高二数学课件：专题一第二讲 向量运算与复数运算、算法、合情推理

1、第二讲 向量运算与复数运算、算法、合情推理【考情快报】【考情快报】(1)(1)主要考查向量的有关概念及运算、复数的有关概念及主要考查向量的有关概念及运算、复数的有关概念及运算、用程序框图描述算法以及归纳推理运算、用程序框图描述算法以及归纳推理. .其中向量常与其他其中向量常与其他知识相结合，程序框图常考查循环结构知识相结合，程序框图常考查循环结构. .(2)(2)以选择题、填空题的形式呈现，属容易题以选择题、填空题的形式呈现，属容易题. .【核心自查】【核心自查】一、主干构建一、主干构建二、概念理解二、概念理解1.1.平面向量的数量积平面向量的数量积(1)(1)定义定义: :如果两个非零向量如

2、果两个非零向量a, ,b的夹角为的夹角为,则数量则数量_叫做叫做a与与b的数量积的数量积, ,记作记作ab, ,即即ab= _.= _.规定规定: :零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0.0.(2)(2)坐标表示坐标表示: :设设a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),则则ab=_=_ . .| |a|b|cos|cos| |a|b|cos|cosx x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 22.2.复数复数z=a+bi(a,bR)z=a+bi(a,bR)的分类的分类(1)z(1)z是实数是实数b=0b=0(2)z(2)z是虚数

3、是虚数b0b0(3)z(3)z是纯虚数是纯虚数a=0,a=0,且且b0b03.3.共轭复数共轭复数一般地一般地, ,当两个复数的实部当两个复数的实部_,_,虚部虚部_时，这两个时，这两个复数互为共轭复数复数互为共轭复数, ,虚部不为虚部不为0 0的两个共轭复数叫做共轭虚数的两个共轭复数叫做共轭虚数. .即复数即复数a+bi(aa+bi(a，bR)bR)的共轭复数是的共轭复数是_(a,bR)._(a,bR).提醒：提醒：实数的共轭复数是其本身实数的共轭复数是其本身. .相等相等互为相反数互为相反数a-bia-bi三、重要公式三、重要公式1.1.两个非零向量平行、垂直的充要条件两个非零向量平行、垂

4、直的充要条件若若a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2) )，则，则(1)(1)aba=b( (b0) )_；(2)(2)abab=0=0_._.提醒：提醒：(1)(1)若若a与与b不共线，且不共线，且a+b= =0，则，则=0.=0.(2)(2)已知已知 (,(,为常数为常数),),则则A,B,CA,B,C三点共线的充三点共线的充要条件是要条件是+=1.+=1.OAOBOC x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0=0 x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0=02.2.向量的夹角公式向量的夹角公式设设为为a与与b( (a0,

5、 ,b0) )的夹角的夹角, ,且且a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2) )，则，则3.3.复数的运算公式复数的运算公式设设z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2=c+di(a,b,c,dR)=c+di(a,b,c,dR)，则，则(1)z(1)z1 1+z+z2 2= _= _；(2)z(2)z1 1-z-z2 2= _= _；(3)z(3)z1 1zz2 2= _= _；121222221122x xy y|xyxcyos.a ba b(a+c)+(b+d)i(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i(a-c)+(b-d)i(ac-bd

6、)+(ad+bc)i(ac-bd)+(ad+bc)i(4)(4)4.4.复数运算中常用的结论复数运算中常用的结论(1)(1(1)(1i)i)2 2= =2i2i；(2)(2)(3)(3)(4)-b+ai=i(a+bi)(4)-b+ai=i(a+bi)；(5)i(5)i4n4n=1,i=1,i4n+14n+1=i,i=i,i4n+24n+2=-1,i=-1,i4n+34n+3=-i,=-i,其中其中n nN.N.122222z(abi)(cdi)acbdbcadiz(cdi)(ccdi0di)cdd.ci1 i1 i ；1 i1 ii ；热点考向热点考向 一一 向量的运算及应用向量的运算及应用【

7、典例】【典例】1.1.已知已知| |a|=1|=1，| |b|=2|=2，a与与b的夹角为的夹角为6060, ,则则a+ +b在在a方方向上的投影为向上的投影为( )( )(A)2 (B)1 (C) (D)(A)2 (B)1 (C) (D)2.(20122.(2012浙江高考浙江高考) )在在ABCABC中，中，M M是是BCBC的中点，的中点，AMAM3 3，BCBC1010，则则 _._.2 7777AB AC 【解题指导】【解题指导】1.1.利用利用a+ +b在在a方向上的投影为方向上的投影为 求解求解. .2.2.把向量把向量 与与 用用 , , , , 表示后再求数量积表示后再求数量

8、积. .【解析】【解析】1.1.选选A.(A.(a+ +b)a= =a2 2+ +ab=2,=2,故故a+ +b在在a方向上的投影为方向上的投影为 =2. =2.2.2. =9-25=-16.=9-25=-16.答案：答案：-16-16()|ab aaAB AC AM MBMC()|ab aaABAMMB ACAMMC ，AB AC(AMMB) (AMMC) 2AMMB MC 【互动探究】【互动探究】若若1 1题条件不变，试求题条件不变，试求a在在a+ +b方向上的投影方向上的投影. .【解析】【解析】由题知由题知( (a+ +b)a= =a2 2+ +ab=2=2，| |a+ +b| |2

9、2=|=|a| |2 2+|+|b| |2 2+2+2ab7 7，|a+ +b| | ，故故a在在a+ +b方向上的投影为方向上的投影为 7()22 7.|77ab aab【拓展提升】【拓展提升】向量的运算及应用中的注意点向量的运算及应用中的注意点(1)(1)灵活运用两向量平行或垂直的充要条件列方程；灵活运用两向量平行或垂直的充要条件列方程；(2)(2)涉及数量积和模的最值问题，通常有两种求解思路：涉及数量积和模的最值问题，通常有两种求解思路：思路一：直接利用数量积的定义；思路一：直接利用数量积的定义；思路二：建立坐标系，通过坐标运算求解思路二：建立坐标系，通过坐标运算求解. .提醒：提醒：在

10、利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中的已知向量进行计算图形中的已知向量进行计算. .【思想诠释】【思想诠释】向量的运算及应用中的转化与化归思想向量的运算及应用中的转化与化归思想(1)(1)本例中的转化与化归思想主要是：本例中的转化与化归思想主要是：本例第本例第1 1题中把题中把a+ +b在在a方向上的投影转化为求方向上的投影转化为求 . .本例第本例第2 2题中把题中把 , , 通过数量积用可求的向量进行表示通过数量积用可求的向量进行表示. .(2)(2)向量的运算及应用中运用转化与化归思想的常见类型：向量的运算及应用中运用转化与

11、化归思想的常见类型：求平面向量的数量积时，常把待求向量转化为模和夹角已知求平面向量的数量积时，常把待求向量转化为模和夹角已知的向量的向量. .求平面向量的模时求平面向量的模时, ,常把模的平方转化为向量的平方常把模的平方转化为向量的平方. .求向量求向量a在向量在向量b方向上的投影时方向上的投影时,转化为转化为 来求来求.()|ab aaAB AC |a bb热点考向热点考向 二二 复数的概念与运算复数的概念与运算【典例】【典例】1.1.（20132013福州模拟）在复平面内，复数福州模拟）在复平面内，复数的对应点位于的对应点位于( )( )(A)(A)第一象限第一象限 (B)(B)第二象限第

12、二象限(C)(C)第三象限第三象限 (D)(D)第四象限第四象限2.(20132.(2013北京模拟北京模拟)i)i为虚数单位，复数为虚数单位，复数 的虚部是的虚部是( )( )5i2i11 i 1111A B Ci Di2222【解题探究】【解题探究】1.1.如何判定复数所对应的点所在的象限？如何判定复数所对应的点所在的象限？提示：提示：关键是看该复数的实部与虚部的取值范围关键是看该复数的实部与虚部的取值范围. .2.2.求复数求复数 的实部与虚部的关键是什么？的实部与虚部的关键是什么？提示：提示：关键是将复数化为关键是将复数化为a+bi(aa+bi(a，bR)bR)的形式的形式. .11

13、i【解析】【解析】1.1.选选B. B. 对应的点的坐标为对应的点的坐标为(-1,2)(-1,2)，所以在第二象限，选，所以在第二象限，选B.B.2.2.选选A. A. 所以虚部是所以虚部是5i 2i5i 2i5i12i,2i2i2i5 11 i1 i11i1 i1 i 1 i222，1.2【互动探究】【互动探究】题题2 2中条件不变，则复数中条件不变，则复数 在复平面内对应的在复平面内对应的点到原点的距离是点到原点的距离是_._.【解析】【解析】因为因为所以，该复数所对应的点为所以，该复数所对应的点为A( )A( )，所以所以 （O O为原点）为原点）. .答案：答案：11 i1 i11i1

14、 i1 i 1 i222，1 12 2，22112OA222 ()() 2211 i【拓展提升】【拓展提升】复数的概念与运算问题的解题思路复数的概念与运算问题的解题思路(1)(1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题, ,一般是先变一般是先变形形, ,把复数的非代数形式化为代数形式把复数的非代数形式化为代数形式, ,然后再根据条件然后再根据条件, ,列方程列方程( (组组) )求解求解. .(2)(2)与复数与复数z z的模的模|z|z|和共轭复数和共轭复数 有关的问题有关的问题, ,一般都要先设出一般都要先设出复数复数z z的代数形式的代数形式

15、z=a+bi(a,bR),z=a+bi(a,bR),代入条件代入条件, ,用待定系数法解决用待定系数法解决. .(3)(3)在有关复数在有关复数z z的等式中的等式中, ,可设出可设出z=a+bi(a,bR),z=a+bi(a,bR),用待定系数法用待定系数法求解求解, ,也可把也可把z z看成自变量直接求解看成自变量直接求解. .z热点考向热点考向 三三 程序框图程序框图【典例】【典例】1.1.如图是一算法的程序框图如图是一算法的程序框图( (流程图流程图),),若输出结果为若输出结果为S=720,S=720,则在判断框中应填入的条件是则在判断框中应填入的条件是( () )(A)k6?(A)

16、k6?(B)k7?(B)k7?(C)k8?(C)k8?(D)k9?(D)k9?2.(20132.(2013北京模拟北京模拟) )执行如图所示的程序框图执行如图所示的程序框图( (流程图流程图),),输出输出的结果的结果S=S=. .【解题探究】【解题探究】1.S1.S是求和还是求积是求和还是求积? ?何时结束何时结束? ?提示提示: :S S是求积是求积; ;当当S=720S=720时结束时结束. .2.2.该程序框图该程序框图( (流程图流程图) )满足什么条件时循环满足什么条件时循环? ?循环了几次循环了几次? ?提示提示: :该程序框图该程序框图( (流程图流程图) )在在i6i0),f

17、(x)= (x0),观察：观察：f f1 1(x)=f(x)= (x)=f(x)= f f2 2(x)=f(f(x)=f(f1 1(x)=(x)=f f3 3(x)=f(f(x)=f(f2 2(x)=(x)=f f4 4(x)=f(f(x)=f(f3 3(x)=(x)=根据以上事实，由归纳推理可得根据以上事实，由归纳推理可得当当nNnN* *且且n2n2时，时，f fn n(x)=f(f(x)=f(fn-1n-1(x)=_.(x)=_.xx2xx2x3x4x7x8x15x16【解题指导】【解题指导】1.1.观察给出的三个等式，归纳出不同整数解的个观察给出的三个等式，归纳出不同整数解的个数数.

18、.2.2.先分析分母中常数项与先分析分母中常数项与n n的关系，再分析分母中常数项与的关系，再分析分母中常数项与x x的的系数的关系系数的关系. .【解析】【解析】1.1.选选B.B.由已知条件得由已知条件得,|x|+|y|=n(nN,|x|+|y|=n(nN* *) )的不同整数的不同整数解解(x(x，y)y)的个数为的个数为4n,4n,故故|x|+|y|=20|x|+|y|=20的不同整数解的不同整数解(x(x，y)y)的个的个数为数为80.80.2.2.由已知：由已知：f f1 1(x)=f(x)=(x)=f(x)=f f2 2(x)=f(f(x)=f(f1 1(x)=(x)=f f3

19、3(x)=f(f(x)=f(f2 2(x)=(x)=xx2，22xxx3x44 1 x421 x2，x7x833xx8 1 x821 x2，猜想：猜想：答案：答案： 4344xfxf fx15x16xx.16 1 x1621 x2 nnnxfx.21 x2nnx21 x2【拓展提升】【拓展提升】合情推理的解题思路合情推理的解题思路(1)(1)在进行归纳推理时在进行归纳推理时, ,要先根据已知的部分个体要先根据已知的部分个体, ,把它们适当把它们适当变形变形, ,找出它们之间的联系找出它们之间的联系, ,从而归纳出一般结论从而归纳出一般结论. .(2)(2)在进行类比推理时在进行类比推理时, ,

20、要充分考虑已知对象性质的推理过程要充分考虑已知对象性质的推理过程, ,然后通过类比，推导出类比对象的性质然后通过类比，推导出类比对象的性质. .(3)(3)归纳推理关键是找规律归纳推理关键是找规律, ,类比推理关键是看共性类比推理关键是看共性. . 1.1.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8 8，则输入的数，则输入的数是是( )( )(A)2(A)2或或 (B) (B) 或或 (C)-2(C)-2或或 (D)2(D)2或或2 22 22 22 22 2【解析】【解析】选选D.D.由程序框图知由程序框图知, ,2332x8x8x2x2 2.x8x8,

21、，或或2.2.平面四边形平面四边形ABCDABCD中中 则四边形则四边形ABCDABCD是是( )( )(A)(A)矩形矩形 (B)(B)正方形正方形(C)(C)菱形菱形 (D)(D)梯形梯形【解析】【解析】选选C.C.因为因为 所以所以所以四边形所以四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .又又所以对角线互相垂直，所以对角线互相垂直，所以四边形所以四边形ABCDABCD是菱形是菱形. .ABCD, AB AD AC 0 ，0ABCD ，0ABCD DC ，(AB AD) AC DB AC 0 ，3.3.已知已知mRmR，复数，复数 在复平面内对应的点在直线在复平面内对应的点在直线x-y=0 x-y=0上，则实数上，则实数m m的值是的值是( )( )(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2【解析】【解析】选选C.1- =1+mi.C.1- =1+mi.由题意知由题意知1-m=01-m=0，即即m=1.m=1.m1imi4.4.已知双曲线已知双曲线C: C: 的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为F F1 1,F,F2 2，P P为为C C的右的右支上一点，且支上一点，且|PF|PF2 2|=|F|=|F1 1F