中学数学逻辑及教学

1、第一章：中学数学逻辑及教学第一章：中学数学逻辑及教学（形式逻辑初步）（形式逻辑初步） 数学和逻辑密不可分，而逻辑分形式逻辑、数理数学和逻辑密不可分，而逻辑分形式逻辑、数理逻辑和辨证逻辑三种，我们这里讲的是形式逻辑逻辑和辨证逻辑三种，我们这里讲的是形式逻辑。 例1 1（1 1）无限不循环小数叫做无理数）无限不循环小数叫做无理数 （2 2）有三条边的多边形叫做三角形）有三条边的多边形叫做三角形 （3 3）含有未知数的等式叫做方程）含有未知数的等式叫做方程 叫做叫做 D DS S 叫做叫做 D DP P 概念概念 第一章：中学数学逻辑及教学 例例2 2 ：（：（1 1）正数是大于）正数是大于0 0的

2、的 （2 2）树木是植物）树木是植物 （3 3）正方形是邻边相等的矩形）正方形是邻边相等的矩形 是是 S S 是（不是）是（不是）P P 判断判断 例例3 3：（：（1 1）所有正数是大于）所有正数是大于0 0的的 3 3是正数是正数 所以所以3 3是大于是大于0 0的的 （2 2）所有矩形都是平行四边形）所有矩形都是平行四边形 正方形是矩形正方形是矩形 所以正方形是平行四边形所以正方形是平行四边形 推理除了共同形式，还必须遵守共同规律形式逻辑1、定义： 本质属性：某类事物所具有，其它事物都不具有的性质。本质属性：某类事物所具有，其它事物都不具有的性质。 概念的定义：反映客观事物本质属性的思维

3、形式。概念的定义：反映客观事物本质属性的思维形式。（1 1）概念一般给一个名称：）概念一般给一个名称：（2 2）概念是抽象的）概念是抽象的（3 3）概念的作用是人们能从总体上把握，形成科学，如方程。）概念的作用是人们能从总体上把握，形成科学，如方程。（4 4）概念所反映对象：实体）概念所反映对象：实体现象现象关系关系意识形态。意识形态。 1 概概 念念 2、概念的外延和内涵（1）外延：概念所指对象的总和概念所指对象的总和（2）内涵 ：概念的所有本质属性的总和概念的所有本质属性的总和（3）外延和内涵的关系：反变关系反变关系（4）概念的限制与概括：产生新概念产生新概念 3、概念间的关系：（从外延方

4、面明确概念） A A、相容关系：外延有重合的部分、相容关系：外延有重合的部分（1）同一关系：两概念的外延相同两概念的外延相同 （同物异名）（同物异名） 同一关系的两概念可互相代替同一关系的两概念可互相代替同一法的基础；同一法的基础； 同一关系的两概念内涵不同同一关系的两概念内涵不同（2）从属关系：概念概念A A的外延被概念的外延被概念B B的外延完全包含的外延完全包含 外延大的外延大的B B概念叫种概念，外延小的概念叫种概念，外延小的A A概念叫属概念概念叫属概念 种属关系是相对而言的。（3）交叉关系：两概念的外延仅有部分相同两概念的外延仅有部分相同 共同外延中的对象具有两个概念的内涵。共同外

5、延中的对象具有两个概念的内涵。 休 息 ！B、不相容关系：外延没有重合的部分（4）对立关系：两概念的外延互相排斥，外延之和两概念的外延互相排斥，外延之和 小于邻近种概念的外延。小于邻近种概念的外延。 如如: Rt: Rt和正和正（5）矛盾关系：两概念的外延互相排斥，外延之和两概念的外延互相排斥，外延之和 等于邻近种概念的外延。等于邻近种概念的外延。 如如: Rt: Rt和非和非RtRt 4、概念的定义（从内涵上明确概念） 一般是给出名称，再指出其本质属性。一般是给出名称，再指出其本质属性。定义的几种方式： 种概念加属差定义法种概念加属差定义法（最常用） 被定义概念被定义概念=种概念种概念+ +

6、属差（本质属性）属差（本质属性） 平行四边形平行四边形= =四边形四边形+ +两组对边分别平行两组对边分别平行 方程方程= =等式等式+ +含有未知数含有未知数 规定种概念是最邻近的种概念。规定种概念是最邻近的种概念。 按此定义方式，便有了概念系列按此定义方式，便有了概念系列 发生式定义法发生式定义法 种概念加属差定义法的特殊情况：属差是概念的发生过程种概念加属差定义法的特殊情况：属差是概念的发生过程 如：圆，球如：圆，球 另一类构造性定义，也归为发生式定义法，它不仅给出另一类构造性定义，也归为发生式定义法，它不仅给出 了定义，还给出了计算方法。了定义，还给出了计算方法。如：导数如：导数 揭示

7、外延式定义法揭示外延式定义法 在给很广泛意义的概念下定义时，往往通过揭示它的外在给很广泛意义的概念下定义时，往往通过揭示它的外 延来定义它。延来定义它。 如：有理数、实数、复数如：有理数、实数、复数 约定式定义法约定式定义法注意：注意：0 0！=1 =1 是定义是定义 定义的规则：定义必须是相称的；定义必须是相称的；定义只指出本质属性，而不是所有属性；定义只指出本质属性，而不是所有属性； （能由此推出的是性质定理）（能由此推出的是性质定理）不允许循环定义；不允许循环定义；定义一般避免用否定形式；定义一般避免用否定形式；用科学上最精确的词语刻划；用科学上最精确的词语刻划；5 5、概念的分类概念的分类（揭示概念间关系揭示概念间关系） （分类讨论题）（分类讨论题） 分类规则一次只能有一个依据；不重不漏；不应当越级；各子项间互不相容。 二分法：持续地分为两个互相矛盾的概念二分法：持续地分为两个互相矛盾的概念下下 课！课！人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有