高等数学A第6章多元函数微分学8-10(曲线的切线与法平面 曲面的切平面及法线)

1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学高等数学A A6.3.1 6.3.1 空间曲线的切线及法平面空间曲线的切线及法平面6.3.2 6.3.2 曲面的切平面及法线曲面的切平面及法线 6.3 6.3 多元函数微分的应用多元函数微分的应用6.3.1 6.3.1 空间曲线的空间曲线的 切线及法平面切线及法平面切线及法平面的概念切线及法平面的概念曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况习例习例1-3曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况习例习例46.3.2 6.3.2 曲面的曲面的切平面及法线切平面及法线 一般方程的曲面的切平面及法线一般方程的曲

2、面的切平面及法线特殊方程的曲面的切平面及法线特殊方程的曲面的切平面及法线求切平面及法线习例求切平面及法线习例5-10小结小结曲线的切线及法平面曲线的切线及法平面曲面的切平面及法线曲面的切平面及法线 补充补充1、2一、一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面复习复习: 平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线已知平面光滑曲线)(xfy ),(00yx切线方程切线方程0yy 法线方程法线方程0yy 若平面光滑曲线方程为若平面光滑曲线方程为, 0),(yxF),(),(ddyxFyxFxyyx故在点故在点),(00yx切线方程切线方程法线方程法线方程)(0yy ),(00yxFy)(),(000

3、 xxyxFx0)(00 xxxf)()(100 xxxf在点在点有有有有因因 0)(),(000yyyxFx),(00yxFy)(0 xx过点过点 M 与切线垂直的平面与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法位置位置.TM空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限为此点处割线的极限平面平面.点击图中任意点动画开始或暂停1. 曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况)(, )(, )(:tztytxzzzyyyxxx000, t上述方程之分母同除以得令, 0t切线方程切线方程000zzyyxx),(0000zyxMtt对应设 ),(0000zzyyxxMttt对应)(0t)(0t

4、)(0tTMM:的方程割线MM)(00 xxt此处要求)(, )(, )(000ttt也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量切向量 .)( )(00yyt0)(00zzt如个别为0, 则理解为分子为 0 .M不全为0, )(, )(, )(000tttTT因此得法平面方程法平面方程 说明说明: 若引进向量函数 ) )(, )(, )()(ttttr, 则 为 r (t) 的矢端曲线, 0t而在处的导向量 )(, )(, )()(0000ttttr就是该点的切向量.o)(trT曲线方程为参数方程的求切线方程和法平面方程习例曲线方程为参数方程的求切线方程和法平面方程习例.2 ,sin

5、,cos 1法平面方程法平面方程对应点处的切线方程和对应点处的切线方程和在在求圆柱螺旋线求圆柱螺旋线例例 kzRyRx.),()()( 2000处处的的切切线线与与法法平平面面在在求求曲曲线线例例zyxxzxyxx . ),(,2 300022切切线线及及法法平平面面方方程程处处的的在在求求曲曲线线例例zyxxmzmxy zyxo,2时当切线方程 Rx法平面方程xR022kzkxR即002RykRzRxk即解解 由于,sinRx0Ry kkz2,cosRy , kz ),0(20kRM对应的切向量为0)(2kzk),0,(kRT, 故.2 ,sin,cos 1法平面方程法平面方程对应点处的切线

6、方程和对应点处的切线方程和在在求圆柱螺旋线求圆柱螺旋线例例 kzRyRx解解, 1,)()(00 xxTx 则则为为参参数数以以 , )(0)(0000 xxzzyyxx 切切线线方方程程为为. 0)()( 0)(0)(000 zzyyxxxx 法法平平面面方方程程为为.),()()( 2000处处的的切切线线与与法法平平面面在在求求曲曲线线例例zyxxzxyxx 解解 xmzmxyxx222 zzymyx21121, 100zymT ,2/1/00000zzzymyyxx 故故切切线线方方程程为为. 0)(21)()(00000 zzzyyymxx法法平平面面方方程程为为. ),(,2 30

7、0022切切线线及及法法平平面面方方程程处处的的在在求求曲曲线线例例zyxxmzmxy 2. 曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxF当0),(),(zyGFJ)()(xzxyxydd曲线上一点),(000zyxM, 且有xzdd,),(),(1xzGFJ ,),(),(1yxGFJ 时, 可表示为处的切向量为 MMyxGFJxzGFJ),(),(1,),(),(1,1)(, )(, 100 xxTyxz 000zzyyxxMzyGF),(),(则在点),(000zyxM切线方程切线方程法平面方程法平面方程有MzyGF),(),(MxzGF),(),(My

8、xGF),(),()(0 xxMyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy0)(0 zz或MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(0)()()()()()(000MGMGMGMFMFMFzzyyxxzyxzyx也可表为)(),(),()(),(),(00yyMxzGFxxMzyGF法平面方程法平面方程0)(),(),(0zzMyxGFMzyGF),(),(切线方程121zyx解法解法1 令,222zyxGzyxF则即0202yzx切向量;0),(),(MxzGFMzy1122Mzy)(2;606xyz66),(),(MyxGF)6,0, 6(T.)1

9、, 2, 1( , 0, 6 4222处处的的切切线线及及法法平平面面在在求求曲曲线线例例 zyxzyx曲线方程为一般方程的求切线方程和法平面方程习例曲线方程为一般方程的求切线方程和法平面方程习例法平面方程0) 1(6)2(0) 1(6zyx即0 zxxxzzxyydddd解法解法2 方程组两边对 x 求导, 得1ddddxzxy1111ddzyxyxz11ddzyxy曲线在点 M(1,2, 1) 处有:切向量解得11zx,zyxzzyyx)1,0, 1 (MMxzxyTdd,dd,1切线方程121zyx即0202yzx法平面方程0) 1() 1()2(0) 1(1zyx即0 zx点 M (1

10、,2, 1) 处的切向量011)1,0, 1(T解法解法3 3 010222zyz zyyx代代入入得得将将)1 , 2, 1( 01021zyzy1, 0 zy从而从而1, 0 , 1 T,110211 zyx切切线线方方程程为为 .0 zx法法平平面面方方程程为为 )()()(tzztyytxx)(),(),(000tztytxT,0),(0),(zyxGzyxF)()(xzzxyy)(),(, 1 (00tztyT, yzxyzxyzxyzxpyzzxxyFFFFFFTGGGGGGJJJ mxx0nyy0pzz0切线方程切线方程二、二、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 切平面切平面的

11、法向量与曲面上任一曲线的切向量垂直的法向量与曲面上任一曲线的切向量垂直. 法线法线是与切平面垂直的直线是与切平面垂直的直线.切切平平面面与与法法线线处处的的求求设设曲曲面面为为 ),(, 0),(. 10000zyxMzyxF 解解.nT0M )()()(),(0tztytxM 设设为为在在曲曲面面上上任任取取一一曲曲线线过过)(),(),(0000tttTM 的的切切向向量量为为该该曲曲线线在在, 0)(),(),( tttF 又又. 0)()()(000 tFtFtFzyx 则则.,即为切平面的法向量即为切平面的法向量垂直垂直与切向量与切向量nTFFFnzyx , 0)()()(,(000

12、000 zzFyyFxxzyxFzyx切切平平面面为为.),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 法法线线为为 ,0)(),(),(,000 tttFFFzyx 即即 面的法向量面的法向量切平面的法向量称为曲切平面的法向量称为曲),(000,zyxzyxFFFn ),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFzyx 切切平平面面与与法法线线处处的的求求设设曲曲面面为为 ),(),(. 20000zyxMyxfz 解解,),(),(zyxfzyxF 设设,)1,(),(00yxyxffn 则则, 0)()()(:000 zzyyfxxfy

13、x切切平平面面.1),(),(:0000000 zzyxfyyyxfxxyx法法线线注意注意:)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量的全微分的全微分在点在点函数函数),(),(00yxyxfz (1) 因为曲面在因为曲面在M0处的切平面方程为处的切平面方程为),(yxfz 在在),(00yx的的全全微微分分，表表示示曲曲面面),(yxfz 在在点点),(000zyx处处的的切切平平面面上上的的点点的的竖竖坐坐标标的的增增量量.(2) 若若 、 、 表表示示曲曲面面的的法法向向量量的的方方向向角角，并并假假定定法法向向量量的的

14、方方向向是是向向上上的的，即即使使得得它它与与 z 轴轴的的正正向向所所成成的的角角 是是锐锐角角，则则法法向向量量的的方方向向余余弦弦为为 ),1,( ),( yxffnyxfz有有对于对于,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff .,0),()3(yxFFnyxF 的的法法向向量量为为平平面面曲曲线线,0),(0),()4( zyxGzyxF对对于于曲曲线线,1zyxFFFn ,2zyxGGGn 21:nnT 则则切切向向量量为为zyxzyxGGGFFFkji 3.3.求切平面及法线习例求切平面及法线习例. )3 , 2 , 1(3632 5222及

15、及法法线线方方程程处处的的切切平平面面在在点点求求球球面面例例 zyx.),( 70002222相相切切在在点点与与球球面面使使曲曲面面确确定定正正数数例例zyxMazyxxyz 2332106 0( 3,1, 1).xyyz例求由曲线绕 轴旋转一周所得到的旋转曲面在点处的切平面方程与法线方程.064 2132 8222的的切切平平面面方方程程上上平平行行于于平平面面求求曲曲面面例例 zyxzyx.)( 9的的平平面面都都相相交交于于一一点点试试证证所所有有切切于于曲曲面面例例xyxfz 22210 3160 316,.xyzxyz例如果平面与椭球面相切 求解解3632),(222zyxzyx

16、F所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x03694zyx即法线方程法线方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量法向量 令)6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1(n. )3 , 2 , 1(3632 5222及及法法线线方方程程处处的的切切平平面面在在点点求求球球面面例例 zyx2332106 0( 3,1, 1).xyyz例求由曲线绕 轴旋转一周所得到的旋转曲面在点处的切平面方程与法线方程22232323()21032310 xzyxyz即:01023:32所得到的旋转曲面方程轴旋转一周绕先求由曲线解yzyx解解2322(

17、3,1, 1)( 3,1, 1)( 3,1, 1)( 3,1, 1)( 3,1, 1)( 3,1, 1)( , , )32310|6 |6 3,|6|6,|6 |6,xyzF x y zxyzFxFyFz 令1, 1, 3) 1, 1 , 3(n取为处的切平面的法向量可在点.111133:0330)1()1()3(3)1, 1 ,3(zyxzyxzyx法线方程为即处的切平面方程为在点解解 二曲面在 M 点的法向量分别为二曲面在点 M 相切, 故000000000zyxyzxxzy0 x202020zyx又点 M 在球面上,32202020azyx故于是有000zyx333a, ),(00000

18、01yxzxzyn ),(0002zyxn 21/nn, 因此有20y20z2.),( 70002222相相切切在在点点与与球球面面使使曲曲面面确确定定正正数数例例zyxMazyxxyz 解解,),(000为为曲曲面面上上的的切切点点设设zyx依题意，切平面平行于已知平面，得依题意，切平面平行于已知平面，得,664412000zyx (*) 2000zyx (*) 2132202020 zyx则则6 ,4 ,2 000zyxn 又又切切平平面面的的法法向向量量为为, 1 (*)(*)0 x解解得得由由, 200 zy.064 2132 8222的的切切平平面面方方程程上上平平行行于于平平面面求

19、求曲曲面面例例 zyxzyx所求切点为所求切点为),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx.2164 zyx切平面方程切平面方程切平面方程切平面方程解解)(2xyfxfxz fxyf fxfxyz 1 1, ffxyfn曲曲面面的的法法向向量量为为的的切切平平面面为为过过曲曲面面上上任任一一点点),(000zyx0)()()(00000 zzyyfxxfxyf.)0 ,0 ,0(满满足足上上面面的的方方程程显显然然.)( 9的的平平面面都都相相交交于于一一点点试试证证所所有有切切于于曲曲面面例例xyxf

20、z 解解,2,2,6000zyxn 则则),(000zyx设切点为设切点为依题意知切平面的法向量为依题意知切平面的法向量为3, 3 32236000 zyx ,00 xy ,300 xz 又切点满足曲面和平面方程又切点满足曲面和平面方程,016930169320202200020 xxxxxx . 2 22210 33160 316,.xyzxyz例如果平面与椭球面相切 求因为曲面因为曲面1:F(x,y,z)=0在在M处的切向量为处的切向量为1(,)|xyzMnFFF 因为曲面因为曲面2:G(x,y,z)=0在在M处的切向量为处的切向量为2(,)|xyzMnGGG 若两曲面相交，则其交线若两曲

21、面相交，则其交线C在在 点M 处的切线的方向向量（即曲线C的切向量T）为12Tnn xyzxyzijkFFFGGG ,yzxyzxyzxyzxFFFFFFGGGGGG补充内容补充内容1补例补例1. 求曲线0453203222zyxxzyx在点(1,1,1) 的切线解解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为)2,2, 1(因此切线的方向向量为122(16,9,1)235ijk 由此得切线:111zyx1691法平面:0) 1() 1(9) 1(16zyx024916zyx即与法平面.) 1 , 1 , 1 (1)2,2,32(zyxn)5,3,2(2n21nnl22cos,1xxyfff22

22、cos,1yxyfff.11cos22yxff 补充补充2 因为曲面因为曲面:z=F(x,y)在在M处的切向量为处的切向量为0000(,),(,), 1xynfxyfxy 22cos,1xxyfff 22cos,1yxyfff 221cos.1xyff 补充2 因为曲面因为曲面:z=F(x,y)在在M处的切向量为处的切向量为0000(,),(,), 1xynfxyfxy 1. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程切线方程 000zzyyxx法平面方程法平面方程)(00 xxt1) 参数式情况.)()()(:tztytx空间光滑曲线切向量切向量)(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt)(, )(, )(000tttT内容小结内容小结切线方程切线方程法平面方程法平面方程MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx)