数学模型之传染病模型的分析

1、.2 2 传染病模型传染病模型问题问题 描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型用机理分析方法建立模型. 已感染人数已感染人数 (病人病人) i(t) 每个病人每天有效接触每个病人每天有效接触(足以使人致病足以使人致病)人数为人数为 模型模型1 1假设假设ttititti)()()(若有效接触的是病人，若有效接触的是病人，则不能使病人数增加则不能使病人数增加必须区分已感染者必须区分已

2、感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模0)0(iiidtdiitteiti0)(?.sidtdi1)()(tits模型模型2 2区分已感染者区分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)假设假设1）总人数）总人数N不变，病人和健康不变，病人和健康 人的人的 比例分别为比例分别为)(),(tsti 2）每个病人每天有效接触人数）每个病人每天有效接触人数为为 , 且且使接触的健康人致病使接触的健康人致病建模建模ttNitstittiN)()()()(0)0()1(iiiidtdi 日日接触率接触率SI 模型模型.teiti1111)(00)0()1(iiiid

3、tdi模型模型21/2tmii010t11ln01itmtm传染病高潮到来时刻传染病高潮到来时刻 (日接触率日接触率) tm 1itLogistic 模型病人可以治愈！病人可以治愈！?t=tm, di/dt 最大最大.模型模型3传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染为健康人，健康人可再次被感染增加假设增加假设SIS 模型模型3）病人每天治愈的比例为）病人每天治愈的比例为 日日治愈率治愈率ttNittitNstittiN)()()()()(建模建模/ 日接触率日接触率1/ 感染期感染期 一个感染期内一个感染期内每个病人的每个病人的有效接触人数，称为有效接触人

4、数，称为接触数接触数。0)0()1(iiiiidtdi.1,01,11)(i)11 (iidtdi模型模型3i0i0接触数接触数 =1 阈值阈值/1)(ti形曲线增长按Sti )(感染期内感染期内有效接触感染的健有效接触感染的健康者人数不超过病人数康者人数不超过病人数小01i1-1/ i0iiidtdi)1 (模型模型2(SI模型模型)如何看作模型如何看作模型3(SIS模型模型)的特例的特例idi/dt01 10ti 11-1/ i0t 1di/dt 0.模型模型4传染病有免疫性传染病有免疫性病人治愈病人治愈后即移出感染系统，称后即移出感染系统，称移出者移出者SIR模型模型假设假设 1）总人数

5、）总人数N不变，病人、健康人和移不变，病人、健康人和移出者的比例分别为出者的比例分别为)(),(),(trtsti2）病人的日接触率）病人的日接触率 , 日日治愈率治愈率 , 接触数接触数 = / 建模建模1)()()(trtits需建立需建立 的两个方程的两个方程)(),(),(trtsti.ttNittitNstittiN)()()()()(模型模型4SIR模型模型很小）通常000)0(1rrsi无法求出无法求出 的解析解的解析解)(),(tsti在相平面在相平面 上上研究解的性质研究解的性质is ttitNststtsN)()()()(00)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi

6、.0011iisdsdiss000ln1)()(sssissi模型模型400)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi/消去消去dtSIR模型模型1,0,0),(isisisD相轨线相轨线 的定义域的定义域)(si相轨线相轨线11si0D在在D内作相轨线内作相轨线 的图形，进行分析的图形，进行分析)(si.si101D模型模型4SIR模型模型相轨线相轨线 及其分析及其分析)(si00)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi0011iisdsdiss000ln1)()(sssissi0ln1000sssiss满足miis,/1传染病蔓延传染病蔓延传染病不蔓延传染病不蔓延s(t)单调

7、减单调减相轨线的方向相轨线的方向0, itP1s0/1imsP1: s01/ i(t)先升后降至先升后降至0P2: s01/ i(t)单调降至单调降至01/阈值阈值P3P4P2S0.ssss00lnln模型模型4SIR模型模型预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 (日接触率日接触率) 卫生水平卫生水平 (日日治愈率治愈率) 医疗水平医疗水平 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件s01/ 的估计的估计0ln1000sssis0i忽略 降低降低 s0提高提高 r0 1000ris 提高阈值提高阈值 1/ 降低降低 (= / ) , 群体免疫群体免疫.模型模型4SIR模型模型被传染人数的估计被传染人数的估计0ln1000sssis记被传染人数比例记被传染人数比例ssx00)211 (200sxsx0)1ln(10sxx)1(