高等数学下 第八单元

1、推广推广第八章第八章 一元函数微积分学一元函数微积分学 多元函数微积分学多元函数微积分学 注意注意: 善于类比善于类比, 区别异同区别异同多元函数的微积分多元函数的微积分 第八章 第一节第一节一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 )(0oPPU00 PP一、一、 区域区域1. 邻域邻域点集, ) ,(0PPU称为点 P0 的 邻域邻域. .在平面上, ),(),(0yxPU(圆邻域)在空间中, ),(),(0zyxPU(球邻域)说明

2、：说明：若不需要强调邻域半径 , ,也可写成. )(0PU点 P0 的去心邻域去心邻域记为0PP)()(2020yyxx)()()(202020zzyyxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 区域区域(1) 内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 EE则称 P 为 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点 ;则称 P 为 E 的边界点边界点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 的外点 ,显然, E 的内点必属于 E , E 的外

3、点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . D(2) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； 若点集 E E , 则称 E 为闭集； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;例如，例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx开区域闭区域机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyo21xyoxyoxy

4、o213. n 维空间维空间n 元有序数组),(21nxxx),(21nxxx的全体称为 n 维空间维空间,Rnn 维空间中的每一个元素称为空间中的记作即机动 目录 上页 下页 返回 结束 RRRRnnkxxxxkn,2, 1,R),(21一个点点. 二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体积 三角形面积的海伦公式,2hrV)2(cbapcba0, 0),(hrhrcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappS机动 目录 上页 下页 返回 结束 hr定义定义1. 设非空点集,RnD DPPfu, )(或点集 D 称为函数的定义域定义域 ; 数集DP

5、,Pfuu)(称为函数的值域值域 .特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数2R),(),(Dyxyxfz当 n = 3 时, 有三元函数3R),(),(Dzyxzyxfu映射R:Df称为定义在 D 上的 n 元函数元函数 , 记作),(21nxxxfu机动 目录 上页 下页 返回 结束 xzy例如, 二元函数221yxz定义域为1),(22 yxyx圆域说明说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球面., )sin(,yxz 又如机动 目录 上页 下页 返回 结束 的图形一般为空间曲面 .12R),(yx三元函数 )arcsin(222zyxu

6、定义域为1),(222zyxzyx图形为4R空间中的超曲面.单位闭球.xyzo三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义2. 设 n 元函数,R),(nDPPf点 , ) ,(0PUDP,-)(APf则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n =2 时, 记20200)()(yyxxPP二元函数的极限可写作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0 是 D 的聚若存在常数 A ,对一记作，时的极限当0)(PPPfAyxfyyxx),(lim00都有机动 目录 上页 下页 返回 结束 对任意正数 , 总存在正数 ,切例例1. 设)0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求

7、证：.0),(lim00yxfyx证证:01sin)(2222yxyx故0),(lim00yxfyx,0 0),( yxf,022时当yx22yx 222yx , 总有机动 目录 上页 下页 返回 结束 要证 若当点),(yxP趋于不同值或有的极限不存在，解解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点 (0, 0) 的极限.),(yxf故则可以断定函数极限则有21kkk 值不同极限不同值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .以不同方式趋于,),(000时yxP不存在 .

8、例例3. 讨论函数函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 四四、 多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3 . 设 n 元函数)(Pf定义在 D 上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在点,0DP 聚点如果存在否则称为不连续,0P此时称为间断点 .则称 n 元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续, 连续的等价定义：0000(1) lim( , )(,)xxyyf x yf xy000000(2) lim(,+)(,)xyf xx yyf xy00(3) lim0 xyz例如例如, 函数0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点(0 , 0) 极限不存在, 又如又

9、如, 11),(22yxyxf上间断.122 yx 故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 结论结论: 一切多元初等函数在定义区域内定义区域内连续.函数如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上连续.定理定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,0) 1 ( K)()2(Pf, ,Mm;,)(DPKPf使在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 对任意，DQ;)(Qf使(有界性定理) (最值定理) (介值定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:.11lim00yxyxyx解解:

10、: 原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21例例2. .求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例例3. 求函数的连续域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2oyx2内容小结内容小结1. 区域 邻域 :, ) ,(0PU) ,(0PU 区域连通的开集 空间nR2. 多元函数概念n 元函数),(21nxxxf常用二元函数 (图形一般为空间曲面)三元函数DP)(Pfu nR机动 目录 上页 下页 返回 结束 APfPP)(lim0,0 ,0 时，当00 PP有)( APf3. 多元函数的极限4. 多元函

11、数的连续性1) 函数连续在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 闭域上的多元连续函数的性质:有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P51 2 (4), (5); 3 6 (2), (4)第二节 目录 上页 下页 返回 结束 第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算二二 、高阶偏导数、高阶偏导数 偏导数与全微分 第八章 三三 、全微分、全微分 定义定义1.),(yxfz 在点), (), (lim000yfyfx存在,xyxyxfz对在点),(),(00的偏导数

12、，记为;),(00yxxz),(00yx的某邻域内;),(00yxxfxx00 x则称此极限为函数极限设函数)(0 xf)()(00 xfxxfx0limxx00(,).xfxy;),(00yxxz0ddxxxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx注意注意:一、一、 偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法0),(dd0yyyxfy同样可定义对 y 的偏导数 lim0y),(00yxfy若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x,xzxfxz则该偏导数称为偏

13、导函数, 也简称为偏导数偏导数 ,( , )xfx y( , )yfx y) ,(0 xf),(0 xfy记为yy00y机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 y 偏导数存在 ,yzyfyz),(zyxfx例如例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . lim0 x), (zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数定义为(请自己写出)二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyy

14、xfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲线0),(xxyxfzyTM0在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线yxz0 xyToxT0y0M机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 y 轴的函数在某点各偏导数都存在偏导数都存在,显然例如例如, ,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz(0, 0 xf）(0, 0)=0yf0注意：注意：但在该点不一定连续不一定连续.上节例 目录 上页 下页 返回 结束 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!0(0, 0)(0, 0)limxfxfx 同理注意：注意：函数在某点连续,

15、但偏导数不一定存在不一定存在.例如例如, ,22,f x yxy0)0,(dd)0, 0(xxfxfx0), 0(dd)0, 0(yyfyfy上节例 目录 上页 下页 返回 结束 f (x , y) 在点(0 , 0)偏导数不存在!0 0，几何上表示圆锥面，是其尖点.显然,f x y点是连续的，0 0，在不存在不存在22,f x yxy事实上事实上, ,例例1 . 求223yyxxz解法解法1:xz)2, 1 (xz解法解法2:) 2, 1(xz在点(1 , 2) 处的偏导数.) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz2

16、31yy 2)23(yy72yz机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设，）且1, 0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 证证:xzyzxxzyxln1 yyxx yz求证,1yxyxxylnz2机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数记号是一个例例3. 已知理想气体的状态方程求证:1pTTVVpTRVp证证:,VTRp ,pTRV ,RVpT pTTVVp说明说明:(R 为常数) , Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作分子与分母的商 !此例表明,机动 目录 上页 下页 返回 结束 整体记号,二、高阶偏导数二、高阶偏导数设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续

17、的偏导数),(, ),(yxfyzyxfxzyx若这两个偏导数仍存在偏导数，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 数:例例4. 求函数yxez2解解 :xz22xzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意: :此处,22xyzyxz但这一结论并不总成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24机动 目录 上页 下页 返回 结束 的二阶偏导数.0

18、,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy例如例如,),(yxfx)0 , 0(yxfxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0, 0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则证明 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.例如例如, 对三元函数

19、u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx说明说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续连续时, 有而初等(证明略) 三、全微分、全微分定义定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成, )(oyBxAz其中 A , B 不依赖于 x ,

20、 y , 仅与 x , y 有关，称为函数),(yxf在点 (x, y) 的全微分全微分, 记作yBxAfz dd若函数在域 D 内各点都可微,22)()(yx则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微可微，机动 目录 上页 下页 返回 结束 处全增量则称此函数在在D 内可微内可微.A xB y (2) 偏导数连续),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可微函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微),(lim00yyxxfyx由微分定义 :得zyx00lim0),(yxf函数在该点连续机动 目录 上

21、页 下页 返回 结束 偏导数存在 函数可微 即定理定理2.2.(必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微可微 ,则该函数在该点偏导数yzxz,yyzxxzzd), (), (yfyfzxxz同样可证,Byzyyzxxzzd证证: 由全增量公式, )(oyBxAz,0y令)(xoxA必存在,且有得到对 x 的偏增量xxx因此有 xzxx0limA机动 目录 上页 下页 返回 结束 反例反例: 函数),(yxf易知,0) 0, 0()0, 0(yxff 但)0, 0()0, 0(yfxfzyx因此,函数在点 (0,0) 不可微 .)(o注意注意: 定理2 的逆定理不成立

22、.22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0偏导数存在函数不一定可微偏导数存在函数不一定可微 !即:0,2222yxyxyx0, 022 yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(yyxxf定理定理3 (充分条件)yzxz,证证：),(),(yxfyyxxfz)1,0(21xyxfx),( yyyxfy),(2xyyxxfx),(1),(yyxf),( yxf),(yyxfyyxfy),(若函数),(yxfz 的偏导数,),(连续在点yx则函数在该点可微分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 0lim00yx,0lim00yxzyyxfxyxfyx),(),(yyxfx

23、yxfzyx),(),(yx所以函数),(yxfz ),(yxyx在点可微.机动 目录 上页 下页 返回 结束 0lim00yx,0lim00yx注意到, 故有)(oxxu推广推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如, 三元函数),(zyxfu ud习惯上把自变量的增量用微分表示,ud记作uxd故有下述叠加原理uuuuzyxdddd称为偏微分偏微分.yyudzzudxxuduyduzd的全微分为yyuzzu于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 uuuzyxd,d,d例例5. 计算函数在点 (2,1) 处的全微分. yxez 解解:xz222) 1 , 2(,) 1 , 2(ey

24、zexzyexezd2dd22) 1 , 2(例例6. 计算函数的全微分. zyeyxu2sin解解: udxd1yyd) cos(221zeyzydyz,yxeyyxex)d2d(2yxezyez机动 目录 上页 下页 返回 结束 可知当全微分在数值计算中的应用全微分在数值计算中的应用近似计算近似计算由全微分定义xy)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(较小时,yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及有近似等式:),(yxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 (可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算) 半径由 20cm 增大解解:

25、 已知,2hrVV,100,20hr) 1(2005. 01002022V即受压后圆柱体体积减少了 .cm2003例例7. 有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm , 则 rrh2hr 21,05. 0hr)cm(2003高度由100cm 减少到 99cm ,体积的近似改变量. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求此圆柱体例例8. .计算的近似值. 02. 204. 1解解: 设yxyxf),(,则),(yxfx取, 2, 1yx则)02. 2,04. 1(04. 102. 2fyfxffyx)2, 1 ()2, 1 ()2, 1 (08. 102. 0004. 021),(yxfy,

26、1yxyxxyln02. 0,04. 0yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 微分定义:),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx4. 重要关系:)( o函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续

27、函数连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 5. 微分应用 近似计算zyyxfxyxfyx),(),(),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(),(yxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P55 1 (2) , (4)，(5) ; 2 ; 4 ; 9第三节本节内容本节内容:一、多元复合函数微分法一、多元复合函数微分法二、多元隐函数微分法二、多元隐函数微分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数 第八章 和隐函数的微分法)(),(ttfz一、多元复合函数微分法一、多元复合函数微分法定理定理. 若函数,)(, )(可导在点ttvtu),(vufz 处偏导连续, ),(

28、vu在点在点 t 可导, tvvztuuztzddddddz则复合函数证证: (略)且有链式法则vutt机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 全导数公式全导数公式 )若定理中 说明说明: ),(),(vuvuf在点例如例如:),(vufztvtu ,易知:(0,0)0 ,zu但复合函数( , )zf t t21ddtztvvztuuzdddd01010(0,0)0zv偏导数连续偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在, /2,t0,22222vuvuvu,0022vu机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定理结论不一定成立.0t ,00t （定义求）（定义求）推广推广:1) 中间变量多于两个的情

29、形. 例如, ),(wvufz 设下面所涉及的函数都可微 .tzdd321fff2) 中间变量是多元函数的情形.例如,),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(, )(, )(twtvtu又如,),(, ),(yxvvxfz当它们都具有可微条件时, 有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: 这里xzxfxz表示固定 y 对 x 求导,xf表示固定 v 对 x 求导xfxvvfyvvf与不同,v机动 目录 上页 下页

30、 返回 结束 例例1. 设设,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解法解法1xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 设设,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解法解法2xz)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 sin()xyzexysin()xyeyxycos()xyexy例例2.,sin,),(2222yxzezyxfuz

31、yxyuxu,求解法解法1xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解法解法2xu2242sinxyxyeyxyxeyxx2422sin22)sin21(2yuyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2机动 目录 上页 下页 返回 结束 2242sin,xyxyue2242sinxy

32、xye32(24sin)xxy4(22sincos )yxyy为简便起见 , 引入记号,2121vuffuff ),(1zyxzyxf例例3. 设 f 具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy则zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、多元隐函数微分法二、多元隐函数微分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 0)(,(xfxF两边对 x 求导0ddxy

33、yFxFyxFFxydd0yF,0),()(所确定的隐函数为方程设yxFxfy当则1、例例4. 已知01sinyxeyx可确定隐函数, )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解: 令, 1sin),(yxeyyxFx, yeFxx则xyFy cos机动 目录 上页 下页 返回 结束 求0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyex0, 0yx0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos( xy 3100yyx)(yex)(cosxy )(yex) 1sin(yy1, 0, 0yyx0 xy)(, 01sinxyyyxeyxyycos两边对 x 求导1xey0 yx)0 , 0(

34、cosxyyex另一求法另一求法 利用等式两边直接求导法利用等式两边直接求导法机动 目录 上页 下页 返回 结束 =30yx同理再求导，得0),(,(yxfyxF两边对 x 求偏导xFzxFFxzzyFFyz同样可得,0),(),(所确定的隐函数是方程设yxFyxfz则zFxz0机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、0zF 当例例5. 设,04222zzyx.22xz求机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法1 利用公式法利用公式法设zzyxzyxF4),(222则,2xFxzxFFxz两边对 x 求偏导)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242

35、 zFz机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 利用等式两边直接求导法利用等式两边直接求导法0422xzxzzxzxxz222zx322)2()2(zxz同理再对 x 求偏导，得例例5. 设,04222zzyx.22xz求内容小结内容小结1. 多元复合函数微分法例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f2机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 多元隐函数微分法方法1. 方程两边同时求导法(复合函数求导法);方法2. 隐函数求导公式法.机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P59 1 (1), (4)； 6 (1) ， 8第四节复习

36、 目录 上页 下页 返回 结束 一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第八章 复习复习: 平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线)(xfy ),(00yx切线方程0yy 法线方程0yy )(00 xxxf)()(100 xxxf在点有机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法机动 目录 上页 下页 返回 结束 位置.TM空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限平面平面.1. 曲线方程为参数方程的情况曲线方程为

37、参数方程的情况)(, )(, )(:tztytxzzzyyyxxx000, t上述方程之分母同除以得令, 0t切线方程切线方程000zzyyxx),(0000zyxMtt对应设 ),(0000zzyyxxMttt对应)(0t)(0t)(0t机动 目录 上页 下页 返回 结束 TMM:的方程割线MM)(00 xxt此处要求)(, )(, )(000ttt也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量切向量 .)( )(00yyt0)(00zzt如个别为0, 则理解为分子为 0 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 M不全为0, )(, )(, )(000tttTT因此得法平面方程法平面方程

38、 o)(trTzyxo例例1. 求圆柱螺旋线 kzRyRx,sin,cos2对应点处的切线方程和法平面方程.,2时当切线方程 Rx法平面方程xR022kzkxR即002RykRzRxk即解解: 由于,sinRx0Ry kkz2,cosRy , kz ),0(20kRM对应的切向量为0)(2kzk在机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),0,(kRT, 故2. 曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxF当0),(),(zyGFJ)()(xzxy曲线上一点),(000zyxM, 且有时, 可表示为处的切向量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(, )(,

39、100 xxT法平面方程法平面方程)(0 xx )(0yy 00+()0 xzz机动 目录 上页 下页 返回 结束 0+x则在点),(000zyxM切线方程切线方程有000001xxyyzzxx例例2. 求曲线0,6222zyxzyx在点M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxzzxyydddd方程组两边对 x 求导, 得1ddddxzxy1111ddzyxyxz11ddzyxy曲线在点 M(1,2, 1) 处有:切向量得11zx,zyxzzyyx)1,0, 1 (MMxzxyTdd,dd,1解解:切线方程121zyx即0202yzx法平面方

40、程0) 1() 1()2(0) 1(1zyx即0 zx点 M (1,2, 1) 处的切向量011机动 目录 上页 下页 返回 结束 )1,0, 1(T0),(:zyxF二、二、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面通过其上定点),(000zyxM0tt 设对应点 M,)(, )(, )(000ttt切线方程为)()()(000000tzztyytxx不全为0 . 则 在, )(, )(, )(:tztytx且点 M 的切向量切向量为任意引一条光滑曲线MT下面证明:此平面称为 在该点的切平面切平面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上

41、. )(, )(, )(000tttTMT证:机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 上,)(, )(, )(:tztytx0) )(, )(, )(tttF,0处求导两边在tt ,0Mtt对应点注意 )(0t0),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz)(0t)(0t得)(, )(, )(000tttT),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令nT 切向量由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以为法向量n的平面上 , 从而切平面存在 .n)( ),(0000 xxzyxFx曲面 在点 M 的法向量法向量法线方程法线方程 000zz

42、yyxx)( ),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFzMTn),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx复习 目录 上页 下页 返回 结束 )( ),(000 xxyxfx曲面时, ),(yxfz zyxfzyxF),(),(则在点),(zyx故当函数 ),(yxf),(00yx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法线方程法线方程,yyfF 1zF令有在点),(000zyx特别特别, 当光滑曲面 的方程为显式 在点有连续偏导数时, )(

43、),(000yyyxfy0zz,xxfF 切平面方程切平面方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求球面3632222zyx在点(1 , 2 , 3) 处的切平面及法线方程. 解解:3632),(222zyxzyxF所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x03694zyx即法线方程法线方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量令机动 目录 上页 下页 返回 结束 )6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1(n例例4. 确定正数 使曲面zyx222zyx在点),(000zyxM解解: 二曲面在 M 点的法向量分别为二曲面在点

44、 M 相切, 故000000000zyxyzxxzy0 x202020zyx又点 M 在球面上,32202020azyx故于是有000zyx2a相切.333a与球面机动 目录 上页 下页 返回 结束 , ),(0000001yxzxzyn ),(0002zyxn 21/nn, 因此有20y20z21. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程 000zzyyxx法平面方程)(00 xxt1) 参数式情况.)()()(:tztytx空间光滑曲线切向量内容小结内容小结)(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(, )(, )(0

45、00tttT空间光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxF切向量2) 一般式情况.机动 目录 上页 下页 返回 结束 法平面方程法平面方程)(0 xx )(0yy 00+()0 xzz0+x切线方程切线方程000001xxyyzzxx)(, )(, 100 xxT空间光滑曲面0),(:zyxF曲面 在点法线方程法线方程),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)( ),()( ),(00000000yyzyxFxxzyxFyx1) 隐式情况 .的法向量法向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程2. 曲面的切平面与法线

46、曲面的切平面与法线机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx空间光滑曲面),(:yxfz )( ),()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法线方程法线方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法向量法向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 (, , 1)xynff2）显式情况.思考与练习思考与练习1. 如果平面01633zyx与椭球面相切,提示提示: 设切点为, ),(000zyxM则223yx .求000226zyx3301633000zyx163202020zyx2

47、机动 目录 上页 下页 返回 结束 162 z(二法向量平行) (切点在平面上)(切点在椭球面上)证明 曲面)(xyfxz 上任一点处的切平面都通过原点.提示提示: 在曲面上任意取一点, ),(000zyxM则通过此0zz 作业作业 P67 2，3，5, 8)(0 xxxzM)(0yyyzM2. 设 f ( u ) 可微,第七节 目录 上页 下页 返回 结束 证明原点坐标满足上述方程 .点的切平面为第五节第五节一、方向导数一、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度二、梯度 方向导数与梯度方向导数与梯度 第八章 l000(,)P xy一、方向导数一、方向导数机动 目录 上页 下页

48、 返回 结束 000,zf x yP x y在 cos ,cosle00coscosxxyy设点的某邻域有定义，l则射线的参数方程为l为始点的一条射线，为以0P同方向的单位向量，是与 l, P x yl00,PP令( , )P x y定义定义:0limf则称lflf若下列极限存在: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记作记作 l000(,)P xy( , )P x y00000(cos ,cos )(,)limf xyf x y为函数在点 处沿方向 l 的方向导数方向导数.0P22()()xy （)xflf 当 l 与 x 轴同向有时,2, 0 当 l 与 x 轴反向有时,2,xflfPlx

49、yol( , )f x y定理定理:在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在 ,+0limfflcoscosffflxy,证明证明: 由函数( , )f x y( )fffxyoxy coscosffxy且有)(o得机动 目录 上页 下页 返回 结束 故coscosffxy若在点000(,)P xy可微， 则函数为 l 的方向角.其中其中l000(,)P xy( , )P x y在点在点000(,)P xy可微，可微，机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于三元函数( , , )f x y z) 的方向导数为0000000(cos ,cos ,cos )( ,)limff xyzf x

50、y zl在点0000(,)P xy z(方向角为,沿方向 lcoscoscosfffxyz222()()()xyz ( ）例例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量zyxu2, 1,2(l3) 的方向导数 .,142cosPlu) 1, 1, 1 (146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 向量 l 的方向余弦为例例2. 求函数 在点P(2, 3)沿曲线223yyxz12 xy朝 x 增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用参数方程表示为2)2, 1 (xxPlz它在点 P 的切向量为,171cos1760 xoy

51、2P1 2xyxx1716xy174)23(2yx)3,2()4, 1 (174cos1机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 设是曲面n在点 P(1, 1, 1 )处指向外侧的法向量,解解: 方向余弦为,142cos,143cos141cos而Pxu,148Pyu14PzuPnu同理得) 1,3,2(2632222zyx方向的方向导数.Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866zyxu2286在点P 处沿求函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 nn二、梯度二、梯度 方向导数公式coscoscoszfyfxflf令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模

52、: f 的最大变化率之值方向导数取最大值：机动 目录 上页 下页 返回 结束 zfyfxfG,)cos,cos,(cos0l),cos(0lGG)1(0l0lGlf,0方向一致时与当Gl:GGlfmax定义定义, fadrg即fadrg同样可定义二元函数),(yxf),(yxPyfxfjyfixff,grad称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度zfyfxf,kzfjyfixf记作(gradient),在点处的梯度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 G向量内容小结内容小结1. 方向导数方向导数 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP沿方向 l (方向角),为的方向导数为coscosco

53、szfyfxflf 二元函数 ),(yxf在点),(yxP),的方向导数为coscosyfxflf沿方向 l (方向角为yfxfcossin机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 梯度梯度 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP处的梯度为zfyfxff,grad 二元函数 ),(yxf在点),(yxP处的梯度为),(, ),(gradyxfyxffyx3. 关系关系方向导数存在偏导数存在 可微机动 目录 上页 下页 返回 结束 P73 2，3，6 作业作业第八节 目录 上页 下页 返回 结束 第八章 第六节第六节一、二元函数的极值一、二元函数的极值 二、最值应用问题二、最值应用问题三、条

54、件极值三、条件极值机动 目录 上页 下页 返回 结束 二元函数的极值二元函数的极值xyz一、二元函数的极值一、二元函数的极值 定义定义: 若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如例如 :在点 (0,0) 有极小值;在点 (0,0) 有极大值;在点 (0,0) 无极值.极大值和极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22yxzyxz ),(),(00yxyxfz在点的某邻域内有xyzxyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如,定理定理1 (必要条件) 函数偏

55、导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得极值 ,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.且在该点取得极值 , 则有),(),(00yxyxfz在点存在),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 时, 具有极值定理定理2 (充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且令则: 1) 当A0 时取极小值.2) 当3) 当时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.若函数的在点),(),(00yx

56、yxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1. 求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值.求二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1

57、 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在点(1,2) 处不是极值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.讨论函数及是否取得极值.解解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.因此,

58、022时当 yx222)(yxz0)0 , 0( z为极小值.正正负负033yxz222)(yxz在点(0,0)xyzo并且在 (0,0) 都有 02 BAC33yxz可能为0)()0 , 0()0 , 0(222yxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、最值应用问题二、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个只有一个极值点P 时, )(Pf为极小 值)(Pf为最小 值( (大大) )( (大大) )依据机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3.解解: 设水箱长,宽分别为 x , y m

59、 ,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为高为时, 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成解解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x积最大. )0,120:(2 xD为问怎样折法才能使断面面机动 目录 上页 下页 返回