苏教版高中数学选修（1-2）-2.1《归纳推理》参考课件1

1、 内容结构内容结构 “推理与证明推理与证明”是数学的基本思维过程，是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方也是人们学习和生活中经常使用的思维方式推理一般包括式推理一般包括合情推理合情推理和和演绎推理演绎推理在本在本章中，我们将通过对已学知识的回顾，进一步章中，我们将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法的基本方法, ,包括直接证明的方法（如分析法、包括直接证明的方法（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如综

2、合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。推理：推理：从一个或几个已知命题得出另一个从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程。新命题的思维过程。推理推理前提前提结论结论推理所依据的命题推理所依据的命题.根据前提所得到的命题根据前提所得到的命题.推理案例推理案例1：前提：前提：当当n=0时，时，n2-n+11=11;当当n=1时，时，n2-n+11=11;当当n=2时，时，n2-n+11=13;当当n=3时，时，n2-n+11=17;当

3、当n=4时，时，n2-n+11=23;当当n=5时，时，n2-n+11=31;11,11,13,17,23,31都是质数都是质数.结论：结论：对于所有的自然数对于所有的自然数n，n2-n+11的值都是质数的值都是质数.归归纳纳推推理理推理案例推理案例2：前提：前提：结论：结论：矩形的对角线的平方等于长与宽的矩形的对角线的平方等于长与宽的平方和平方和. .长方体的对角线的平方等于长、宽、长方体的对角线的平方等于长、宽、高的平方和高的平方和. .类比推理类比推理归纳推理归纳推理合情推理合情推理例例1：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺

4、呼吸的。蛇、鳄龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物。鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物。由此猜想：由此猜想：例例2：三角形的内角和是三角形的内角和是180180度，凸四边形的内度，凸四边形的内角和是角和是360360度，凸五边形的内角和是度，凸五边形的内角和是540540度，度，由此猜想：由此猜想：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。所有的爬行动物都是用肺呼吸的。凸凸n边形的内角和是边形的内角和是(n-2) 1800归纳推理归纳推理例例3：221 222 223,331 332333由此猜想：由此猜想：,().bbmabmaam， ， 均为正实数归纳推理的定义归纳推理的定义:归

5、纳推理：归纳推理：概括、推广概括、推广猜测一般性结论猜测一般性结论 简言之简言之, ,归纳推理是由归纳推理是由部分到整体部分到整体、由、由个别到个别到一般一般的推理。的推理。归纳推理的思维过程如下：归纳推理的思维过程如下： 由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实推演出一般性的结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).实验、观察实验、观察构建数学：推理案例推理案例3 3： 金受热后体积膨胀，金受热后体积膨胀， 银受热后体积膨胀，银受热后体积膨胀， 铜受热后体积膨胀，铜受热后体积膨胀， 铁受热后体积膨胀，铁受热后体积膨胀， 金、银、铜、铁是金属的部

6、分小类对象，它们金、银、铜、铁是金属的部分小类对象，它们受热后分子的凝聚力减弱，分子运动加速，分子受热后分子的凝聚力减弱，分子运动加速，分子彼此距离加大，从而导致体积膨胀彼此距离加大，从而导致体积膨胀 所以，所有的金属受热后都体积膨胀。所以，所有的金属受热后都体积膨胀。再观察两个例子，你能得到再观察两个例子，你能得到归纳推理的一般模式归纳推理的一般模式吗？吗？推理案例推理案例4 4：磨擦双手（磨擦双手（S1 S1 ）能产生热（）能产生热（P P），）， 敲击石头（敲击石头（S2 S2 ）能产生热（）能产生热（P P） ， 锤击铁块（锤击铁块（S3 S3 ）能产生热（）能产生热（P P） ， 磨

7、擦双手、敲击石头、锤击铁块都是物质运动；磨擦双手、敲击石头、锤击铁块都是物质运动； 所以，物质运动能产生热。所以，物质运动能产生热。归纳推理的一般模式归纳推理的一般模式:S1具有具有P,S2具有具有P,Sn具有具有P, (S1,S2,Sn是是A类事物的对象）类事物的对象）所以所以A类事物具有类事物具有P1.归纳推理是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳推理所得的结论超越了前提所包容的范围.2.归纳推理是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践证明，因此它不能作为数学证明工具。3.归纳推理的前提是特殊的情况,因而归纳推理是立足于

8、观察、经验和实验的基础之上.归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳得到的猜想可作为进一步研究得起点，帮助人们发现问题和提出问题。归纳推理的几个特点归纳推理的几个特点: 检验猜想。检验猜想。 提出带有规律性的结论，即猜想；提出带有规律性的结论，即猜想； 对有限的资料进行观察、分析、对有限的资料进行观察、分析、 归纳整理；归纳整理；归纳推理的一般步骤归纳推理的一般步骤:例例1:1:观察下图观察下图, ,可以发现可以发现1+3+(2n1)=n21+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，数学应用：例例2:2:已知数列已知数列aan n 的第的

9、第1 1项项a a1 1=1=1且(n=1,2,3 (n=1,2,3 ),),试归纳出这个数列的通项公式试归纳出这个数列的通项公式. .n nn+1n+1n na aa=a=1 + a1 + a例3:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(E)(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 8多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(

10、E)(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 86 66 68 86 612128 812126 61010多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(E)(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 86 66 68 86 612128 812126 610107 77 79 916169 91010151

11、510101515F+V-E=2F+V-E=2猜想欧拉公式例例4:4:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. . 按下列规则按下列规则, ,把金属片从一根针上全部移到另一根针上把金属片从一根针上全部移到另一根针上. . 1.1.每次只能移动每次只能移动1 1个金属片个金属片; ; 2.2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面较大的金属片不能放在较小的金属片上面. .试推测试推测; ;把把n n个金属片从个金属片从1 1号针移到号针移到3 3号针号针, ,最少需要移动多少次最少需要移动多少次? ?解解; ;设设a an n表示移动表示移动n n块金属片时的

12、移动次数块金属片时的移动次数. .当当n=1n=1时时,a,a1 1=1=1当当n=2n=2时时,a,a2 2= = 3 3123当当n=1n=1时时,a,a1 1=1=1当当n=2n=2时时,a,a2 2= = 3 3解解; ;设设a an n表示移动表示移动n n块金属片时的移动次数块金属片时的移动次数. .当当n n=3=3时时,a,a3 3= = 7 7当当n=4n=4时时,a,a4 4= = 1515猜想猜想 a an n= =2 2n n -1-11231. 观察下列等式，并从中归纳出一般的结论：观察下列等式，并从中归纳出一般的结论：11,22112,2631113,2612411

13、114,2612205(1)(2)11，1-4（1+2），），1-4+91+2+3，1-4+9-16（1+2+3+4），），数学巩固：凸四边形有凸四边形有2条对角线，条对角线，凸五边形有凸五边形有5条对角线，条对角线，比凸四边形多比凸四边形多3条；条；凸六边形有凸六边形有9条对角线，条对角线，比凸五边形多比凸五边形多4条；条；猜想：猜想：凸凸n边形的对角线条数比凸边形的对角线条数比凸n-1边形多边形多n-2条对角线。由此，凸条对角线。由此，凸n边形边形对角线条数为对角线条数为2+3+4+5+(n-2).凸凸n边形有多少条对角线？边形有多少条对角线？2. 凸凸n边形有多少条对角线？边形有多少条对

14、角线？3.在同一平面内，两条直线相交，有一个交点；在同一平面内，两条直线相交，有一个交点；三条直线相交，最多有几个交点？三条直线相交，最多有几个交点？四条直线相交，最多有几个交点？四条直线相交，最多有几个交点？六条直线相交，最多有几个交点？六条直线相交，最多有几个交点？n条直线相交，最多有几个交点？条直线相交，最多有几个交点？_b_ab, a(ba6ba6154415448338333223224 均均为为实实数数），请请推推测测，若若，：已已知知练练习习歌德巴赫猜想的提出过程：歌德巴赫猜想的提出过程： 3710，31720，131730， 歌德巴赫猜想歌德巴赫猜想: :“任何一个不小于任何一

15、个不小于6 6的偶数都等于两个奇质的偶数都等于两个奇质数之和数之和”即即: :偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数改写为改写为:1037，20317，30131763+3， 1000100029+97129+971，83+5， 1002=139+863,105+5, 125+7，147+7，165+11,18 =7+11,， 数学阅读：哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)(Goldbach Conjecture)世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于中学教师，也是一位著名的数学家，生

16、于16901690年，年，17251725年当选为俄国彼得堡科学院院士。年当选为俄国彼得堡科学院院士。17421742年，哥年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于德巴赫在教学中发现，每个不小于6 6的偶数都是两的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6 63 33 3，12125 57 7等等。等等。公元公元17421742年年6 6月月7 7日哥德巴赫日哥德巴赫(Goldbach)(Goldbach)写信给当时写信给当时的大数学家欧拉的大数学家欧拉(Euler)(Euler)，提出了以下的猜想，提出了以下的猜想: : (a) (a) 任何一个

17、大于或等于任何一个大于或等于6 6之偶数，都可以表示成之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。两个奇质数之和。 (b) (b) 任何一个大于或等于任何一个大于或等于9 9之奇数，都可以表示成之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。三个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6 6月月3030日给他的回信中说，日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从

18、提出这个猜想至今，许多数学家都不断努许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = : 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 +

19、 11, 18 = 5 + 13, . . . . . . 等等。有人对等等。有人对3333108108以内且大过以内且大过6 6之偶数一一进行验算，哥之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想德巴赫猜想(a)(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的冠上一颗可望不可及的“明珠明珠”。到了。到了2020世纪世纪20

20、20年代，才有人开年代，才有人开始向它靠近。始向它靠近。19201920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比较大的偶数都可以表示为（，得出了一个结论：每一个比较大的偶数都可以表示为（9+99+9）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9 9十十9 9）开始）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫哥德巴赫”。 哥德巴赫猜想哥德巴

21、赫猜想(Goldbach Conjecture)在陈景润之前，关于偶数可表示为在陈景润之前，关于偶数可表示为 s s个质数的乘积个质数的乘积 与与t t个质数的乘积之和个质数的乘积之和( (简称简称“s + t s + t ”问题问题) )之进展情况如下之进展情况如下: :19201920年，挪威的布朗年，挪威的布朗(Brun)(Brun)证明了证明了 “9 + 9 9 + 9 ”。19241924年，德国的拉特马赫年，德国的拉特马赫(Rademacher)(Rademacher)证明了证明了“7 + 7 7 + 7 ”。19321932年，英国的埃斯特曼年，英国的埃斯特曼(Estermann

22、)(Estermann)证明了证明了 “6 + 6 6 + 6 ”。19371937年，意大利的蕾西年，意大利的蕾西(Ricei)(Ricei)先後证明了先後证明了“5 + 7 5 + 7 ”, , “4 + 9 4 + 9 ”, , “3 + 15 3 + 15 ”和和“2 + 366 2 + 366 ”。19381938年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃夕太勃(Byxwrao)(Byxwrao)证明了证明了“5 + 5 5 + 5 ”。19401940年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃夕太勃(Byxwrao)(Byxwrao)证明了证明了 “4 + 4 4 + 4 ”。19481948

23、年，匈牙利的瑞尼年，匈牙利的瑞尼(Renyi)(Renyi)证明了证明了“1 + c 1 + c ”，其中，其中c c是一很大的自然数是一很大的自然数。19561956年，中国的王元证明了年，中国的王元证明了 “3 + 4 3 + 4 ”。19571957年，中国的王元先后证明了年，中国的王元先后证明了 “3 + 3 3 + 3 ”和和 “2 + 3 2 + 3 ”。19621962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)(BapoaH)证明了证明了 “1 + 5 1 + 5 ”， 中中国的王元证明了国的王元证明了“1 + 4 1 + 4 ”。19651

24、965年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃夕太勃(Byxwrao)(Byxwrao)和小维诺格拉多夫和小维诺格拉多夫(BHHopappB)(BHHopappB)，及，及 意大利的朋比利意大利的朋比利(Bombieri)(Bombieri)证明了证明了“1 + 3 1 + 3 ”。19661966年，中国的陈景润证明了年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 1 + 2 ”。最终会由谁攻克最终会由谁攻克 “1 + 1 1 + 1 ”这个难题呢？现在还没法预测。这个难题呢？现在还没法预测。哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)目前最佳的结果是中国数学家陈景润於目前最佳的结果

25、是中国数学家陈景润於19661966年年证明的，称为陈氏定理证明的，称为陈氏定理(Chen(Chens Theorem) ? s Theorem) ? “任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。” 通通常都简称这个结果为大偶数可表示为常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 1 + 2 ”的形式。的形式。四色猜想四色猜想的提出来自英国。的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西年，毕业于伦敦大学的弗南西斯斯格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。没有进展。美国数学家富兰克林于美国数学家富兰克林于1939年证明了年证明了22