第二章数学模型和数值分析方法

1、计算机在材料科学与工程中的应用王建刚王建刚第第1 1章章 数学模型与数值分析方法数学模型与数值分析方法1.1 数学模型基础数学模型基础1.2 建模步骤和原则建模步骤和原则1.3 建模方法建模方法第一部分第一部分 数学模型数学模型第第1 1章章 数学模型与数值分析方法数学模型与数值分析方法 对于一个对于一个客观实际客观实际，为了一个，为了一个特定目的特定目的，根据其，根据其本身属性本身属性及内在规律及内在规律，作出必要的，作出必要的抽象、简化假设抽象、简化假设，运用适当的，运用适当的数学工数学工具（数学公式、数学符号、程序及图表等）具（数学公式、数学符号、程序及图表等），得到的一个，得到的一个数

2、学数学结构结构。基本概念基本概念21现现实实世世界界数数学学世世界界建立数学模型建立数学模型翻译为实际解答翻译为实际解答始于现实世界并终于现实世界始于现实世界并终于现实世界1.1 1.1 数学模型基础数学模型基础2 2数学模型分类数学模型分类 2 2按照建立模型数学方法按照建立模型数学方法初等模型初等模型、图论模型、图论模型、规划论模型规划论模型、微分方程模型微分方程模型、最优控制模型最优控制模型、随机模型、模拟模型等。随机模型、模拟模型等。初等模型初等模型-为采用简单而且初等的方法建立问题的数学模型。为采用简单而且初等的方法建立问题的数学模型。微分方程模型微分方程模型-指的是在所研究的现象或

3、过程中取一局部或一瞬间，指的是在所研究的现象或过程中取一局部或一瞬间，然后找出有关变量和未知变量的微分（或差分）之间的关系式，从而然后找出有关变量和未知变量的微分（或差分）之间的关系式，从而获得系统的数学模型。获得系统的数学模型。1.1 1.1 数学模型基础数学模型基础按照对实体的认识过程按照对实体的认识过程描述性模型、解释性数学模型。描述性模型、解释性数学模型。描述性模型描述性模型从特殊到一般，从分析具体客观事物及其状态开始，最从特殊到一般，从分析具体客观事物及其状态开始，最终得到一个数学模型。终得到一个数学模型。解释性模型解释性模型由一般到特殊，从一般的公理系统出发，借助于数学壳由一般到特

4、殊，从一般的公理系统出发，借助于数学壳体，对公理系统给出正确解释。体，对公理系统给出正确解释。1.1 1.1 数学模型基础数学模型基础按照模型的应用领域按照模型的应用领域人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、水资源模型、再生资源人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、水资源模型、再生资源利用模型等。利用模型等。按照模型的特征按照模型的特征静态模型和动态模型、确定性模型和随机、离散模型和连续性模型、静态模型和动态模型、确定性模型和随机、离散模型和连续性模型、线性模型和非线性模型等。线性模型和非线性模型等。按照模型的了解程度按照模型的了解程度白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。白箱模型、灰箱模型和黑箱

5、模型。数学模型的根本作用在于它将客观原型进行抽象和数学模型的根本作用在于它将客观原型进行抽象和简化，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际简化，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题。问题。材料科学从最早的试错法的手工操作到作为当代重要科材料科学从最早的试错法的手工操作到作为当代重要科学支柱，数学的应用起着非常重要的作用，利用数学这一有学支柱，数学的应用起着非常重要的作用，利用数学这一有效工具，可以深刻认识客观现象的本质规律，促进学科发展。效工具，可以深刻认识客观现象的本质规律，促进学科发展。在材料研究和应用中，要对有关问题进行计算，就必须先建在材料研究和应用中，要对有关问题进行计算，就必

6、须先建立该问题的数学模型。（材料设计，生产过程（极端条件，立该问题的数学模型。（材料设计，生产过程（极端条件，纳米枪）纳米枪）1.1 1.1 数学模型基础数学模型基础2数学模型的作用数学模型的作用 33.1 3.1 数学模型和数学建模数学模型和数学建模模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用模模型型准准备备了解实际背景了解实际背景明确建模目的明确建模目的搜集有关信息搜集有关信息掌握对象特征掌握对象特征形成一个形成一个比较清晰比较清晰的的问题问题1.2 1.2 建立数学模型的一般步骤和原则建立数学模型的一般步骤和原则3.1

7、3.1 数学模型和数学建模数学模型和数学建模建模一般步骤建模一般步骤 ：模模型型假假设设目的性原则、简明性原则、目的性原则、简明性原则、 真实性原则、全面性原则真实性原则、全面性原则在合理与简化之间作出折中在合理与简化之间作出折中模模型型构构成成用数学的语言、符号描述问题用数学的语言、符号描述问题发挥想像力发挥想像力 使用类比法使用类比法尽量采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具1.2 1.2 建立数学模型的一般步骤和原则建立数学模型的一般步骤和原则3.1 3.1 数学模型和数学建模数学模型和数学建模模型模型求解求解各种数学方法、软件和计算机技术。各种数学方法、软件和计算机技术。模型模型分析

8、分析如结果的误差分析、统计分析、模型对如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析。数据的稳定性分析。模型模型检验检验与实际现象、数据比较，检验模型的合与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性。理性、适用性。模型应用模型应用1.2 1.2 建立数学模型的一般步骤和原则建立数学模型的一般步骤和原则3.1 3.1 数学模型和数学建模数学模型和数学建模建模的全过程建模的全过程现实对象的信息现实对象的信息数学模型数学模型现实对象的解答现实对象的解答数学模型的解答数学模型的解答表述表述求解求解解释解释验证验证(归纳)(演绎)表述表述求解求解解释解释验证验证根据建模目的和信息将实际问题根据建模

9、目的和信息将实际问题“翻译翻译”成数学问题成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答将数学语言表述的解答“翻译翻译”回实际对象回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答用现实对象的信息检验得到的解答实践现现实实世世界界数数学学世世界界理论实践1.2 1.2 建立数学模型的一般步骤和原则建立数学模型的一般步骤和原则实例：激光冲击残余应力的估算目前，人们对残余应力的测试一般采用的是一种破坏性的测试方法，而这种方法极大的防碍了激光冲击强化技术在工程中的应用，造成大量人力物力的浪费，增加了生产的成本，限制了人们对被加工性能的有效控制。激光冲击的

10、基本力学模型：v. 假设：假设：1) 假设在微秒时间内结构在厚度方向上所有质量都受到波及，而结构塑性动力响应通常需要经历毫秒以至更长时间才会达到结构的最大形变；2) 假设被冲击的工件材料为理想的刚塑性材料；3) 激光冲击压力为GPa;弹性形变塑性形变Shock wave1.2 1.2 建立数学模型的一般步骤和原则建立数学模型的一般步骤和原则激光冲击应力为一维平面波，在激光冲击区取一个微体积元，仅在x方向考虑被压缩，即冲击波沿X方向传播，考虑应力和应变的关系，为保持x的单轴应变条件而假设y= z,形变侧面Y、Z方向尺寸不变，X方向有弹塑性变形，激光冲击后弹性变形恢复不完全，导致了残余应力的产生。

11、1.2 1.2 建立数学模型的一般步骤和原则建立数学模型的一般步骤和原则2.根据Mises屈服准则有： x-y|b在弹性范围内，应力与应变的关系为：x=+2xy=+2yz=+2z式中： x yz，因为是单轴变形，侧面受到介质约束， x（V0-V)/V, y =z=0,V是体积，2(+u)，和u是材料的拉梅常数，是泊松比。(1)xyxyxX01.2 1.2 建立数学模型的一般步骤和原则建立数学模型的一般步骤和原则 在塑性变形状态，应变增量是弹性和塑性增量之和。因而在X方向有： dx=dxe+dxp因为不存在塑性膨胀，所以有dxp dyp +dzp =0微元体中的残余应力是弹性和塑性应变引起的，d

12、x=d+2(dxe+dxp)dy=d+2（dye+dyp）dz=d+2(dze+dzp）(2)1.2 1.2 建立数学模型的一般步骤和原则建立数学模型的一般步骤和原则激光冲击应力作用后，在冲击强化区的y，z方向上由弹性应力引起的弹性变形难以完全恢复，所以，在激光冲击区形成残余应力，于是可得简单算式：y=1-x实际上x是随冲击应力波的衰减而变化，故残余应力y也是随x的变化而变化，设：x e-x有x=maxe-bx(3)(4)其中b为参量；1.2 1.2 建立数学模型的一般步骤和原则建立数学模型的一般步骤和原则在玻璃(K9)的约束层的条件下，激光冲击产生的峰压可以估算为： Pmax=0.2871/

13、3(A.q0)2/3如果有max=pmax代入公式()x=pmaxe-bxy= pmaxe-bx1-(5) 显然该式(5)所表达的是Pmax未卸载时残余应力的情形。令x=0，取Pmax2.8GPa，0.29，则b不论取何值，y=-1.12GPa，这显然与实际测量值y=-400MPa相去甚远，因此必须对式（）加以修正。首先，由弹性力学原理可知：E. 因此，材料的弹塑性形变与弹性模量关系较大，材料受到相同外力作用时，弹性模量大的材料，弹塑性形变小；因此有：yE(6)1.2 1.2 建立数学模型的一般步骤和原则建立数学模型的一般步骤和原则其次，由冲击动力学原理可知，当材料的冲击变形深度相同时，材料本

14、身的弹性模量大，屈服极限高，冲击波对材料产生的残余应力的影响就深。如果材料本身弹性模量小，局部极限低，冲击波对材料产生的残余应力深度就浅。因此有：ye-bx/E (7)结合() () () ()1-(8)x EPmaxe-bx/Ey E Pmaxe-bx/E然而此时，还需使公式()满足边界条件X=0时，解决y与实际残余应力值相差太远的问题，因此还必须在公式()中加入一个系数K,即：x=EkPmaxe-bx/Ey=Ek Pmaxe-bx/E1-(9) 利用45钢试样的一组残余应力数据对式（9)进行拟合，从而求得K=2.3x10-6(MPa)-1; b=2.16x108(MPa/m)，将所得的k,

15、b数据代入公式（9）得到激光冲击强化残余应力的一般估算经验公式： x=2.3x10-6EPmaxe-2.16x108 x/E y=2.3x10-6 Pmaxe-2.16x108 x/EE-11.2 1.2 建立数学模型的一般步骤和原则建立数学模型的一般步骤和原则21应用自然科学中已被证明是正确的理论、原理和定律，对被应用自然科学中已被证明是正确的理论、原理和定律，对被研究系统的有关因素进行分析、演绎、归纳，从而建立系统研究系统的有关因素进行分析、演绎、归纳，从而建立系统的数学模型。的数学模型。EgEg. . 在渗碳工艺过程中通过平衡理论找出控制参量与炉气碳势之在渗碳工艺过程中通过平衡理论找出控

16、制参量与炉气碳势之间的理论关系式间的理论关系式。1.3 1.3 常用的数学建模方法常用的数学建模方法理论分析法理论分析法结构及性质已经了解，但其数量描述及求解都相当困难。如结构及性质已经了解，但其数量描述及求解都相当困难。如构造出结构和性质与其相同，可以把后一种模型看成是原来构造出结构和性质与其相同，可以把后一种模型看成是原来模型的模拟。模型的模拟。EgEg. . 钢铁材料中裂纹在外载荷作用下尖端的应力、应变分布，采用环钢铁材料中裂纹在外载荷作用下尖端的应力、应变分布，采用环氧树脂制备成具有同样结构的模型，并根据钢铁材料中裂纹形式在环氧树脂制备成具有同样结构的模型，并根据钢铁材料中裂纹形式在环

17、氧树脂模型加工出裂纹；借助实验光测力学的手段来完成分析。氧树脂模型加工出裂纹；借助实验光测力学的手段来完成分析。22模拟方法模拟方法2类比分析法类比分析法 3若两个不同的系统，可以用同一形式的数学模型来描述，若两个不同的系统，可以用同一形式的数学模型来描述，则此两个系统就可以互相类比。类比分析法是根据两个则此两个系统就可以互相类比。类比分析法是根据两个（或两类）系统某些属性或关系的相似，去猜想两者的其（或两类）系统某些属性或关系的相似，去猜想两者的其它属性或关系也可能相似的一种方法。它属性或关系也可能相似的一种方法。EgEg. .在聚合物的结晶过程中，结晶度随时间的延续不断增加，最后趋在聚合物

18、的结晶过程中，结晶度随时间的延续不断增加，最后趋于该结晶条件下的极限结晶度，现期望在理论上描述这一动力学过程于该结晶条件下的极限结晶度，现期望在理论上描述这一动力学过程（即推导（即推导AvramiAvrami方程）。方程）。 聚合物的结晶过程包括成核和晶体生长两个阶段，这与下雨时雨聚合物的结晶过程包括成核和晶体生长两个阶段，这与下雨时雨滴落在水面上生成一个个圆形水波并向外扩展的情形相类似，因此可滴落在水面上生成一个个圆形水波并向外扩展的情形相类似，因此可通过水波扩散模型来推导聚合物结晶时的结晶度与时间的关系通过水波扩散模型来推导聚合物结晶时的结晶度与时间的关系。 1.3 1.3 常用的数学建模

19、方法常用的数学建模方法2数据分析法数据分析法 4若在系统的结构性质不大清楚，但有若干能表征系统规律，若在系统的结构性质不大清楚，但有若干能表征系统规律，描述系统状态的数据可利用时，回归分析是处理这类问题描述系统状态的数据可利用时，回归分析是处理这类问题的有利工具。的有利工具。EgEg. .经实验获得低碳钢的屈服点经实验获得低碳钢的屈服点 s s 与晶粒直径与晶粒直径d d对应关系对应关系如表如表1-31-3中的数据所示，用最小二乘法建立起中的数据所示，用最小二乘法建立起d d与与 s s之间关之间关系的数学模型（即霍尔系的数学模型（即霍尔- -配奇配奇Hall-Hall-PetchPetch公

20、式）。公式）。1.3 1.3 常用的数学建模方法常用的数学建模方法2数据分析法数据分析法 4按照上述最小二乘法原理，误差平方和为最小的直线按照上述最小二乘法原理，误差平方和为最小的直线是最佳直线。求是最佳直线。求 最小值的条件是最小值的条件是400 50105286 121 180 242 345低碳钢屈服极限与晶粒直径低碳钢屈服极限与晶粒直径以以d d-1/2-1/2作为作为x x， s s作为作为y y，取取y=y=a+bya+by，为一直线。设实验数为一直线。设实验数据点为（据点为（X Xi i，Y Yi i），），一般来说，一般来说，直线并不通过其中任一实验数直线并不通过其中任一实验数

21、据点，因此，每点均有偶然误据点，因此，每点均有偶然误差差e ei i，e ei i=(=(a+bXa+bXi i) )-Y-Yi i512iie0052512beaeiiii和2121069.39309.64dKd1.3 1.3 常用的数学建模方法常用的数学建模方法md2mkNs1. 有限差分法有限差分法2. 有限元法有限元法第二部分第二部分 数值分析方法数值分析方法第第1 1章章 数学模型与数值分析方法数学模型与数值分析方法2.1 2.1 有限差分法有限差分法2概述概述 1 有限差分方法使是以有限差分方法使是以有限差分有限差分代替代替无限微分无限微分、以、以差分代数方差分代数方程程代替代替微

22、分方程微分方程、以、以数值计算数值计算代替代替数学推导数学推导的过程，从而将连的过程，从而将连续函数离散化，以有限的、离散的数值代替连续的函数分布。续函数离散化，以有限的、离散的数值代替连续的函数分布。主要步骤：主要步骤：1 1）构成差分格式构成差分格式。首先选择网格布局、差分形式和步长；。首先选择网格布局、差分形式和步长；其次，以有限差分代替无限微分。其次，以有限差分代替无限微分。2 2）求解差分方程求解差分方程。精确法，又称直接法，即消元法；近似。精确法，又称直接法，即消元法；近似法，又称间接法，即迭代法。法，又称间接法，即迭代法。3 3）对所得的数值解进行）对所得的数值解进行精度与收敛性

23、分析和检验精度与收敛性分析和检验。2差分方程的建立差分方程的建立22.1 2.1 有限差分法有限差分法yxxyi，j+1i+1，ji，ji-1，ji，j-1O1. 1. 合理选择网格布局及步长合理选择网格布局及步长 将求解区域内连续变化的自变量将求解区域内连续变化的自变量离散化，形成离散化网格。网格交点离散化，形成离散化网格。网格交点称为结点，区域内函数被离散化。将称为结点，区域内函数被离散化。将离散化后各相邻离散点之间的距离，离散化后各相邻离散点之间的距离，或离散化单元的长度称为步长。或离散化单元的长度称为步长。2. 2. 将微分方程转化为差分方程将微分方程转化为差分方程(1)(1) 差分差

24、分 某物理量的有限增量，分向前差分、向后差分某物理量的有限增量，分向前差分、向后差分和中心差分三种。和中心差分三种。(2)(2) 差商差商 差商为函数的差分与自变量差分之比。差商为函数的差分与自变量差分之比。2差分方程的求解方法差分方程的求解方法32.1 2.1 有限差分法有限差分法v直接法：直接法： 矩阵法、矩阵法、GaussGauss消元法、消元法、主元素主元素消元法消元法v间接法：间接法： JocobiJocobi迭代法、迭代法、SeidelSeidel迭代法和迭代法和超松弛超松弛(SOR)(SOR)迭代法迭代法2.2 2.2 有限元法有限元法有限元法的要点：有限元法的要点： 将一个表示

25、结构或连续体的求解域离散为若干个子将一个表示结构或连续体的求解域离散为若干个子域（单元），并通过他们边界上的结点相互联结成域（单元），并通过他们边界上的结点相互联结成为组合体。为组合体。 用每个单元内所假设的近似函数来分片地表示全求用每个单元内所假设的近似函数来分片地表示全求解域内待求的未知场变量。解域内待求的未知场变量。 通过和原问题数学模型（基本方程、边界条件）等通过和原问题数学模型（基本方程、边界条件）等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量( (场函数的结点值场函数的结点值) )的代数方程组或常微分方程组。的代数方程组或常微分方程组。有

26、限元分析的基本思想有限元分析的基本思想: : 把连续的几何结构离散成有限个单元的集合体把连续的几何结构离散成有限个单元的集合体，并在每，并在每一个单元中设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处一个单元中设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处相连接的一组单元的集合体；同时选定相连接的一组单元的集合体；同时选定场函数场函数的节点值作为的节点值作为基本未知量，并在每一单元中假设一基本未知量，并在每一单元中假设一近似插值函数近似插值函数以表示单以表示单元中场函数的分布规律，再建立用于求解节点未知量的有限元中场函数的分布规律，再建立用于求解节点未知量的有限元方程组，从而将一个连续域中的无限自由度问

27、题化为离散元方程组，从而将一个连续域中的无限自由度问题化为离散域中的域中的有限自由度问题有限自由度问题，求解得到节点值后就可以通过设定，求解得到节点值后就可以通过设定的插值函数确定单元上以致整个集合体上的场函数。运用有的插值函数确定单元上以致整个集合体上的场函数。运用有限元法可以模拟和逼近复杂的求解域。限元法可以模拟和逼近复杂的求解域。 2.2 2.2 有限元法有限元法ANSYSANSYS有限元分析的典型步骤：有限元分析的典型步骤： 1 1）利用前处理模块，建立有限元模型，包括（）利用前处理模块，建立有限元模型，包括（1 1）定义单元类型，（定义单元类型，（3 3）定义实常数，（）定义实常数，

28、（4 4）定义材料）定义材料属性，（属性，（5 5）建立几何模型，（）建立几何模型，（6 6）对几何模型划分）对几何模型划分网格；网格；2 2）利用求解模块进行加载和计算；）利用求解模块进行加载和计算；3 3）利用）利用后处理模块查看结果，对结果图形显示和输出。后处理模块查看结果，对结果图形显示和输出。2.2 2.2 有限元法有限元法2有限元法的基本概念有限元法的基本概念-直接刚度法直接刚度法12.2 2.2 有限元法有限元法通过一个例子来介绍直接刚度法，说明有限元通过一个例子来介绍直接刚度法，说明有限元法求解的一般步骤。法求解的一般步骤。例：考虑一个变截面杆，如图示。杆的一端固定，另一例：考

29、虑一个变截面杆，如图示。杆的一端固定，另一端承受端承受P=1000NP=1000N的载荷，杆的顶部宽的载荷，杆的顶部宽w1=2cmw1=2cm，杆的底，杆的底部宽部宽w2=1cmw2=1cm，杆的厚度，杆的厚度t=0.125cmt=0.125cm，长度，长度L=10cmL=10cm，杆，杆的弹性模量的弹性模量E=10.4E=10.4105MPa105MPa。试分析该杆沿长度方。试分析该杆沿长度方向不同位置的变形情况，质量忽略不计。向不同位置的变形情况，质量忽略不计。1. 1. 前处理过程前处理过程(1)(1)求解区域离散化求解区域离散化将求解的问题分解为结点和单元将求解的问题分解为结点和单元3

30、.2 3.2 数学建模软件简介数学建模软件简介2.2 2.2 有限元法有限元法(2) (2) 建立单元位移方程建立单元位移方程 先考虑一截均一长度为先考虑一截均一长度为l、截、截面为面为A A的固体单元受外力的固体单元受外力F F的变的变形情况。形情况。以弹簧的变形来模拟固体单元以弹簧的变形来模拟固体单元的变形，等价刚度为：的变形，等价刚度为：keq=AE/l前面问题可近似将杆模型化为不同截面的等截前面问题可近似将杆模型化为不同截面的等截面杆的串联。杆在顶端固定，静态平衡时，可面杆的串联。杆在顶端固定，静态平衡时，可获得如下方程：获得如下方程：1 0 0 0 0-k1 k1+k2 -k2 0

31、00 -k2 k2+k3 -k3 00 0 -k3 k3+k4 -k40 0 0 -k4 k4u1u2u3u4u50000P=2.2 2.2 有限元法有限元法(3) (3) 建立单元刚度方程建立单元刚度方程 每个单元有两个结点，每个每个单元有两个结点，每个结点可建立两个方程。方程包结点可建立两个方程。方程包含结点位移和单元的刚度。结含结点位移和单元的刚度。结点点i i和和i+1i+1处可有方程：处可有方程：(4) (4) 单元集成单元集成将上式用于所有单元，将上式用于所有单元，进行集成，得到总体进行集成，得到总体刚度矩阵：刚度矩阵：keq -keq -keq keqfifi+1uiui+1=k

32、1 -k1 0 0 0-k1 k1+k2 -k2 0 00 -k2 k2+k3 -k3 00 0 -k3 k3+k4 -k40 0 0 -k4 k4=K(G) (5) (5) 施加边界条件和载荷施加边界条件和载荷2. 2. 求解阶段求解阶段3. 3. 后处理阶段后处理阶段( (一一) ) 加权余量法加权余量法工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u u应满足应满足微分方程组：微分方程组：2.2 2.2 有限元法有限

33、元法2有限元法的基本理论有限元法的基本理论2域域可以是体积域，面积域等，如可以是体积域，面积域等，如图示，同时未知函数图示，同时未知函数u u还应满足边还应满足边界条件：界条件：是域是域的边界的边界(2-1)(2-1)(2-2)(2-2)2.2 2.2 有限元法有限元法要求解得未知函数要求解得未知函数u u可以是标量场（如温度场），也可是几个变量组可以是标量场（如温度场），也可是几个变量组成的向量场（如位移、应变、应力等）。成的向量场（如位移、应变、应力等）。A A、B B是对于独立变量的微是对于独立变量的微分算子。微分方程组是（分算子。微分方程组是（2-12-1）在域）在域中每一点都必须为零

34、，因此：中每一点都必须为零，因此：(2-3)(2-3)其中其中V V是函数向量，它是和微分方程个数相等是函数向量，它是和微分方程个数相等的任意函数。的任意函数。同理，假如边界条件式（同理，假如边界条件式（2-22-2）也同时在边界上的每一点都得到满）也同时在边界上的每一点都得到满足，对于一组任意函数足，对于一组任意函数V V应有：应有：(2-4)(2-4)因此若积分形式因此若积分形式对于所有的对于所有的V V和和V V都成立，式（都成立，式（2-52-5）称为微分方程的等效积分形式。）称为微分方程的等效积分形式。(2-5)(2-5)2.2 2.2 有限元法有限元法对于微分方程式（对于微分方程式

35、（2-12-1）和边界条件式（）和边界条件式（2-22-2）所表达的物理问题，）所表达的物理问题，未知函数未知函数u u可以用近似函数来表示。近似函数是一族带有待定参数的可以用近似函数来表示。近似函数是一族带有待定参数的已知函数，一般形式是：已知函数，一般形式是：(2-6)(2-6)式中，式中，aiai是待定参数，是待定参数，NiNi是称为试探函数的已知函数。是称为试探函数的已知函数。在式（在式（2-52-5）中，用）中，用n n个规定函数来代替任意函数个规定函数来代替任意函数V V和和V V，即：，即：(2-7)(2-7)可以得到近似的等效积分形式：可以得到近似的等效积分形式：权函数权函数采用使余量的加权积分为零的方法来求微分方程的近似解的方法称采用使余量的加权积分为零的方法来求微分方程的近似解的方法称为为加权余量法加权余量法。(2-8)(2-8)2.2 2.2 有限元法有限元法按照对权函数的不同选择，加权余量法分为以下几种：按照对权函数的不同选择，加权余量法分为以下几种：1. 1. 配点法配点法若域若域是独立坐标是独立坐标x x的函数，的函数，(x-xj(x-xj) )则有如下性质：当则有如下性质：当xxjxxj时，时，WjWj=0=