分数指数幂与指数函数答案

1、分数指数哥与指数函数本节主要学习分数指数哥与指数函数.1.理解有理数哥的含义，通过具体实例了解实数指数哥的意义，掌握哥的运算性质.在初中我们学习了正整数指数哥的意义：一个数a的n次哥表示n个a相乘的积.正整数指数哥有五条运算性质：(1)aman=am+n；(2)am-an=am-n(a*0,mn)；(3)(am)n=amn；n(4)(ab)n=anbn;(a)三鼻若(20).bb注意：a=i(aw。)、an=n(n为正整数，a*0).an2.分数指数哥的引进是受根式的性质的启发.从根式的基本性质np7amp=nVam(a0,m、n、pN*),612我们知道a0时，Va6=a3=a2,3Va12

2、=a4=a3.于是我们规定：m(1)an=n/am(a0,m、nN*)；m，二1，一八一_八(2)an=(a0,m、nN*,n1)；an(3)零的正分数次哥是零，零的负分数次哥没有意义.这样一来，我们就将指数哥的概念扩大到有理数指数塞了，有理数哥的运算性质归纳为：(1)aras=ar+s；(2)(ar)s=ars；(3) (ab)r=arbr,式中a0,b0,r、s为有理数.3 .理解指数函数的概念和意义.在指数函数的定义中限定了底数a0且aw1,这主要是使函数的定义域为实数集，且具有单调性.(1)若a=0,当x0时，ax=0；当xw0时，ax没有意义；一13(2)若a0)mna思考：对于卞式

3、nam在什么条件下有意义？1V【问题2】在同一个坐标系中回出下列各函数的图象：y=2x；y=5x；丫=(一)x；5y=(1)x.观察四个函数图象，看它们有何特点？你能从中总结出一般性结论吗？2例题精析【例1】化简下列各式:1(1)(0.0081)43X7)01-8i25+(33)388112-10X0.027%；(2)41a38a3b-T+4b3+2Vat+a3ov-dx2+x4.一【例2】设y=a*1,y2=a(a0,aw1),确定x为何值时有(1)y1=y2；(2)y1y2.学如逆水行舟，不进则退【例3】比较下列各数的大小:u31-32-1q2;(一2)5；(3)2；(3)5；()3；()

4、5.2233_._._-,1x29X_1._.，一.【例4】对于函数y=(1)21，(1)求函数的定义域，值域;3(2)确定函数的单调区间.【例5】求下列函数的定义域，值域：1(1)y=2.;(2)y=5、k;(4)y=9x+2x3x-1.1、2xx2(3)y=(-);【例6】若函数y=a2x1ax2-1为奇函数,(4)讨论函数的单调性.(1)确定a的值；(2)求函数的定义域；(3)求函数的值域;【例7】已知函数y=x(-+1).(1)求定义域；(2)讨论奇偶性;3xT2(3)证明它在定义域上恒大于0.【例8】如果函数y=a2x+2ax1（a0且aw1）在1,1上有最大值14,试求a的值.【例

5、9】牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是To,1 _一.一，、一、一则经过一定时间h后的温度T将满足T-Ta=-（ToTa）,其中Ta是环境温度，使上式21:成立所需要的时间h称为半衰期.在这样的，f#况下，t时间后的温度T将满足TTa=（、）h（ToTa）.现有一杯195F用热水冲的速溶咖啡，放置在75F的房间中，如果咖啡降温到105F需20分钟，问欲降到95F需多少时间？变式训练:A.xw24Vx2-_2成立的充要条件是（4Jx+2B.x2或xv2C.x2D.xv22 .若2x=7,2y=6,贝U4二y等于3 .3649B,二6C.1412D.49361若a

6、4a1B.0a1C.-a一3心3x5x,一4 .若(-)X(-)X,则x的范围是(57A.0X1C.x1且m1B.ai且m0D.0vav1且m19 .一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个每天分裂一次.现在将一个该细胞放入一个容器,发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是（A.5C.6D.810.若0vav1,b0且aw1),当x1,3时有最小值为8,则a的值为；2(2)函数y=a*(a1)的定义域,单调增区间，值域20 .(1)已知0vav1,则方程a|x|=|x|的实根个数为.1 1(2)关于x的方程()x=,有正根，则a的取值范围

7、是2 1-a21.解下列关于x的方程：(1)81X32x=(2)x+2;222+30时，f(x)=.(1)1-2xx写出x0时f(x)的解析式；(2)解不等式f(x)1)。,一ax123 .已知函数f(x)=ax+1学如逆水行舟，不进则退(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)求出函数的值域；(3)证明函数f(x)是(一,十)上的增函数.1_111x3x3x3+x324 .已知函数f(x)=,g(x)=55(1)证明：f(x)是奇函数，并求f(x)的单调区间；分别计算f(4)-5f(2)g(2),f(9)5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的

8、一个等式，并加以证明.答案问题1：我们知道，如果xn=a，则称x是a的n次方根.若a=0时，则x=0,即0=0,若aw0时，当n为正奇数时，x=n/a,其符号与x的符号一致；当n为正偶数时，则a一定大于零，x=ua,即正数的偶次方根有两个，它们互为相反数.A、C中的根指数与被开方式的指数能否约分，取决于实数a的符号.如：4/(-2)4w2和5#(2)34丰V(-2)3,应该先将被开放式底数2化成2,然后再进行化简.故A,C不一定成立.一般地，根式有如下性质：(1)Van=a(a0)(nN*)；(2)(&Z)n=a(nN*).|a|=a(a0,m,nnN*）.应该注意，分数指数的分子和分母与根式

9、的根指数和被开方式的指数之间的对应关系，不可颠侄t故D不成立.因此选B.问题2：指数函数y=ax（a0且aw1）恒过两个点（0,1）和（1,a）.这四个函数都经过（0,1）,又分别经过（1,2）、（1,5）、（1,1）、（1,1）.再由函数的单调性就可以52画出四个函数的大致图象（如下图）.根据图象可知函数与，与分别关于y轴对称.结论：（1）一般地，指数函数y=ax（a0且a1）与y=ax（a0且a1）的图象关于y轴对称.（2）在y轴的右侧，由下向上函数图象相应的底数由小变大（可简记为“右侧底大图高”）；在y轴的左侧，由上向下图象相应的底数由小变大（简记为“左侧底大图低”）.（3）（有界性）若

10、a1,当x0时，y1当x0时，0vy1.若0a0时，0vyv1；当x1.例1：此类问题的化简需要先将小数化为分数，根式化为分数指数哥，结果要化为最简形式.在最简结果中，不能既有根式又有分数指数哥的形式，同时，也不能既有指数哥又有分2母的形式.如a3Jb,、都不是最简形式.我们经常要用到下列公式：ba-b=(Va-vb)(Va+Mb)；a土2vab+b=(Va7b)2；a土b=(Vi土Vb)(7+3Gb+Vb7).1答案：(1)原式=0.31-31-(31+-),10X0.3=-03=0;333学如逆水行舟，不进则退(2)原式=1a3(a-8b)1111(2b3)2+2b3b3+(a3)2ia3

11、11a3-2b31a3(a-8b)(a8b)111Xa3Xa3b3=aVb.例2：显然需对a进行分类讨论，分别解指数方程和指数不等式.2J答案：(1)由题息得a3x1=a，则3x1=x2+x4,解得x=3或乂=1.一x2*x，C.一(2)当a1时，a3x1a，则3x1x2+x-4,解得一1vxv3；2当0a1时，ava3x1,则3x-1x2+x4,斛得x3.2(2)525;例3：先利用分数指数哥的性质对各个数进行化简，23131322/(5)2=(5)2；(-2)5=(9显然，以0、1为界将五个数分成三类：2(2)，1,_13()3V0,三个数32均在0到1之间，注意到这三个数的底数相同，考查

12、指数函数，y=(-)x在实数集上递减,3所以下.23-32241答案：(2)5(一-)5(-)2(一-)5(一-)3.2233点评：比较哥的大小是典型的一类问题.解决这类问题一般用如下思路：(1)将两个数化成同底数哥的形式，再利用指数函数的单调性进行比较.(2)将两个数化成同指数哥的形式，再利用指数函数图象在y轴的右侧“右侧底大图高”；在y轴的左侧“左侧底大图低”.(3)寻找一个恰当的中间数为桥梁来进行比较.如比较0.40.8与0.50.7,我们可以以0.407为中间数，0.40.8与0.40.7利用指数函数的单调性进行比较，得0.40.80.40.7,而0.40.7与0.50.7由“右侧底大

13、图高”得0.40.70.50.7,因此0.40.82,此时函数y=(-)总有3意义，定义域为R;一一一1,又由U2,0v(_)uW9,.原函数的值域为(0,9.3(2)二函数U=x2-2x-1在1,+)上递增，对于任意的1Wx1x2都有U1VU2,.()(l)u2,即v。乎.33函数y=(!)x22x1在1,+上递减.3同理可得函数y=(1)x22x1在(，1)上递增.3点评：形如y=af(x)(a0,aw1)的函数有如下性质：(1)定义域与函数定义域相同；(2)先确定函数u=f(x)的值域，然后以u的值域作为函数y=au(a0,a1)的定义域求得函数y=af(x)(a0,aw1)的值域；(3

14、)函数y=af(x)(a0,aw1)的单调性，可以由函数u=f(x)与y=au(a0,aw1)按照“同增异减”的原则来确定.从本题中，我们可以体会换元法在解决复合函数问题中的作用.例4这是与指数函数有关的复合函数，可以利用指数函数的概念和性质来求函数的定义域、值域，对于形式较为复杂的可以考虑利用换元法.(1)要使函数有意义，则x1W0,x*1.，函数定义域为x|xw1;x*1,*0,x-112xTw1,.函数值域为y|y0,且yw1.(2) .2x10,，函数定义域为x|x-;2-2x-10,J2x10,.y=52x1*.，函数值域为y|y1.(3)函数定义域为R;2x-x2=-(x-1)2+

15、K1,10学如逆水行舟，不进则退1211y=(-)-.，函数值域为y|y.222(4)函数定义域为R;令占3x,则t0,y=t2+2t1=(t+1)22,其对称轴为t=1.t0,函数y=(t+D22单调递增，.y=(t+1)2-21-2=-1.，函数值域为y|y-1.点评：本题求函数值域时，采用了逐步求解的方法，(4)利用了换元法.一般来说，求复合函数的值域，通常先求函数的定义域A,再由函数的定义域A求内函数的值域B,然后以内函数的值域作为外函数的定义域求出原函数的值域，如(4)是由函数y=t2+2t1和函数t=3x复合而成，先求得原函数的定义域为R,再由xR得t0(即得到内函数的值域B),然

16、后由t0得到函数值域为y|y1.若(4)中的x1,你还能求出它的值域吗？例5:先将函数a-2x1-a2x-1、，1化间为y=a2x-1(1)由奇函数的定义，可得(x)+f(x)=0,即1,1ca-x+a=0,2x-12x1x122a+1-2x=0,a=2/c、11(2)y=-22x1一，11，函数y=22-1定义域为x|xw0.(3)法一：(逐步求解法)xw0,2x-1-1.,21w0,0211或210.11、1,22x-1222x-1即函数的值域y|y1或yv1.22一一,11法一：(利用有界性)由y=二22-11y-2尸211学如逆水行舟，不进则退1-xV2-1-1 20,20.可得y或y

17、v，,122什2即函数的值域y|y1或yv122(4)当x0时，设0VX1VX2,则y1-y2=12x2-1111=2x112x112x1-12x1一2x2(2x2T)(2%-1) -0XKX2,K2x12x2. 2x1-2x20,2x1-10,2x2-10.-11y1y20时，:2x为增函数，2x1为增函数，递减，为增2x-12x-1一，11函数，y=在(0,+)上递增.一般地，函数y=f(u)和函数u=g(x),2 2x1设函数y=fg(x)1的定义域为集合A,如果在A或A的某个子区间上函数y=f(u)(称外函数)与u=g(x)(称内函数)单调性相同，则复合函数y=fg(x)在该区间上递增

18、；如单调性相反，则复合函数y=fg(x)1在该区间上递减(可以简记为“同增异减”).另外，记住以下结论对判断复合函数单调性很有帮助：若函数y=f(x)递增(减)，则y1f(x)=-f(x)递减(增)；若函数y=f(x)在某个区间上恒为正(负)且递增(减)，则y递减(增)；若函数y=f(x)递增(减)，则y=f(x)+k递增(减)例6(1)定义域为x|xw0.,13x=x(-+1)=0,11(2)f(x)-f(-x)=x(I+-+1)-f(x)=f(x).f(x)是偶函数.111(3)当x0时，3x1,3x-10.+-3x12212学如逆水行舟，不进则退，11、1x(-+)-x0,即当x0时，y

19、0；xx11当x3x0.03x-1-1.十V1.3-12x(1+工)-x0,即当x0.3x-12综上，f(x)在定义域上恒大于0.点评：这里判断函数的奇偶性，运用了定义的等价式，即f(x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数；证明函数在定义域上恒大于0,转化为证明值域为(0,十),这里运用分类讨论来逐步求解.例7设t=ax，则原函数可化为y=(t+1)22,对称轴为t=1.(1)若a1,x1,1,11tai.a-t=ax在1,1上递增，c1y=(t+1)22当t,a时也递增，a原函数在1,1上递增.故当x=1时，ymax=a2+2a1.由a2+2a1=14,解得a=3或a=5(舍，1).,一一,

20、一11(2)右1a0,可得当x=1时，ymax=a2+2a11=14,解得a=-或a=35人一，1(舍).综上，a=或3.3点评：本题运用了复合函数单调性的判断方法，以及复合函数值域的求法；对于底数进行了分类讨论.例8由题意，温度T是时间t的指数函数型关系，即,1、！一丁丁T=()(TO-Ta)+Ta,dtt11T将有关数据代入，得T=75+(19575)X(_)h=75+120X(-)h.1寸再将t=20,T=105代入得105=75+120X(-)h,解得h=10.1白.T=75+120X(一)10,2学如逆水行舟，不进则退欲使T=95,代入上式解得t=26(分).点评：本题是一道跨学科应

21、用题，要解决它需要有较好的阅读能力.本题中给出了函数模型，利用待定系数法确定系数，得出解析式，从而解决问题.变式练习：1 .若使等式成立，则等式中三个偶次根式必须都有意义，故选C.2 .要熟练逆用哥的运算公式，选D.3 .利用函数的单调性，选B.4 .在同一坐标系中画出两个指数函数图象，利用图象解题.选D.V1V5 .符合指数函数定义的是D,y=2x=(-).6 .利用求值域的逐步求解法，选A.7 .D8.B9.每一天的细胞数都是前一天的两倍，选B.10.A11.D12.B八，一，5713.将分子分解因式，然后代入可得值为一.14.-15.216.2,017.-2318. 由a=2,b=1求得y=