分数的速算与巧算

1、第一讲分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型1、裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。3、循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题.4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母

2、表示后化简为常见的一般形式.知识点拨一'、裂项综合(一)、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即ab,ab1n(n1)(n2)(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即:形式的，我们有:1(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)111n(n1)(n2)2n(n1)1n(n1)(n2)(n3)1113n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)裂差型裂项的三大关键特征:1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x(1)分子全部相同，最简单形式为都是提取出来即可转化为分子都是1的运算。2个分母上的因数“首

3、尾相接”2/卜ababababba,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,(2)分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻(3)分母上几个因数间的差是一个定值。(二)、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：22(D0_a_b_11(2)a一b_abababbaab裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。三、整数裂项1(1) 122334.(n1)n-(n1)n(n1)31(2) 123234345.(n2)(n1)n-(n2)(n1)n(n1)4、换元解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另

4、一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简.三、循环小数化分数1、循环小数化分数结论:纯循环小数混循环小数分子循环节中的数字所组成的数循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差分母n个9,其中n等于循环节所含的数字个数按循环位数添9,不循环位数添0,组成分母，其中9在0的左侧ab0.ab0.0ab0.abcca0.a92、单位分数的拆分：例：±=±10209920ab1ab99109901111111abca990分析：分数单位的拆分，主要方法是：从分母N的约数中任意找出两个m和n,有:11(mn)NN(m

5、n)N(mn)N(mn)A本题10的约数有:1,10,2,5.例如：选1和2,有：11(12)1010(1本题具体的解有:112)101111010(12)10(12)3015126014351530例题精讲模块一、【例1】分数裂项1【例2】原式原式计算:HI3413311198910(1216017181912019101102323423413192011819207III18192019891034511396840171819181920)如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目.但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2.相比较于2,4,6,这

6、一公差为数列(该数列的第n个数恰好为n的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大2的等差3,所以可以先把原式中每一项的分子都分成III3与另一个的和再进行计算.316III910110IIIIII8910910III910910hi102n3,所以再将每一项的n1同.5【巩固】计算：1155(III17【解析】本题的重点在于计算括号内的算式:891057-)9101117891091011算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况.所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式.观察可知523,734,即每一项

7、的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以112III1719III89109101191091011III1011911IIIMl10111011210311332III911810911333155所以原式115531651.55【巩固】计算:124523563467III1210111314【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数.即：5个连续自然数的乘积，所以可以原式324252123452345634567III1221011121314现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性,可以用平方

8、差公式：3,【解析】原式2,_2_2，154,4264,52245123452345634567154264374HI212234345456lh111213III1011121314101441011121314311211711232290210460515也可以直接进行通项归纳.根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为2n323nn1n2n1n2nn1n2分别加在一起进行裂项.后面的过程与前面的方法相21011121314123452345634567223343445123412123121311121213123411121314III101112131112131477121213

9、752411121314811121314821114【例3】【解析】30861623232342345III【例4】【解析】【巩固】【巩固】【解析】【巩固】12原式2221III109101234川10232343628799234|9102341H910362880011212312川100本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公一，1式的代入有11原式122(11)112(12)2Him1001014(1200,9911011011(12)(12)(123)(123

10、)(1234)原式=三十旦十二十3十十1(12)1(12)(1250III50(12349)(12350)36610101511111)+(11)+(1122512751)+(1041、1274一)=122512751275(12)(123)(123)(1234)100|99)(12III100)112(12)(110023)121231|99)(12HI100)原式1-11505022100504950501(12)(12)(123)12|(III99，所以10010(1239)(12310)【解析】原式1【例5】5513215515211721610III101921这题是利用平方差公式进

11、行裂项:原式1(2(12计算:原式计算:原式计算:104555III4555112a11321(ab)(a()241141)1432122()(4661111-)81()8101101012()101211)1214()121412122128145232232223734232432-24IIIIII15-27，82-27872-28132142III1721826364525T9979971252112422432IIIIIIIIIIII21993219932I-712199521995III2219931221995119941996997199450219961996997997199

12、699101【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为221,421,621,，10021,可以发现如果分母都加上1,那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了.原式224262100250502242621002224262III1002III991011111，55799101150635012101410110122【巩固】134466881010【解析】（法1）：可先找通项an911I1A11原式(1)(113115-(1-)521113-55)(1(n1)(n1)11)(1-)79911

13、（法2）:原式例6-1631272105147132、,88、,1818、-)(-)（一)33557185010,6L5459111111(25111132325050叩8)(8n)11999解析-（1万）（-11(1-)(1-)231n111(1-)(1-)231n13）in（11111原式=(23)(34)(1n11415)(n1)(n2)19992000)99910001【巩固】计算：112【解析】先找通项公式an12007原式1212【巩固】1，33512(21)22223341357IOn1n(n1)3(31)III112(-)nn112007(20071)III1斛析先找通项：an

14、i-j-j-35HI原式200720081222007200820071004“12112n11324111335hi4619112n139111012六六011101211111121112212175264【例"二223234123)|5023III50【解析】找通项an(1n)n2(1n)n12n(n1)n(n1)2原式III23344556例823344556III224849495050513112422253/八21263247124732504248511249225212623112322233122n33n31(n33231)(2n341)3132263622n12

15、1(13233nFn(n1)23n(n1)3(n101828414253647通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以轻松写出全部的项，所以有原式【解析】an5092352261n421原式=_(_3112211、111'I/11n22)(23)(3(7)=31321"1?921(127)5281【解析】an(n1)2n(n2)1(n1)2(n1)21(n1)21原式22(21)(21)23344(31)(31)III9898(981)(98例9计算:42222215323321III989899972999999100981)999999(991)(991)149

16、10050【解析】通项公式:992121an(21)(21)(31)(31)(41)(41)III9898(981)(981)工9999(991)(991)223344132435E.,12巩固计算：F1110050002233445598989999314253649997100989898999929999979998100110050_22|2"220050009999005000【解析】本题的通项公式为2n-2n100n5000没办法进行裂项之类的处理注意到分母n2100n50005000n100n5000100n100100n，可以看出如果把n换成100n的话分母的值不变，

17、所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下人502一个一250.将项数和为100的两项相加，得505000500022222n100nn100n2n200n10000222n100n5000100n100100n5000n100n5000n100n5000所以原式249199.（或者，可得原式中99项的平均数为1,所以原式19999）例1024112-45【解析】虽然很容易看出可是再仔细一看，并没有什么效果,因为11112021产12221222102这不象分数裂项那样能消去很多项.我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式,于是我们又有-一1=6.减号前面括号里的式1222

18、32n2n(n1)(2n1)子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢?24112TT-512021111212221122210224=24112TT-512021110112112021241202221=24112021202221=24112"T"6，=6''2022122311011160=1111模块二、换元与公式应用【例11】计算：1333333333579111315【解析】原式1233431521512457600227M14315323438132377328III3144812811原式计算:原式【例12】计

19、算:22221210234523222113223332III322143III102HI110110102III1033lhHI9451980111二727333310237593134101IIIIII910III9921135136【解析】法一：利用等比数列求和公式。71113原式1137113法二：错位相减法.2641729则3s31法三：本题与例131屐132133111173-475763333111,3SS3,整理可得S1333364729相比，式子中各项都是成等比数列，但是例3中的分子为3,与公比4差1,所以可以采用“借来还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将

20、每一项的分子变得也都与公比差1.由于公比为3,要把分子变为2,可以先将每一项都乘以2进行算，最后再将所得的结果除以2即得到原式的值.由题设，2s“借来还去”的方法可得到2s【例13】2,22计算：04一6-1232221-3,整理得到S32222100)(13591098原式(21)(43)(610【例14】222-333641.729992)32122(10099)(21)(21)(43)(43)(65)(65)(10099)(10099)2(1)31415926123428766249910050501001003141592531415927246887661005012(1)观察可知3

21、1415925和31415927都与31415926相差1,设a31415926,原式原式2aa2123412341a2876687661234210000a2118766100000000计算：原式(2007计算:_220072006)2006242II22005225422006220073222(20072006)(200520072006120052004注2004)322(20052004)小(32)(32)12122007222220072015028324252_2_22000200120002001原2112213243542200020002001A2200120002001

22、2000200120012000199920012000200020002001222222000t1原式(a)ba(b)662相力口20002000400020012001【例15】20078.58.51.51.5101600.3【解析】原20078.51.58.51.5101600.32007108.51.5101600.3200771600.312.50.312.2【巩固】计算：53574743.【解析】本题可以直接将两个乘积计算出来再求它们的差，但灵活采用平方差公式能收到更好的效果.原式55255245245255222452222_25545554555451000【巩固】计算：11

23、19121813171416.【解析】本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式.20oooooO22222-22际队154153152151152225049124941222324290030870其中12223242可以直接计算，但如果项数较多，应采用公式1222n2nn12n1进行计算.【巩固】计算：199298397|4951.【解析】观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的，可以采用平方差公式.原式5049504950485048Hl501501_2_2_2_22250249250248250212【巩固】看规彳t13*6原1323.$14312,132332,131

24、323.|53332-八3一3.236,试求67123|142123III142459012010800-22_10515105151051511,c1111111111【例16】计算：(1-)(-)(1-)(-)2424624624111111一,【斛析】令1a，346b，则：ab11baba666（ab）【巩固】(1211)(1111)(11111)(211)23423452345234111111【斛析】设a-一一，则原式化间为：(1+a)(a+-)-a(1a+-)=-234555111111111111111213141213141511121314151111213141111111

25、【解析】设一一一一a,112131412131-11原式abab515114111abaabb51(ab)511115111561511111、，1111、/11(一)579117911135711、，111、)()11137911【解析】设1112A，31!B,579117911一、11原式ABAB131311ABAABB13131AB1311113565【巩固】计11111111111111111111-23452345623456234511111111【解析】设133Zga，3gzgb一、_1_1_1111原式ABABABAABBAB6666661(AB)166【巩固】21239123

26、9111292392341023410223103410,一1239211212t11【解析】设t,则有tt(1t)ttttt23410222222【巩固】(2【解析】计算2N1III4一III2N1(7.886.779.3110.98)换元的思想即“打包”则10)(10(计算(1(2102009则有20095.66)t)(t11V-1(12009_1原式=一_22N9.3110.98107.887.88III2(t2N16.775.66(|10)a10)b7.886.77(ab5.6610a)9.316.775.66,b原(ab10b)ab9.3110.98,0.450.56)(0.45该题

27、相对简单，尽量凑相同的部分,有原式(1a)b(1b)三、循环小数与分数互化【例17】计算：0.1+0.125+0.3+0.16,方法一:方法二:(1)0.51.210aab10b10(10.98)100.020.20.560.67)即能简化运算ababa0.45ab)0.560.67)(0.450.56).设aab0.45ba0.56,b0.450.560.67,0.67结果保留三位小数.0.1+0.125+0.3+0.160.1+0.125+0.3+0.160.?191.242754536(1)法一：原式9099法二：将算式变为竖式：4990可判断出结果应该是0.908,0.1111+0.1

28、250+0.3333+0.1666=0.7359=0.736315990118999900.544440.3636360.9080809089化为分数即是908111889953一0.736722原式12，9【巩固】计算：0。1【解析】方法一：0.0241990.10.119112790.20.2123990.30.319270.70.7990209900.80.811212323437879090909090899011121317181=216909090909090-90方法二：0.0，0.120.230.3彳0.780.89=0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+0.010。2。

29、30。40。80坤=2.1+0.01(1+2+3+4+8+9)12.12790原式330逆999990330185599999081【巩固】计算（1）0.29彳0.1920加50.526(2)0.3300.186【解析】（1）原式291192137552652913755211916663309999909999909999909999902.10.32.41【例18】某学生将1.23乘以一个数a时，把1.23误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少？?33【解析】由题意得：1.23a1.23a0.3,即：0.003a0.3,所以有：a解得a90,90010?111所以1

30、.23a1.23909011190【巩固】将循环小数0.027与0.79672相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少？【解析】0.027x0.179672工工。工占0.00485699999999937999999999999循环节有6位，100+6=164,因此第100位小数是循环节中的第4位8,第101位是5.这样四舍五入后第100位为9.【例19】有8个数,0.51,2,5,0.51,24是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第43947'25个数是031,那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数？【解析】2=0.6，5=0.5，-240.5106

31、,=0.52394725显然有0.5106<0.5l<0.51<0.52<0.5<0.6即竺<051<051<13<勺<2，8个数从小到大排472593列第4个是031,所以有口<口<竺<051<051<竺<5<2.（“口”，表示未知的那2个472593数）.所以，这8个数从大到小排列第4个数是0.51.【例20真分数与化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992,那么a7是多少？【解析】1=0142857,-=0.285714,3=028571,-=071428，-

32、=0.714285，777776 =0857142,因此，真分数旦化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是7 71+4+2+8+5+7=27,又因为1992+27=7321,27-21=6，而6=2+4,所-=0857142，即a6.7【巩固】直分数a化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是9039，则a是多少？7【解析】我们知道形如a的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组成，7只是各个数字的位置不同而已，那么9039就应该由若干个完整的142857和一个不完整142857组成。90391245783341n21,而21276,所以最后

33、一个循环节中所缺的数字之和为6,经检验只有最后两位为4,2时才符合要求，显然，这种情况下完整的循环节为“857142”，因此这个分数应该为9,所以a6。7【巩固】真分数a化成循环小数之后，小数点后第2009位数字为7,则a是多少？7【解析】我们知道形如9的真分数转化成循环小数后，循环节都是由6位数字组成，720096334"I"|5,因此只需判断当a为几时满足循环节第5位数是7,经逐一检验得a3。【例212002和工化成循环小数后第100位上的数字之和是.20092872002一1,【解析】如果将竺2和，转化成循环小数后再去计算第100位上的数字和比较麻烦，通过观察计算20

34、09287我们20021发现1,而10.9,则第100位上的数字和为9.2009287【巩固】纯循环小数0*bC写成最简分数时，分子和分母的和是58,则三位数嬴【解析】如果直接把0abC转化为分数，应该是abc,因此，化成最简分数后的分母应该是999的约数，我999abcabc9993727使等式成立.冬，因此航2127567.37们将999分解质因数得：9993337,这个最简分数的分母应小于58,而且大于29,否则该分数就变成了假分数了，符合这个要求的999的约数就只有37了，因此，分母应当为37,分子就是583721,也就是说O*bf【例22】在下面的括号里填上不同的自然数,111111

35、0202011111(2)110【解析】单位分数的拆分，主要方法是从分母N的约数中任意找出两个数m和n,有：1mnmn11NN(mn)N(mn)N(mn)AB从分母n的约数中任意找出两个m和n(mn),有：1mnmn11NN(mn)N(mn)N(mn)AB(1)本题10的约数有：1,10,2,5.一一一，1121211例如：选1和2,有：1010(12)10(12)10(12)3015从上面变化的过程可以看出，如果取出的两组不同的m和n,它们的数值虽然不同，但是如果m和n的比值相同，那么最后得到的A和B也是相同的.本题中，从10的约数中任取两个数，共有C2410种，但是其中比值不同的只有5组：

36、(1,1)；(1,2)；(1,5)；(1,10)；(2,5),所以本题共可拆分成5组.具体的解如下：1111111111110202011110126014351530(2)10的约数有1、2、5、10,我们可选2和552)10(52)10(52)615另外的解让学生去尝试练习.【巩固】【解析】在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立.111111110【例23】【解析】【巩固】【解析】【例2例【解析】先选10的三个约数，比如5、2和1,表示成连减式521和连加式521.,1111111则：1041020804016如果选10、5、2,那么有：工111工。工1036

37、15173485另外，对于这类题还有个方法，就是先将单位分数拆分，拆成两个单位分数的和或差，再将其中的一个单位分数拆成两个单位分数的和或差，这样就将原来的单位分数拆成了3个单位分数1111的和或差了.比如，要得到一一一一，根据前面的拆分随意选取一组，比如10111111一一一,再选择其中的一个分数进行拆分，比如一一,所以10126012131561111一一一.1013601561111111111145111111111114572120183040513581915451_111=2111011111111041020804016注：这里要先选10的三个约数，比如5、2和1,表示成连减式5

38、-2-1和连加式5+2+1.所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是。小于30的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共十个，分母为17的真分数相加，和11621531489171()()()()8°17171717171717172类似地，可以求出其它分母为质数的分数的和。因此，所求的和是13J5J7J111131171191231291222222222211-123568911145922【巩固】【解析】分母为1996的所有最简分数之和是o因为1996=2X2X499。所以分母为1996的最简分数，分子不能是偶数，也不能是499的倍数,499与3X49

39、9。因此，分母为1996的所有最简真分数之和是(11995)(31993)(5011495)(997999)1119961996；1996199619961996；19961996，1498【例25】【解析】200413568911=59-211，一，一，、，-.一,，其中a、b都是四位数，且a<b,那么满足上述条件的所有数对（aba,b)是2004的约数有：1,2004,2,1002,3,668,4,501,满足题意的分拆有:【巩固】如果2009A1,一一，一-,A,B均为正整数，则BB最大是多少?【解析】从前面的例题我们知道，要将1按照如下规则写成11的形式:NN(mn)N(mn)N(mn)AB111,其中m和n都是N的约数。如果要让BAB1121120042004(12)2004(12)601230061131120042004(13)2004(13)801626721231120042004(23)2004(23)501033401341120042004(34)2004(34)46763507尽可能地大，实际上就是让上面的式子中的n尽可能地小而m尽可能地大，因此应当m取最大的约数，而n应取最小的约数，因此m课后练习：2009,n1,所以B20092008.练习1.112112III练习2.通项为:练习3.5040503950