数学史第七章巨人的杰作——微积分的创立

1、7.3 7.3 科学巨人科学巨人牛顿牛顿7.4 7.4 多才多艺的数学大师莱布尼茨多才多艺的数学大师莱布尼茨第七章第七章7.3 7.3 科学巨人科学巨人牛顿牛顿牛顿牛顿Isaac Newton 数学家物理学家天文学家自然哲学家英国皇家学会会员welcome to use these PowerPoint templates, New Content design, 10 years experience艾萨克艾萨克牛顿简介牛顿简介艾萨克艾萨克牛顿牛顿（1642-1727）出生于英格兰林肯郡的一个小镇乌尔斯索普。他出生之前，他的父亲就已去世。在牛顿3岁时，他的母亲改嫁给一个牧师，把牛顿托付给了他

2、的祖母抚养。8年后，牧师病故，牛顿的母亲又回到了乌尔斯索普。牛顿自幼沉默寡言，性格倔强，这种习性可能来自他的家庭环境。1655年（12岁）进入格兰瑟姆中学学习。他酷爱读书，喜欢沉思，经常做一些小实验、小工具、小发明等。对自然科学产生了好奇心，还会分门别类的记读书笔记。welcome to use these PowerPoint templates, New Content design, 10 years experience艾萨克艾萨克牛顿简介牛顿简介1661年 以减费生进入剑桥大学三一学院学习。1664年成为奖学金获得者，1665获学士学位。 但是17世纪中叶，剑桥大学的教育制度还透着浓

3、厚的中世纪哲学气味，课程都是经院式的，如逻辑、古文、语法、古代史、神学等。两年之后学院出现了新气象。卢卡斯卢卡斯创设了一个独辟蹊径的讲座，讲授自然科学知识，如地理、物理、天文和数学课程。讲座的第一任教授就是巴罗。巴罗。在巴罗的指导下，牛顿掌握了算数、三角等知识，阅读了大量的自然科学类书籍。牛顿牛顿 欧几里得欧几里得几何原本几何原本开普勒开普勒光学光学迪卡儿迪卡儿 几何学几何学哲学原理哲学原理伽利略伽利略关于托勒密与关于托勒密与哥白尼两大世界哥白尼两大世界体系的对话、体系的对话、 胡可胡可显微图集显微图集沃利斯沃利斯无穷算术无穷算术如果说我比别人看得更远些，那是因如果说我比别人看得更远些，那是因

4、为我站在了巨人的肩上。为我站在了巨人的肩上。 牛顿牛顿艾萨克艾萨克牛顿简介牛顿简介1665年（22岁)初他创立了级数近似法以及把任何幂的二项式化为一个级数的规则( (二项式定理二项式定理) )。1665年8月剑桥大学因温疫流行而停课放假，牛顿回到家乡躲避，一直到1667年10月重返剑桥大学。 这期间牛顿思考了自然科学领域中的一些前人从未思考过的问题，踏入前人没有涉足的领域，创建前所未有的惊人业绩。16651665年年1111月，创立了正流数法月，创立了正流数法( (微微分分) )，16661666年年1 1月研究颜色理论，月研究颜色理论，5 5月开始研究反流数法月开始研究反流数法( (积分积分

5、) )，这一年内又开始研究重力问题，这一年内又开始研究重力问题，并试图把重力理论推广到月球的运行轨道上去，他还从开普勒定律中推导出使行星保持在它们轨道上的力必定与它们到旋转中心的距离平方成反比。艾萨克艾萨克牛顿简介牛顿简介 在此期间还发生了一件轶事，那就是历史上最著名的一个苹果落下来，砸在牛顿的头上。恰巧在那天，牛顿正苦苦思索着一个问题：是什么力量使月球保持在环绕地球运行的轨道上，以及使行星保持在其环绕太阳运行的轨道上？为什么这只打中他脑袋的苹果会坠落到地上？正是从思考这一问题开始，他找到了这些的答案万有引力理论。万有引力理论。剑桥大学三一学院牛顿的苹果树剑桥大学三一学院牛顿的苹果树艾萨克艾萨

6、克牛顿简介牛顿简介 由于牛顿的自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理一书用的是欧几里德几何学的表述方式，它是一个严密的、完美的体系，书中没有叙述苹果落地的故事，致使许多人对苹果落地一说持保留意见。但是牛顿的亲戚和朋友多次证实苹果落地的故事。不管故事是否是真，总之，牛顿在家乡的这两年是牛顿科学生涯的黄金岁月，他一生中的许多重大科学思想和创造都是在这短短的两年期间孕育、萌发和形成的。艾萨克艾萨克牛顿简介牛顿简介1668年3月16日选为剑桥三一学院正院侣，巴罗对牛顿的才能非常赏识，1669年10月27日巴罗便让年仅26岁的牛顿接替他担任卢卡斯讲座卢卡斯讲座的教授。1672年成为皇家学会会员。随着科学声

7、誉的提高，牛顿的政治地位也得到了提升。1689年，他被当选为国会中的大学代表。作为国会议员，牛顿逐渐开始疏远给他带来巨大成就的科学。他把大量的时间花费在了和同时代的著名科学家如胡克、莱布尼兹等进行科学优先权的争论上。艾萨克艾萨克牛顿简介牛顿简介1696年担任造币厂监督，1699年升任厂长。1701年辞去剑桥大学工作，当时英国币制混乱，牛顿运用他的治金知识，制造新币。1703年被选为皇家学会主席直到逝世。在他任职的二十四年时间里，他以铁拳统治着学会。1705年受封为爵士。 晚年的牛顿开始致力于对神学的研究，他否定哲学的指导作用，虔诚地相信上帝，埋头于写以神学为题材的著作，如圣经里两大错讹的历史考

8、证。提出了“神的第一推动力”的理论。他说“上帝统治万物，我们是他的仆人而敬畏他、崇拜他”。17271727年年3 3月月3131日日在伦敦郊区肯辛顿寓中逝世(84岁)，以国葬礼葬于伦敦西敏寺西敏寺(后更名为威斯敏斯特教堂)。威斯敏斯特教堂西敏寺西敏寺(威斯敏斯特圣彼得学院教堂)九百多年来，除了供信徒作礼拜、祈祷、膜拜之外，也是英国庆典的重要场所。英国的社会名流无不以死后能安葬于此为荣耀。据统计占地面积达2972平方米的西敏寺内，安葬了共三千三百多人，包括很多的知名人士，如：达尔文、狄更斯、牛顿、丘吉尔达尔文、狄更斯、牛顿、丘吉尔等。无数在英国有着深远影响的历史人物都安息在西敏寺中，也有许多名人

9、，本身并没葬在这里，却有写上其名字的石板子嵌在地上作为纪念。而里头最著名的便是牛顿，他是人类历史上第一个获得国葬的自然科学家第一个获得国葬的自然科学家。艾萨克艾萨克牛顿简介牛顿简介牛顿墓碑铭文：牛顿墓碑铭文：此地安葬的是艾撒克牛顿勋爵，他用近乎神圣的心智和独具特色的数学原则，探索出行出行星的运动和形状、彗星的轨迹、海洋的潮汐、光线的星的运动和形状、彗星的轨迹、海洋的潮汐、光线的不同谱调和由此而产生的其他学者以前所未能想像到不同谱调和由此而产生的其他学者以前所未能想像到的颜色的特性。的颜色的特性。以他在研究自然、古物和圣经中的勤奋、聪明和虔诚，他依据自己的哲学证明了至尊上帝的万能，并以其个人的方

10、式表述了福音书的简明至理。人们为此欣喜：人类历史上曾出现如此辉煌的荣耀。他生于1642年12月25日，卒于1727年3月20日。诗人亚历山大历山大波普波普(Alexander Pope）也为牛顿写下了以下这段墓志铭：Nature and Nature law lay hid in night ; God said,Let Newton be, and all was light.自然与自然的定律，都隐藏在黑暗之中；上帝说让牛顿来吧！于是，一切变为光明。主要贡献主要贡献微积分的创立二项式定理主要贡献主要贡献运动的三个基本定律（牛顿三定律）：光学、哲学、天文学数学其他方面微积分的创立二项式定理微积

11、分的创立微积分的创立 牛顿关于微积分问题的研究起始于1664年，当时笛卡儿的几何学和沃利斯的无穷算术对他的影响最大。他对笛卡尔求曲线切线的方法产生了浓厚的兴趣并试图寻找更好、跟一般的方法。 1666年10月他写的第一篇关于微积分的论文论数论数短论短论，其中首次提出了流数流数的概念，所谓流数就是速度，在变速运动中速度是路程对事件的微商，至于速度的变化状况就要用速度的微商来反映，即加速度是速度的微商。 1669年，牛顿完成关于微积分的第二篇论文运运用无用无穷穷多项方程多项方程的分析法的分析法在这篇论文中，牛顿假定一条曲线和在该曲线下的面积。并给出了求一个变量对于另一个变量的瞬时变化率的一般方法，而

12、且还证明了面积可以由求变化率的逆过程得到。这一事实实际上已经初步给出了微积分基本定理。不过也可以看出，牛顿回避了运动变化的观点而将无 限小增量“瞬”看作是静止的无限小量，并在某些情况下直接令其为0，这就带有了浓厚的不可分量的色彩。 1671年牛顿关于微积分的第3篇论著流数术和流数术和无穷级数无穷级数完成（1736年出版）。在这部著作中，他恢复了在论数论数短论短论中采用的运动观点，对以物体运动为背景提出的流数概念作了进一步的论述，并清楚地陈述了流数术所提出的中心问题是：1.已知流量间的关系，求流数关系（即微分法）；已知流量间的关系，求流数关系（即微分法）；2.已知表示量的流数间的关系的方程，求流

13、量间的关已知表示量的流数间的关系的方程，求流量间的关 系（即积分法）。系（即积分法）。 1676年牛顿完成了曲线求积论曲线求积论(1704年发表)，这是他关于微积分最成熟的一部论著。这篇论文中，他改变了过去那种“略去所有含瞬的项”的做法，认为“数的量不是有非常小的部分组成的，而是用连续数的量不是有非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的的运动来描述的”为此他引入了最初比和最后比的概念，并借助于几何解释把流数理解为增量消逝时的最后比。这相当于求一个函数自变量与因变量变化之比的极限。另外这篇论文中，他以清晰的形式叙述了微积分的基本定理，并系统地引进了他所创造的独特的记法和概念。如： “变量”称

14、为“流”； “变量的变化率”称为“流数”。 若x、y为流，则他们的流数是 、xxxy牛顿微积分学说最早公开表述是在1687年出版的巨著自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理.这本书还是在他的朋友哈雷哈雷(E.Halley，16561742)的鼓励和督促下完成并由其出资发表，这也是他一生主要工作的总结。著名的牛顿力牛顿力学三定律、万有引力定律及学三定律、万有引力定律及牛顿的微积分成果牛顿的微积分成果都载于此书它成为科学史上的一个里程碑，对整个欧洲产生了巨大影响二项式定理二项式定理 1665年，22岁的牛顿发现了二项式定理岁的牛顿发现了二项式定理，这对于微积分的充分发展是必不可少的一步。二项式定理在

15、组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。 二项式级数展开式是研究级数论、函数论、数学分析、方程理论的有力工具。在今天我们会发觉这个方法只适用于n是正整数，当n是正整数1，2，3，. ，级数终止在正好是n+1项。如果n不是正整数，级数就不会终止，这个方法就不适用了。但是我们要知道那时，莱布尼茨在1694年才引进函数这个词，在微积分早期阶段，研究超越函数时用它们的级来处理是所用方法中最有成效的。运动的三个基本定律（牛顿三定律）运动的三个基本定律（牛顿三定律）牛顿牛顿第一定律（惯性定律）第一定律（惯性定律）： 任何一个物体在不受任何外力或受到的力平衡时任何一个物体在不受任何外

16、力或受到的力平衡时（合外力为（合外力为0时）时），总保持匀速直线运动或静止状态，总保持匀速直线运动或静止状态，直到有作用在它上面的外力迫使它改变这种状态为止。直到有作用在它上面的外力迫使它改变这种状态为止。牛顿牛顿第二定律第二定律： 物体的加速度跟物体所受的合外力物体的加速度跟物体所受的合外力F成正比成正比,跟物跟物体的质量成反比体的质量成反比,加速度的方向跟合外力的方向相同。加速度的方向跟合外力的方向相同。 F = am牛顿牛顿第第三三定律定律： 两个物体之间的作用力和反作用力两个物体之间的作用力和反作用力,在同一条直线在同一条直线上上,大小相等大小相等,方向相反。方向相反。 F = - F

17、 光学光学 牛顿曾致力于颜色的现象和光的本性的研究。1666年，他用三棱镜研究日光，得出结论：白光是白光是由不同颜色（即不同波长）的光混合而成的，不同由不同颜色（即不同波长）的光混合而成的，不同波长的光有不同的折射率。在可见光中，红光波长波长的光有不同的折射率。在可见光中，红光波长最长，折射率最小；紫光波长最短，折射率最大最长，折射率最小；紫光波长最短，折射率最大。牛顿的这一重要发现成为光谱分析的基础，揭示了光色的秘密。牛顿还曾把一个磨得很精、曲率半径较大的凸透镜的凸面，压在一个十分光洁的平面玻璃上，在白光照射下可看到，中心的接触点是一个暗点，周围则是明暗相间的同心圆圈。后人把这一现象称为“牛

18、顿环”。他创立了光的“微粒说”，从一个侧面反映了光的运动性质，但牛顿对光的“波动说”并不持反对态度。1704年，他出版了光学光学一书，系统阐述他在光学方面的研究成果。天文学天文学 牛顿1672年创制了反射望远镜创制了反射望远镜。他用质点间的万有引力证明，密度呈球对称的球体对外的引力都可以用同质量的质点放在中心的位置来代替。他还用万有引力原理说明潮汐的各种现象，指出潮汐的大小不但同月球的位相有关，而且同太阳的方位有关。牛顿预言地球不是正球体。岁差就是由于太阳对赤道突出部分的摄动造成的。哲学哲学 牛顿的哲学思想基本属于自发的唯物主自发的唯物主义义，他承认时间、空间的客观存在。如同历史上一切伟大人物

19、一样，牛顿虽然对人类作出了巨大的贡献，但他也不能不受时代的限制。他把时间、空间看作是同运动着的物质他把时间、空间看作是同运动着的物质相脱离的东西，提出了所谓绝对时间和绝对相脱离的东西，提出了所谓绝对时间和绝对空间的概念空间的概念；他对那些暂时无法解释的自然现象归结为上帝的安排，提出一切行星都是在某种外来的“第一推动力第一推动力”作用下才开始运动的说法。 1707年，牛顿的代数讲义经整理后出版，定名为普遍算普遍算术术。主要讨论了代数基础及其（通过解方程）在解决各类问题中的应用。书中陈述了代数基本概念与基本运算代数基本概念与基本运算，用大量实例说明了如何将各类问题化为代数方程，同时对方程的根及其性

20、质进行了深入探讨，引出了方程论方面的丰硕成果，如：他得出了方程的根与其判别式之间的关系，指出可以利用方程系数确定方程根之幂的和数，即“牛顿幂和公式牛顿幂和公式”。 牛顿对解析几何与综合几何都有贡献。他在1736年出版的解析几何解析几何中引入了曲率中心，给出密切线圆（或称曲线圆）概念，提出曲率公式及计算曲线的曲率方法。并将自己的许多研究成果总结成专论三次曲线枚举三次曲线枚举，于1704年发表。此外，他的数学工作还涉及数值分析、概率论和初等数论等众多领域。其他数学方面的贡献其他数学方面的贡献人门对牛顿的评价人门对牛顿的评价伏尔泰伏尔泰曾说过牛顿是最伟大的人，因为“他用真理的力量统他用真理的力量统治

21、我们的头脑，而不是用武力奴役我们治我们的头脑，而不是用武力奴役我们”。莱布尼茨莱布尼茨并不是牛顿的朋友，他们之间曾因微积分创立的优先权有过非常激烈的争论。但他写道：从世界的开始直到牛顿生从世界的开始直到牛顿生活的时代为止，对数学发展的贡献绝大部分是牛顿做出的活的时代为止，对数学发展的贡献绝大部分是牛顿做出的。伟大的法国科学家拉普拉斯拉普拉斯写到：原理是人类智慧的产原理是人类智慧的产物中最卓越的杰作物中最卓越的杰作。拉格朗日拉格朗日曾说：牛顿是有史以来最伟大的天才牛顿是有史以来最伟大的天才，也是最幸运，也是最幸运的人的人因为这个宇宙体系只能被发现一次。因为这个宇宙体系只能被发现一次。人门对牛顿的

22、评价人门对牛顿的评价美国学者麦克麦克哈特哈特的影响人类历史进程的100名人排行榜，牛顿名列第2位，书中指出：在牛顿诞生后的数百年里，人们的在牛顿诞生后的数百年里，人们的生活方式发现了翻天覆地的变化，而这些变化大都是基于牛顿生活方式发现了翻天覆地的变化，而这些变化大都是基于牛顿的理论和发现的理论和发现。2003年，英国广播公司在一次全球性的评选最伟大的英国人活动当中，牛顿被评为最伟大的英国人之首牛顿被评为最伟大的英国人之首。在伟大的英国人系列纪录片中专门编辑了牛顿专集的历史学家特里斯特拉历史学家特里斯特拉姆姆亨特亨特表示：“全球的公众意识到牛顿的成就是世界性的，而且对全人类都产生影响。这些投票者

23、显然都跨越了国界，他对于牛顿的一马当先感到高兴。”由此可见，不管牛顿的生平有过多少谜团和争议，但这都不足以降低牛顿的影响力。7.4 7.4 多才多艺的数学大师莱布尼茨多才多艺的数学大师莱布尼茨戈特弗里德戈特弗里德威廉威廉莱布尼茨莱布尼茨Gottfried Wilhelm LeibnizGottfried Wilhelm Leibniz（1646-17161646-1716） 1717、1818世纪之交德国世纪之交德国伟大的伟大的数学家、物理学数学家、物理学家和家和哲学家哲学家, ,一个举世一个举世罕见的科学天才罕见的科学天才. .他博他博览群书，涉猎百科览群书，涉猎百科, ,对对丰富人类的科学

24、知识宝丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡库做出了不可磨灭的贡献献. . 多才多艺的大师多才多艺的大师数学、物理学、力学、逻辑学、生物学、数学、物理学、力学、逻辑学、生物学、化学、地理学、解剖学、动物学、植物学、化学、地理学、解剖学、动物学、植物学、气体学、航海学、地质学、语言学、法学、气体学、航海学、地质学、语言学、法学、哲学、神学、历史、外交等哲学、神学、历史、外交等莱布尼茨简介莱布尼茨简介 1646年7月1日，莱布尼茨出生于德国东部莱比莱比锡锡的一个书香之家，父亲是大学的道德哲学教授，母亲也出身于教授家庭。父母亲自做他的启蒙教师，耳濡目染使莱布尼茨从小就十分好学，并有很高的天赋，幼年

25、时就对诗歌和历史有着浓厚的兴趣。不幸的是，父亲在他6岁时去世，却给他留下了丰富藏书，知书达理的母亲担负起了儿子的幼年教育。莱布尼茨因此得以广泛接触古希腊罗马文化，阅读了许多著名学者的著作，由此而获得了坚实的文化功底和明确的学术目标。 莱布尼茨简介莱布尼茨简介 1654年(8岁)，莱布尼茨进入尼古拉学校尼古拉学校，开始学习拉丁文、希腊文、修辞学、算术、逻辑、音乐以及圣经、路德教义等。 1661年，15岁的莱布尼茨进入莱比锡大学莱比锡大学学习法律，一进校便跟上了大学二年级标准的人文学科人文学科的课程，他还抓紧时间学习哲学哲学和科学科学。 1663年5月，他以论个体原则方面的形而上学争论个体原则方面

26、的形而上学争论论一文获学士学位。这期间他还广泛阅读了培根、开普勒、伽利略等人的著作，并对他们的著述进行深入的思考和评价。在听了教授讲欧几里得几何原本的课程后，莱布尼茨对数学产生了浓厚的兴趣。莱布尼茨简介莱布尼茨简介 1664年1月，莱布尼茨完成了论文论法学之艰论法学之艰难难，获哲学硕士学位。 1665年，他向莱比锡大学提交了博士论文论身份论身份，1666年，审查委员会以他太年轻（年仅20岁）而拒绝授予他法学博士学位，他对此很气愤，于是离开莱比锡，前往阿尔特多夫大学，并向学校提交了早已准备好的那篇博士论文，1667年2月，阿尔阿尔特多夫大学特多夫大学授予他法学博士学位，还聘请他为法学教授。期间他

27、发表了第一篇数学论文论组合的艺术第一篇数学论文论组合的艺术。这是一篇关于数理逻辑的文章，其基本思想是想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果。莱布尼茨简介莱布尼茨简介这篇论文虽不够成熟，但却闪耀着创新的智慧和数学的才华，后来的一系列工作使他成为数理逻辑的创始数理逻辑的创始人人。 莱布尼兹获得博士学位后便投身外交界。从1671年开始，他利用外交活动开拓了与外界的广泛联系，在出访巴黎时，莱布尼兹见到了惠更斯，在惠更斯的鼓励下开始深入的研究数学，并研究了卡瓦列里、笛卡儿、伽利略、帕斯卡等人的数学著作。 1673年，莱布尼兹被推荐为英国皇家学会会员英国皇家学会会员。此时，他的兴趣已明显地朝向了数学和自

28、然科学数学和自然科学，开始了对无穷小算法无穷小算法的研究，独立地创立了微积分独立地创立了微积分的基本概念与算法，和牛顿并蒂双辉共同奠定了微积分学。 莱布尼茨简介莱布尼茨简介 1676年,他到汉诺威公爵府担任法律顾问兼图书馆馆长.1700年被选为巴黎科学院院士,促成建立了柏林科学院并任首任院长.至此,当时全世界的四大科学院:英国皇家学会、法国科学院、罗马科学与数学科英国皇家学会、法国科学院、罗马科学与数学科学院、柏林科学院学院、柏林科学院都以莱布尼次作为核心成员. 17161716年年1111月月1414日日,莱布尼兹在汉诺威汉诺威因胆结石引起的腹绞痛卧床一周后逝世,终年70岁.他一生没有结婚,

29、没有在大学当教授.平时从不进教堂,因此他有一个绰号 :什么也不信的人什么也不信的人.他去世时教士以此为借口不予理睬.1793年,汉诺威人为他建立了纪念碑;1883年,在莱比锡的一座教堂附近竖起了他的一座立式雕像；1983年，汉诺威市政府照原样重修了被毁于第二次世界大战中的“莱布尼茨故居”，供人们瞻仰。莱布尼茨雕像莱布尼茨故居主要贡献主要贡献微积分的创立微积分的创立二进制与计算机物理、哲学、主要贡献主要贡献认识论微积分的创立微积分的创立 与牛顿流数论的运动学背景不同，莱布尼兹创立微积分首先是出于几何问题的思考几何问题的思考。1673年，他因在帕斯卡的有关论文中得到启示，而提出了自己的“微微分三角

30、形分三角形”理论。借助于这种无限小三角形，他迅速地、毫无困难地了建立大量定理，其中包括后来“在巴罗和格里高利的著作中见到的几乎所有定理”。在对微分特征三角形的研究中，莱布尼兹逐渐认识到了什么是求曲线切线和求曲线下面积的实质什么是求曲线切线和求曲线下面积的实质，并发现了这两类问题的互逆关系互逆关系。他的目标,是要比巴罗等人更上一层楼，建立起一种更一般的算法，将以往解决这两类问题的各种结果和技巧统一起来。 莱布尼茨16841684年年1010月月在教师学报上发表的论文一种求极大极小的奇妙类型的计算一种求极大极小的奇妙类型的计算，是最最早的微积分早的微积分文献。这篇仅有六页的论文，内容并不丰富，说理

31、也颇含糊，但却具有划时代的意义。它已含有现代微积分符号和基本微分法则：微积分的创立微积分的创立xaaxdddxdwdydzdxwyzvduudvduv导数记作 ,在1675年的手稿中记作 ，1676年记作 ,在1693年的另一篇论文中用 表示2阶导数,还给出了函数 存在极值的条件是 ,存在拐点的条件是 .莱布尼茨断定：作为求和过程的积分是微分的逆作为求和过程的积分是微分的逆。这种想法已出现在巴罗和牛顿的著作中，他们用反微分的方法求得面积，但莱布尼茨第一次表达出了积分与微分之间的关系，这一关系的现代表述即牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式：微积分的创立微积分的创立dy:dxyddxxdyd2

32、dy:ddx0d y xfy 0d2y 设设 是是 上的连续函数上的连续函数, ,且当且当 时，时， 则则. . xfba,bax, xfxF aFbFxxfbad微积分的创立微积分的创立 1686年，莱布尼兹又发表了他的第一篇积分学第一篇积分学论文深奥的几何与不可分量及无限的分析深奥的几何与不可分量及无限的分析。这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系题的互逆关系。在这篇积分学论文中，莱布尼兹给出了摆线方程，目的是要说明他的方法和符号,可以将一些被其他方法排斥的超越曲线表为方程。而正是在这篇论文中，积分号积分号 第一次出现于印刷出版第一次出现于印

33、刷出版物上物上。对符号的精心选择，是莱布尼兹微积分的一大特点。他引进的符号体现了微分与积分的“差”与“和”的实质，后来获得普遍接受并沿用至今。莱布尼茨也成为了历史上最伟大的符号学者之一。莱布尼茨也成为了历史上最伟大的符号学者之一。二进制二进制 莱布尼兹最早提出二进制运算法则莱布尼兹最早提出二进制运算法则，即通过0与1引申，就可以表示一切数字，如000，001，010，011，100分别代表0-4这几个数字。有种说法是莱布尼茨发明二进制算数是受中国的八卦图的影响。对于莱布尼茨是受到八卦图的影响而发明二进制还是单独发明二进制，有许多人进行了考证，但迄今似乎也没有定论。计算机计算机 1673年莱布尼

34、茨制造了一个能进行加、减、乘、除及开方运算的计算机。这是继帕斯卡加法机后，计算工具的又一进步。帕斯卡逝世后，莱布尼茨发现了一篇由帕斯卡亲自撰写的“加法器”论文，勾起了他强烈的发明欲望，决心把这种机器的功能扩大为乘除运算。在1674年莱布尼茨聘请到一些著名机械专家并在一些能工巧匠的协助下造出一台更完善的机械计算机械计算机机- -乘法器乘法器 莱布尼茨对计算机的贡献不仅在于乘法器，虽然莱布尼茨的乘法器仍然采用十进制，但他率先为计算机的设计，系统提出了二进制的运算法则，为计算机的现代发展奠定了坚实的基础。物理物理 莱布尼茨的物理学成就也是非凡的。1671年，莱布尼茨发表了物理学新假说物理学新假说一文

35、，提出了具体运提出了具体运动原理和抽象运动原理，认为运动着的物体，不论多动原理和抽象运动原理，认为运动着的物体，不论多么渺小，它将带着处于完全静止状态的物体的部分一么渺小，它将带着处于完全静止状态的物体的部分一起运动起运动。他还对笛卡儿提出的动量守恒原理进行了认真的探讨，提出了能量守恒原理的雏型提出了能量守恒原理的雏型，并在教师学报上发表了关于笛卡儿和其他人在自然定律方关于笛卡儿和其他人在自然定律方面的显著错误的简短证明面的显著错误的简短证明，提出了运动的量的问题，证明了动量不能作为运动的度量单位，并引入动能概证明了动量不能作为运动的度量单位，并引入动能概念，第一次认为动能守恒是一个普通的物理

36、原理。念，第一次认为动能守恒是一个普通的物理原理。 他证明了“永动机是不可能永动机是不可能”的观点。反对牛顿反对牛顿的绝对时空观，认为的绝对时空观，认为“没有物质也就没有空间，空间没有物质也就没有空间，空间本身不是绝对的实在性本身不是绝对的实在性”，“空间和物质的区别就象空间和物质的区别就象时间和运动的区别一样，可是这些东西虽有区别，却时间和运动的区别一样，可是这些东西虽有区别，却是不可分离的是不可分离的”。这一思想后来引起了马赫、爱因斯坦等人的关注。 1684年，莱布尼茨在固体受力的新分析证明固体受力的新分析证明一文中指出，纤维可以延伸，其张力与伸长成正比，因此他提出将胡克定律应用于单根纤维

37、将胡克定律应用于单根纤维。这一假说后来在材料力学中被称为马里奥特马里奥特莱布尼茨理论莱布尼茨理论。 在光学方面光学方面，莱布尼茨也有所建树，他利用微积分中的求极值方法，推导出了折射定律推导出了折射定律，并尝试用求极值的方法解释光学基本定律。可以说莱布尼茨的物莱布尼茨的物理学研究一直是朝着为物理学建立一个类似欧氏几何理学研究一直是朝着为物理学建立一个类似欧氏几何公理系统的目标前进的公理系统的目标前进的。哲学哲学 单子论单子论是莱布尼兹把自己在许多哲学著莱布尼兹把自己在许多哲学著作中所阐述的主要观点高度浓缩的作品作中所阐述的主要观点高度浓缩的作品。篇幅虽短但内容丰富。全文共 90节，大体可分为两部

38、分：148节主要论述一切实体的本性主要论述一切实体的本性，包括实体应是构成复合物的最后单位，本身没有部分，是单纯的东西，即精神性的单子；实体本身应具有内在的能动原则等等。4990节主要主要论述实体间的关系论述实体间的关系，包括前定和谐及这个世界是“一切可能的世界中最好的世界”的学说等等。莱布尼兹的单子论是一个客观唯心主义的体系，有向宗教神学妥协的倾向，但也包含一些合理的辩证法因素，如万物自己运动的思想等。认识论认识论 莱布尼茨的认识论，是同他的单子论一脉相承的是同他的单子论一脉相承的。他从单子的等级出发，贬低感性，抬高理性贬低感性，抬高理性，把感性认识看做纯粹动物的认识。正因如此，他反对经验论

39、，尤其是洛克的经验论。他的人类理智新论人类理智新论一书，就是专门为了反对洛克的人类理智论而写的。他他认为经验论只抓住了个别事物，不能把握普遍的、必认为经验论只抓住了个别事物，不能把握普遍的、必然性的东西然性的东西。若仅凭经验，这是动物行为。莱布尼茨从科学知识的普遍必然性与个别偶然的感觉经验的区科学知识的普遍必然性与个别偶然的感觉经验的区分的角度对经验论作了批判分的角度对经验论作了批判，这一批判是深刻的。莱布尼茨认为，对个别事物的感性经验虽然必要，但是它们只能给我们提供一些特殊的个别的例子，不可能提供普遍性的真理。除此之外，他还阐发了诸多有关认识论的观点。莱布尼茨与与中国莱布尼茨与与中国 莱布尼

40、茨对中国的科学、文化和哲学思想十分关注，他是最早研究中国文化和最早研究中国文化和中国哲学的德国人中国哲学的德国人。他向耶稣会来华传教士格里马尔迪了解到了许多有关中国的情况，包括养蚕纺织、造纸印染、冶金矿产、天文地理、数学文字等等，并将这些资料编辑成册出版。他认为中西相互之间应建立一种交流认识的新型关系。在中国近况一书的绪论中，莱布尼茨写道：“全人类最伟大的文化和最发达的文明仿佛今天汇集在我们大陆的两端，即汇集在欧洲和位于地球另一端的东方的欧洲中国，莱布尼兹不仅显示出了不带“欧洲中心论”色彩的虚心好学精神，而且为中西文化双向交流描绘了宏伟的蓝图，极力推动这种交流向纵深发展，使东西方人民相互学习，取长补短，共同繁荣进步。莱布尼兹为促进中西文化交流做出了毕生的努力，产生了广泛而深远的影响。相同之处相同之处 ： 在创立微积分方面，莱布尼茨与牛顿功绩相当他们各自独立地发现了微积分基本定理，并建立起一套有效的微分和积分算法；他们都把微积分作为一种适用于一般函数的普遍方法；都把微积分从几何形式中解脱出来，采用了代数方法和记号，从而扩展了它的应用范围；都