数学建模中的AHP方法PPT课件

1、目录引言层次分析法原理层次分析法模型举例第1页/共58页一、引一、引 言言 Analytic Hierarchy Process第2页/共58页第3页/共58页第4页/共58页第5页/共58页第6页/共58页第7页/共58页1第8页/共58页一个典型的层次可以用下图表示出来：一个典型的层次可以用下图表示出来：第9页/共58页几点注意几点注意第10页/共58页如何在如何在3 3个目的地中按照景色、费用、居住个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择条件等因素选择. .目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地)P2黄山黄山P1桂林桂林P3北戴河北戴河准则层准则层方案层方案层C3居住居住C1景色景色C

2、2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途第11页/共58页 工作选择工作选择可供选择的单位可供选择的单位P1 P2 ， Pn 贡贡献献收收入入发发展展声声誉誉工工作作环环境境生生活活环环境境目标层目标层准则层准则层方案层方案层第12页/共58页第13页/共58页2比较同一层次中每个因素关于上一层次比较同一层次中每个因素关于上一层次的的同一个因素同一个因素的相对重要性的相对重要性第14页/共58页 在确定各层次各因素之间的权重时，如果只在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而Saaty等人提出构造：成对比较矩阵等人提出构

3、造：成对比较矩阵A = (aij)n n，即：即：1.1.不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较。较。2.2.对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。心理学家认为成对比较的因素不宜超过心理学家认为成对比较的因素不宜超过9 9个，即个，即每层不要超过每层不要超过9 9个因素。个因素。成对比较矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个成对比较矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的相对重要性的比较。判断矩阵的元素因素的相对重要性的比较。判断

4、矩阵的元素aij用用Saaty的的1-91-9标度方法给出。标度方法给出。第15页/共58页判断矩阵元素判断矩阵元素aij的标度方法的标度方法第16页/共58页 对于对于 n 个元素个元素 A1, , An 来来 说，通过两两比较，说，通过两两比较，得到得到成对比较（判断）矩阵成对比较（判断）矩阵 A = (aij)n n： 其中判断矩阵具有如下性质：其中判断矩阵具有如下性质： （1）aij 0； （2）aij = 1/aji； （3）aii = 1。 我们称我们称 A 为为。 根据性质（根据性质（2）和（）和（3），事实上，对于），事实上，对于 n 阶判断矩阶判断矩阵仅需对其上（下）三角元素

5、共阵仅需对其上（下）三角元素共 n(n-1)/2 个给出判断即个给出判断即可。可。第17页/共58页ijjiijnnijaaaaA1, 0,)(要比较各准则要比较各准则C1,C2, , Cn对目标对目标O的重要性的重要性ijjiaCC:A成对比较阵成对比较阵选选择择旅旅游游地地目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地)准则层准则层C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途 旅游问题的成对比较矩阵共有旅游问题的成对比较矩阵共有6 6个（一个个（一个5 5阶，阶，5 5个个3 3阶）。阶）。 1135131112513131211714155712334211A第18页/共58页jk

6、kijiwwwwww 3 11121212121wwwwwwwwwwwwAnnnn第19页/共58页nji, 2 , 1,1321231321234,2,7aaaaaa Aijkjikaaa ijkjikaaa Anjiaaaiijiij,2, 1, 1,1 .1也是一致阵TA . 2 1 . 3ArankA的各行成比例，则。特征根均等于个其余的最大特征根（值）为0 1, . 4n-n AAn第20页/共58页 一般地，我们并不要求判断具有这种传递性和一般地，我们并不要求判断具有这种传递性和一致性，这是由客观事物的复杂性与人的认识的多一致性，这是由客观事物的复杂性与人的认识的多样性所决定的。但

7、在构造两两判断矩阵时，要求判样性所决定的。但在构造两两判断矩阵时，要求判断大体上的一致是应该的。出现甲比乙极端重要，断大体上的一致是应该的。出现甲比乙极端重要，乙比丙极端重要，而丙又比甲极端重要的判断，一乙比丙极端重要，而丙又比甲极端重要的判断，一般是违反常识的。一个混乱的经不起推敲的判断矩般是违反常识的。一个混乱的经不起推敲的判断矩阵有可能导致决策的失误，而且当判断矩阵过于偏阵有可能导致决策的失误，而且当判断矩阵过于偏离一致性时，用上述各种方法计算的排序权重作为离一致性时，用上述各种方法计算的排序权重作为决策依据，其可靠程度也值得怀疑。因而必须对判决策依据，其可靠程度也值得怀疑。因而必须对判

8、断矩阵的一致性进行检验。断矩阵的一致性进行检验。 第21页/共58页1nnCI第22页/共58页1 .0RICICR一致性检验：利用一致性指标和一致性比率一致性检验：利用一致性指标和一致性比率0.10.1及随机一致性指标的数值表，对及随机一致性指标的数值表，对A进行检验的过程。进行检验的过程。一般，当一致性比率一般，当一致性比率 的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通通过一致性检验过一致性检验。否则要。否则要重新构造重新构造成对比较矩阵成对比较矩阵A，对，对 aij 加以调整。加以调整。时，认为时，认为ARICICR 第23页/共58页判断矩

9、阵一致性检验的步骤如下：判断矩阵一致性检验的步骤如下： (1) 计算一致性指标计算一致性指标 C.I.： 1C.I.maxnn其中其中 n 为判断矩阵的阶数；为判断矩阵的阶数； 第24页/共58页(2) 查找平均随机一致性指标查找平均随机一致性指标 R.I.： 平均随机一致性指标是多次（平均随机一致性指标是多次（500次以上）重复次以上）重复进行随机判断矩阵特征根计算之后取算术平均得到的。进行随机判断矩阵特征根计算之后取算术平均得到的。龚木森、许树柏龚木森、许树柏1986年得出的年得出的1-15阶判断矩阵重复计阶判断矩阵重复计算算1000次的平均随机一致性指标如下：次的平均随机一致性指标如下：

10、第25页/共58页(3) 计算一致性比例计算一致性比例 C.R.： 当当 C.R. 0.1 时，一般认为判断矩阵的一致性是可时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的。否则应对判断矩阵作适当的修正。以接受的。否则应对判断矩阵作适当的修正。 R.I.C.I.C.R. 第26页/共58页“选择旅游地选择旅游地”中中准则层对目标的权准则层对目标的权向量及一致性检验向量及一致性检验最大特征根最大特征根 max=5.073随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.12 (查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.016 0， max 为为 A 的的模最大模最大的特征的特征根，则有根，则有

11、 (1) max 必为正特征根，而且它所对应的特征向量必为正特征根，而且它所对应的特征向量为正向量；为正向量； (2) A 的任何其它特征根的任何其它特征根 恒有恒有 | | max； (3) max 为为 A 的单特征根，因而它所对应的特征向的单特征根，因而它所对应的特征向量除差一个常数因子外是唯一的。量除差一个常数因子外是唯一的。第29页/共58页 特征根方法中的最大特征根特征根方法中的最大特征根 max 和特征向量和特征向量w，可用可用 Matlab 软件直接计算。软件直接计算。 A = 1,1,1,4,1,1/2; 1,1,2,4,1,1/2; 1,1/2,1,5,3,1/2; 1/4

12、,1/4,1/5,1,1/3,1/3;1,1,1/3,3,1,1/3; 2,2,2,3,3,1;x, y = eig(A);eigenvalue = diag(y);lamda = eigenvalue(1)y_lamda = x(:, 1)y 是特征值，且从大到小排列；是特征值，且从大到小排列；x 是特征向量矩阵，每一列为是特征向量矩阵，每一列为 相应特征值的一个特征向量。相应特征值的一个特征向量。第30页/共58页正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算 精确计算的复杂和不必要精确计算的复杂和不必要 简化计算的思路简化计算的思路一致阵的任一列向量都是特征

13、向量，一致性尚好的正互一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。和法和法取列向量的算术平均取列向量的算术平均14/ 16/ 1412/ 1621A例091. 0077. 01 . 0364. 0308. 03 . 0545. 0615. 06 . 0w089. 0324. 0587. 01.7690.9740.268Aw009. 3)089. 0268. 0324. 0974. 0587. 0769. 1(31列向量列向量归一化归一化求求行行和和归归一一化化wAw精确结果精确结果:

14、w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010第31页/共58页4Z1A2AmA1B2BnB,21mAAAmA个因素层对总目标对总目标Z Z的排序为的排序为maaa,21jAAnB中因素为个因素对上层层的层次单排序为的层次单排序为), 2 , 1( ,21mjbbbnjjj第32页/共58页即即B层第层第 i 个因素对总目标的权值个因素对总目标的权值为：为： （影响加和）（影响加和）nmmnnnmmmmbababaBbababaBbababaB22112222211211221111:1mjijja b B层的层次总排序为：层的层次总排序为：mAAA,21maaa,21nBBB2

15、112111nbbb22212nbbbnmmmbbb21AB111bbamjjj212bbamjjjnmjnjjbba1第33页/共58页Tnwww),()2()2(1)2()2()3()3(wWwnkwwwTkmkk, 2 , 1,),()3()3(1)3(,)3()3(1)3(nwwW)2()3() 1()()(wWWWwsss第34页/共58页层次总排序的一致性检验层次总排序的一致性检验设设B层层B1,B2,Bn对上层对上层(A层层)中因素中因素Aj(j=1,2,m) 的层次单排序一致性指标为的层次单排序一致性指标为CIj，随机一致性指标为，随机一致性指标为RIj ，则层次总排序的一致性

16、比率为：，则层次总排序的一致性比率为：mmmmRIaRIaRIaCIaCIaCIaCR22112211当当CR0.1时，认为层次总排序通过一致性检验。层次时，认为层次总排序通过一致性检验。层次总排序具有满意的一致性，否则需要重新调整那些一总排序具有满意的一致性，否则需要重新调整那些一致性比率高的判断矩阵的元素取值。致性比率高的判断矩阵的元素取值。 到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。决策。第35页/共58页记第记第2层（准则）对第层（准则）对第1层（目标）的权向量为层（目标）的权向量为(2)(0.263,0.475,0.055,0.

17、090,0.110)Tw同样求第同样求第3层层(方案方案)对第对第2层每一元素层每一元素(准则准则)的权向量的权向量12/15/1212/15211B方案层对方案层对C1(景色景色)的的成对比较阵成对比较阵1383/1138/13/112B方案方案层对层对C2(费费用用)的的成成对对比比较阵较阵CnBn最大特征根最大特征根 1 =3.005 2 =3.002 5 =3.0 权向量权向量 w1(3) w2(3) w5(3) =(0.595，0.277，0.129) =(0.082，0.236，0.682) =(0.166，0.166，0.668)选择旅游地选择旅游地第36页/共58页第第3层对层

18、对第第2层层的的计计算算结结果果 w w( (2 2) ) (3)kwk kCI0.2630.2630.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.0820.4750.47530.1420.4290.4290.0550.0553.0090.1750.1930.6330.0900.09030.6680.1660.1660.1100.110组合权向量组合权向量RI= =0.58 (n=3), CIk 均可通均可通过过一致性一致性检验检验方案方案P1对对目目标标的的组组合合权权重重为为0.595 0.263+ =0.300方案方案层对层对目

19、目标标的的组组合合权权向量向量为为 (0.300, 0.246, 0.456)T第37页/共58页第38页/共58页3计算单排序权向量并做一致性检验计算单排序权向量并做一致性检验对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。第39页/共58页4计算总排序权向量并做组合一

20、致性检验计算总排序权向量并做组合一致性检验1 . 0CR进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率重新考虑模型或重新构造那些一致性比率CR 较大的成对比较矩阵。较大的成对比较矩阵。mmmmRIaRIaRIaCIaCIaCIaCR22112211利用总排序一致性比率利用总排序一致性比率第40页/共58页1.系统性系统性 层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策方式进行决策

21、，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。具。 2 .实用性实用性 层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。第41页/共58页3.简洁性简洁性 具有中等文化程度的人即可以

22、了解层次分析法的基本原具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得结果理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。简单明确，容易被决策者了解和掌握。以上三点体现了层次分析法的优点，该法的局限性主要表现在以下几个方面：以上三点体现了层次分析法的优点，该法的局限性主要表现在以下几个方面：1. 囿旧：囿旧：只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案。只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案。第42页/共58页2.粗略：粗略：该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题。的，不适用于精度较高的问题。3.主观：主观：从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让所有的因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让所有的决策者接受。决策者接受。 当然采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途当然采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。径。第43页/共58页第44页/共58页C2C3C4C5C6P1P2P3P4P5GC1第45页