勾股定理典型例题【含答案】免费

1、勾股定理复习一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c,那么a2+b2=c2。公式的变形：a2=c2-b2,b2=c2-a2。勾股定理在西方叫毕达哥拉斯定理，也叫百牛定理。它是直角三角形的一条重要性质，揭示的是三边之间的数量关系。它的主要作用是已知直角三角形的两边求第三边。勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a,b,c,且满足a2+b2=c：那么三角形ABC是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定

2、理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：已知的条件：某三角形的三条边的长度.满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。3、勾股数满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。注意：勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。二、知识结构：三、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积求：（1）阴影部分是正方形;（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆.12cm考点二：在直角三角形

3、中，已知两边求第三边2.如图，以RtABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系.例如图2,已知ABC中，AB=17,AO10,BC边上白高，A又8,则边BC的长为（A.21B.15C.6D.以上答案都不对【强化训练】：1.在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cmi2cm,则斜边长为.2.（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长的平方是3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12,求斜边上的高.（结论：直角三角形的两条直角边的积等于斜边与其高的积，ab=ch）考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图1所示，等腰朋。中，AB=A

4、C,助是底边上的高，若他二5加，BC-6cm,求AD的长；AABC的面积.考点四：应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题例、某楼梯的侧面视图如图3所示，其中乂8=4米，/胡C=30。，/C=90°,因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为.分析：如何利用所学知识，把折线问题转化成直线问题，是问题解决的关键。仔细观察图形，不难发现，所有台阶的高度之和恰好是直角三角形ABC的直角边BC的长度，所有台阶的宽度之和恰好是直角三角形ABC的直角边AC的长度，只需利用勾股定理，求得这两条线段的长即可。考点五、利用列方程求线段的长（方程思想）1、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端

5、的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？【强化训练】：折叠矩形ABCD勺一边AD,点D落在BC边上的点F处，已知AB=8CM,BC=10CM,求CF和EC.考点六：应用勾股定理解决勾股树问题例、如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5,则正方形A,B,C,D的面积的和为分析：勾股树问题中，处理好两个方面的问题，一个是正方形的边长与面积的关系，另一个是正方形的面积与直角三角形直角边与斜边的关系。点评：请同学们自己把其内在的一般变化规律总结一下。考点七：应用勾股定理解决数学风车问题例7、(

6、09年安顺)图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在RtABC中，若直角边AC=6,BO5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是分析：因为，直角边AC=6,BO5,当将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍后，得到四个直角边分别是12和5的直角三角形，所求的最长实边恰好是这些直角三角形的斜边长，因此，斜边长为：-=13,较短的实边长是6,所以，这个风车的外围周长为：4X13+4X6=76。解：这个风车的外围周长为76考点八：判别一个三角形是否是直角三角形例1:分别以

7、下列四组数为一个三角形的边长：(1)3、4、5(2)5、12、13(3)8、15、17(4)4、5、6,其中能够成直角三角形的有【强化训练】：已知ABC中，三条边长分别为a=n21,b=2n,c=n2+1（n>1）.试判断该三角形是否是直角三角形，若是，请指出哪一条边所对的角是直角.考点九：其他图形与直角三角形例：如图是一块地，已知AD=8mCD=6m/D=90,AB=26mBC=24中求这块地的面积。第23题图考点十：构造直角三角形解决实际问题在某一平地上，有一棵树高8米的大树，一棵树高2米的小树，两树之间相距8米。今一只小鸟在其中一棵树的树梢上，要飞到另一棵树的树梢上，问它飞行的最短

8、距离是多少？（画出草图然后解答）考点十一：与展开图有关的计算例、如图，在棱长为1的正方体ABCD-AB'C'D'的表面上，求从顶点A到顶点C的最短距离.（图1）【强化训练】：如图一个圆柱，底圆周长6cm,高4cm,一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行cm四、课时作业优化设计1.设直角三角形的三条边长为连续自然数，则这个直角三角形的面积是2.直角三角形的两直角边分别为5cm,12cm其中斜边上的高为（）.A.6cmB,8.5cmC.30cmD.60cm1313【提升“学力”】3.如图，ABC勺三边分另I为AC=5BC=12AB=13将ABCSAD折叠，使AC需在AB上，求DC的长.（题6图）4.如图，一只鸭子要从边长分别为16m和6m的长方形水池一角M新到水池另一边中点N,那么