hm与时间与时间ts之间的关系为之间的关系为 ，那么烟花冲出后什么时候是，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到高度是多少（精确到1m）？）？187 .149 . 4)(2=ttth54321-1-2-3-4-5-4-224681012f x 分析：由函数分析：由函数 的图象可知，函数的图象可知，函数在区间在区间2,6上递减上递减.所以，函数在区间