金融工程学第7章

1、CopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing University整理ppt1金融工程学金融工程学 第第7章章布莱克布莱克-斯科尔斯期权定价模型斯科尔斯期权定价模型 CopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing University整理ppt27.1证券价格的变化过程证券价格的变化过程 弱式效率市场假说与马尔可夫过程弱式效率市场假说与马尔可夫过程 1965年，法玛（年，法玛（Fama）提出了著名的效率市）提出了著名的效率市场假说场假说,该假说认为该假说认为:投资者都力图利用可获得的信息获得更高的

2、报酬；投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；证券价格能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立相互独立的。的。CopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing University整理ppt3 效率市场假说可分为三类：弱式、半强式效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。和强式。 弱

3、式效率市场假说可用马尔可夫随机过程弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程（Markov Stochastic Process）来表述。）来表述。随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。随时间变化的过程。如果证券价格遵循马尔可夫过程，该过程具有如果证券价格遵循马尔可夫过程，该过程具有“无后效性无后效性”，其未来价格的概率分布只取决，其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格。也就是，通过历史数据于该证券现在的价格。也就是，通过历史数据不能预测未来不能预测未来B-S模型假设标的资产的价格服从几何布朗运模型假设标的资产的价格服从几何布朗运动，

4、它是一种特殊的动，它是一种特殊的马尔可夫过程。马尔可夫过程。CopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing University整理ppt47.1.1 维纳过程维纳过程根据有效市场理论，股价、利率和汇率具根据有效市场理论，股价、利率和汇率具有随机游走性，这种特性可以采用有随机游走性，这种特性可以采用Wiener process，它是，它是Markov stochastic process的一种。的一种。对于随机变量对于随机变量w是是Wiener process，必须，必须具有两个条件：具有两个条件：1.在某一小段时间在某一小段时间t内，它的变动内

5、，它的变动w与时段与时段t满足满足CopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing University整理ppt5ttwt（7.1）1,(0,1)ttttwwwiidN这里，2. 在两个不重叠的时段在两个不重叠的时段t和和s, wt和和ws是独立的，是独立的，这个条件也是这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！过程的条件，即增量独立！1111,tttsssttsswwwwwwwwww其中，cov(,)0tsww（7.2）有效市场有效市场CopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing Univ

6、ersity整理ppt6 满足上述两个条件的随机过程，称为维纳满足上述两个条件的随机过程，称为维纳过程，其性质有过程，其性质有()0,()ttEwDwt 当时段的长度放大到当时段的长度放大到T时（从现在的时（从现在的0时刻时刻到未来的到未来的T时刻）随机变量时刻）随机变量wT的满足的满足0()0,()TTTTEwwwwDwTCopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing University整理ppt7 证明：证明：01111,NTTiiiiiiNNTiiiiwwwwwwwtwtt 11()()( )0NNTiiiiEwtEtE1()(),( )

7、1,NTiiiDwt Dt NTD 证毕.CopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing University整理ppt8 在连续时间下，由（在连续时间下，由（7.1）和（）和（7.2）得到）得到cov(,)0tttsdwdtdw dw（7.3）（7.4） 所以，所以， 概率分布的性质概率分布的性质(0,)()0,()tttdwNdtE dwD dwdttdw以上得到的随机过程，称为维纳过程。以上得到的随机过程，称为维纳过程。CopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing University整理p

8、pt97.1.2 伊藤引理伊藤引理 一般维纳过程一般维纳过程(Generalized Wiener process)可可表示为表示为(0,)tttdxadtbdwdwNdt 其中，（7.5）22(,)(),()tttdxN adt b dtE dxadt D dxb dt显然，一般维纳过程的性质为显然，一般维纳过程的性质为CopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing University整理ppt10 一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂的变动特征。的变动特征。漂移率和方差率为常数不恰当漂移率和方差率为常数不

9、恰当ttdxadtbdw( , )( , )ttdxa x t dtb x t dw若把变量若把变量xt的漂移率的漂移率a和方差率和方差率b当作变量当作变量x和和时间时间t的函数，的函数，扩展后得到的即为扩展后得到的即为ITO过程过程CopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing University整理ppt11 B-S 期权定价模型是根据期权定价模型是根据ITO过程的特例几何过程的特例几何布朗运动来代表股价的波动布朗运动来代表股价的波动ttttdss dts dw, ( , ), ( , )ttttttsx a s ts b s ts省略下标

10、省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程，变换后得到几何布朗运动方程( )dsr tdtdws（7.6）证券的预期回报与其价格无关。证券的预期回报与其价格无关。CopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing University整理ppt12 伊藤引理：假设某随机变量伊藤引理：假设某随机变量x的变动过程可由的变动过程可由ITO过程表示为（省略下标过程表示为（省略下标t）( , )( , )dxa x t dtb x t dw 令令f(x,t)为随机变量为随机变量x以及时间以及时间t的函数，即的函数，即f(x,t)可可以代表以标的资产以代表以标的资产

11、x的衍生证券的价格，则的衍生证券的价格，则f(x,t)的变动过程可以表示为的变动过程可以表示为2221()2ffffdfab dtb dwtxxx( , ),( , ),( , )ff x t aa x t bb x t（7.7）CopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing University整理ppt13证明：将（证明：将（7.7）离散化）离散化( , )( , )xa x ttb x tw wt由（由（7.1）知）知利用泰勒展开，忽略高阶项，利用泰勒展开，忽略高阶项，f(x,t)可以展开为可以展开为22222221()212ffffftx

12、xx ttxxx tftt （7.8）CopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing University整理ppt14在连续时间下，即在连续时间下，即0tD3220lim0tx ta tbt 因此，（因此，（7.8）可以改写为）可以改写为（7.9）22212fffftxxtxx 20tD从而从而320tDCopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing University整理ppt1522xa tbt 3222222atbtabt 22bt200,tt 且当时，有从而222220lim()()0t

13、DxbtD即即x2不呈现随机波动！不呈现随机波动！（7.10）CopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing University整理ppt1622222()()()ExE btbtE由（由（7.10）可得）可得22(0,1),( )(0) ()1NDEE由于则22()Exbt（7.11）由（由（7.11）得到）得到（7.12）CopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing University整理ppt17 由于由于x2不呈现随机波动，所以，其期望值不呈现随机波动，所以，其期望值就收敛为真实值，即

14、就收敛为真实值，即22xbt22212fffdfdtdxdxtxx2221()2fffdtadtbdwb dttxx当当t0时，时，由（由（7.9）可得）可得2221()2ffffab dtb dwtxxxCopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing University整理ppt18ttttdSS dtS dw若股票价格服从几何布朗运动若股票价格服从几何布朗运动设当前时刻为设当前时刻为t，则，则T时刻股票价格满足对时刻股票价格满足对数正态分布，即数正态分布，即22lnln(/2) ,TtSNS ,0, Tt tT7.1.3 几何布朗运动与对数

15、正态分布几何布朗运动与对数正态分布CopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing University整理ppt19()lnttgg SS22211,0ttttgggSSSSt 令令则则这样由伊藤引理得到这样由伊藤引理得到21()2dtdw2221() )2ttttttggggdgSSdtSdwtSSS(,)ttaS dt bS21(ln)()2tdSdtdw即即CopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing University整理ppt2021(ln)()2TTtttdSdtdw21lnln()

16、()2TtTtSSww由（由（7.1）Ttww 21lnln()2TtSS (0,1)iidN22lnln(/2) ,TtSNS CopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing University整理ppt2121()exp() exp()2TtE SSE exp()exp( )EE 注意：22lnln(/2) ,TtSNS 由于则称则称ST服从对数正态分布，其期望值为服从对数正态分布，其期望值为2exp()exp(/2)E ()exp()TtE SS所以所以CopyrightLinhui, Department of Finance, Nan

17、jing University整理ppt227.2 B-S模型的推导模型的推导 Black、Scholes和和Merton发现了看涨期权发现了看涨期权定价公式，定价公式，Scholes和和Merton也因此获得也因此获得1997年的诺贝尔经济学奖年的诺贝尔经济学奖 模型基本假设模型基本假设8个个无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变化。化。标的股票不支付红利标的股票不支付红利期权为欧式期权期权为欧式期权CopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing University整理ppt23无交易费用：股票市场、

18、期权市场、资金借贷无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷市场市场投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等，投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等，均为无风险利率均为无风险利率股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量的标的股票的标的股票对卖空没有任何限制对卖空没有任何限制标的资产为股票，其价格标的资产为股票，其价格S的变化为几何布朗的变化为几何布朗运动运动dsdtdwdssdtsdwsw其中， 代表维纳过程CopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing University整理ppt24B-S模型证明思路模型

19、证明思路ITO引理引理2221()2ffffdfab dtb dwtxxxITO过程过程( , )( , )ttdxa x t dtb x t dwB-S微分方程微分方程222212fffrssrftss抖+s=抖B-S买权定价公式买权定价公式12()()rtCS N dKeN d7.2.1 B-S微分方程微分方程dssdtsdw假设标的资产价格变动过程满足假设标的资产价格变动过程满足 这里这里S为标的资产当前的价格，令为标的资产当前的价格，令f(s,t)代表衍生证代表衍生证券的价格，则券的价格，则f(s,t)的价格变动过程可由的价格变动过程可由ITO引理近引理近似为似为22221()2fff

20、fdfssdts dwtsssCopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing University整理ppt2622221()2fffffsstswtsss 假设某投资者以假设某投资者以份的标的资产多头和份的标的资产多头和1 1个单位的个单位的衍生证券空头来构造一个组合，且衍生证券空头来构造一个组合，且满足满足ffsfss = -+ d = -+则该组合的收益为则该组合的收益为fsd=CopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing University整理ppt27 下面将证明该组合为无风险组合，在

21、下面将证明该组合为无风险组合，在t时时间区间内收益为间区间内收益为ffssD = - D+D22221()2()ffffsstswtsssfs ts ws 22221()2ffstts 注意到此时注意到此时不含有随机项不含有随机项w，这意味着该组合，这意味着该组合是无风险的，设无风险收益率为是无风险的，设无风险收益率为r，且由于，且由于t较较小（不采用连续复利），则小（不采用连续复利），则ffss = -+又由于22221()2ffRrtstts抖= D 兆 譊 = -+sD抖22221()2fffstfsrttss抖-+sD=-+鬃 D抖（）整理得到整理得到222212fffrssrftss

22、抖+s=抖B-S微分方程的意义微分方程的意义222212fffrssrftss抖+s=抖衍生证券的价格衍生证券的价格f，只与当前的市价，只与当前的市价S，时间，时间t，证券，证券价格波动率价格波动率和无风险利率和无风险利率r有关，它们全都是客观有关，它们全都是客观变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会对对f的值产生影响。的值产生影响。在对衍生证券定价时，可以采用在对衍生证券定价时，可以采用风险中性定价风险中性定价，即，即所有证券的预期收益率都等于无风险利率所有证券的预期收益率都等于无风险利率r。只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用只要标的资

23、产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微微分方程求出价格分方程求出价格f。7.2.2 B-S买权定价公式买权定价公式122121()()ln(/)(/2)0, ,rtttCS N dXeN dSXrdddtTTt 其中， 对于欧式不支付红利的股票期权，其看涨期权对于欧式不支付红利的股票期权，其看涨期权（买权）的在定价日（买权）的在定价日t的定价公式为的定价公式为 （1）设当前时刻为）设当前时刻为t，到期时刻，到期时刻T，若股票，若股票价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻t的股票价格为的股票价格为St,则则T时刻的股票价格的期时刻的股票价格的期望值为望值为B-S

24、买权定价公式推导买权定价公式推导()exp ()TtE SSTt（7.13）exp()tS()exp()TtE SSr（7.14）由（由（7.13）和（）和（7.14）得到）得到r（7.15） 根据根据B-S微分方程可知，定价是在风险中性微分方程可知，定价是在风险中性条件下，则资产的期望回报为无风险回报，条件下，则资产的期望回报为无风险回报，则则这表明：在风险中性的世界中，任何可交易的金这表明：在风险中性的世界中，任何可交易的金融资产的回报率均为无风险利率。融资产的回报率均为无风险利率。（2）在）在风险中性的条件下风险中性的条件下，任何资产的贴现率为，任何资产的贴现率为无风险利率无风险利率r，

25、故买权期望值的现值为，故买权期望值的现值为max(,0)rtTCeESX0() ()0()XrTTTTTXeSX f SdSf SdS(),0,rTTTeE SXSXSX（7.16）() ()rTTTXeSX f SdS 由于由于ST服从对数正态分布，其服从对数正态分布，其pdf为为22(ln(ln)1()exp22TTTTSESf SS 22221()exp2211()exp22rtTXrTXTssCedSuussXedSSuu（7.17）第第1项项第第2项项将将ln,(ln),TTSs ESs u 由由(7.16)得到得到（3）化简（）化简（7.17）中的第）中的第1、2项，先化简第项，先

26、化简第1项项221()exp22rTXssedSuu2211()exp( ln)exp(ln)exp22rttTTXTssSS eSdSSuu2211()exp(lnln)exp22tTtTXTssSSSrdSSuu（7.18）当前时刻价格，不是变量当前时刻价格，不是变量lnlnTtSSr22(ln)ln(/2)1ln(ln)()2TttTESSSES因为，则2(/2) )ssrr22(/2)(/2)ssssu （7.19）(ln)TESsr由于，所以 将（将（7.19）与（）与（7.18）内的第）内的第2个指数项合个指数项合并，即并，即222()(/2)2ssssuu22222(1/2)22

27、(/2)() uu sususs222422(1/2)222uu su sussss222242(1/2)2 ()(2)us ussu sus222(1/2)()usus （7.20）将（将（7.20）代入（）代入（7.18）22211()exp()22tTXTsusSdSSuu下面，将利用变量代换来简化下面，将利用变量代换来简化（7.21），不妨令），不妨令（7.21）2()susyu111(ln)TTTdydsdSdSuuuS所以，22ln(ln)()TTSESsusyu 2(ln)ln(/2)TtESSr22lnln(/2) TtSSry 2lnln(/2)TtSSr 根据对数正态分布的

28、性质，前文已经证明根据对数正态分布的性质，前文已经证明y的积分下限为的积分下限为2lnln(/2)|TtSXXSry 21ln(/)(/2)tSXrd y的积分上限为的积分上限为2lnln(/2)|TtSSry 将将dy与与y代入（代入（7.21），即有），即有1211exp()22tTdTySuS dyS u111()()ttSNdS N d这样就完成了第这样就完成了第1项的证明。项的证明。22211()exp()22tTXTsusSdSSuu121exp()22tdySdy（7.22）()/zssu(ln)1TTTdSdsdzdSuuuS下面证明下面证明B-S公式中的第公式中的第2项，项，

29、2211()exp22XrTTssXedSSuu首先进行变量代换，令首先进行变量代换，令TTdSuS dz 则则z的积分下限的积分下限2lnln(/2)|TTTTtSXSXSXSSrsszu 2lnln(/2)tXSr 2d z的积分上限的积分上限|TSz 2ln(/)(/2)tSXr 将将z和和dz代入代入2211()exp22rTXTssXedSSuu2211exp22rTdTzXeuS dzS u 221()()rrXeNdXeN d （7.23）221exp22rdzXedz 12()()rttCS N dXeN d则由（则由（7.22）和（）和（7.23）得到）得到21ln(/)(/

30、2)tSXrd 22ln(/)(/2)tSXrd 1d 其中其中CopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing University整理ppt46pr0dN(d)例如例如:当当d1.96时时,N(d)97.5%CopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing University整理ppt477.2.3 B-S模型的意义模型的意义 由由Z的积分下限可知，的积分下限可知，N(d2)是在风险中性世界中是在风险中性世界中ST大于大于X的概率，或者说式欧式看涨期权被执行的概率，或者说式欧式看涨期权被执行的概率

31、。的概率。 X e-r(T-t)N(d2)是是X的风险中性期望值的现值。的风险中性期望值的现值。 StN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是是ST的风险中性期望值的的风险中性期望值的现值。现值。 2211()exp22rTXTssXedSSuu2()rXeN d ()max(,0)r T ttTCeESX()()|0,r T tr T tTTTTeE SSXeX SXSX()()()|0,r T tr T tr T ttTTTeE S eSXeX SXSX12()()11()()()()rttr T tr T tttCS N dXeN dS N deS eN dCopyrightLi

32、nhui, Department of Finance, Nanjing University整理ppt49 其次，其次， 是是复制交易策略复制交易策略中股票的数中股票的数量，量，StN( (d1)就是就是资产资产的市值的市值, -Xe-r(T-t) N(d2)则是复制交易策略中则是复制交易策略中负债的负债的价值。价值。假设假设Stx，0,则两个则两个N(d)均为均为1，看涨期权价值为，看涨期权价值为St-X，则没有不确定性。如果确实执行了，就获得了，则没有不确定性。如果确实执行了，就获得了以以St为现价的股票的所有权，而承担了为现价的股票的所有权，而承担了X的债务。的债务。 期权的价值关于标

33、的资产的价格及其方差，期权的价值关于标的资产的价格及其方差，以及到期时间等以及到期时间等5个变量的非线性函数个变量的非线性函数Ct=f(St,X,r)的函数。的函数。1()N dCopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing University整理ppt50So = 100X = 95r = 0.10T = 0.25 (quarter)= 0.50d1 = ln(100/95) + (0.10+(0 5 2/2) / (0 5 0 0.251/2) = 0.43 d2 = 0.43 + (0 50 0.251/2) =0.18N (0.43)

34、= 0.6664， N (0.18) =0 .5714Call Option ExampleCopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing University整理ppt51Co = SoN(d1) - Xe-rTN(d2)Co = 100 X .6664 - 95 e- .10 X .25 X .5714 Co = 13.70P = Xe-rT 1-N(d2) - S0 1-N(d1)Call Option ValueCopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing University整理ppt527.3 看跌期权的定价看跌期权的定价 利用金融工程技术来看待期权平价关系利用金融工程技术来看待期权平价关系 考虑任意考虑任意t时刻，如下两个组合：时刻，如下两个组合：组合组合A：一份欧式看涨期权加上金额为：一份欧式看涨期权加上金额为 的现金的现金组合组合B：一份有效期和执行价格与上述看涨期：一份有效期和执行价格与上述看涨期权相同的权相同的欧式看跌期权欧式看跌期权，加上一单位标的资产，加上一单位标的资产)(tTrXe 组合组合A到期时刻到期时刻T的收益的收益()()max(0,)max(,)r T tr T t