第4章理论分布与抽样分析

1、第四章第四章 理论分布与抽样分布理论分布与抽样分布&4.1&4.1 事件与概率事件与概率&4.2 &4.2 随机变量的概率分布类型随机变量的概率分布类型&4.3 &4.3 理论分布理论分布&4.4 &4.4 抽样分布抽样分布 在一定条件下，可能发生，也可能不在一定条件下，可能发生，也可能不发生的现象称为随机事件。发生的现象称为随机事件。&4.1 &4.1 事件与概率事件与概率一、事件及其相互关系一、事件及其相互关系( (一一) )事件的意义事件的意义1.必然事件必然事件2.不可能事件不可能事件3.随机事件随机事件(

2、二二)、事件的相互关系、事件的相互关系1. 和事件和事件 事件事件A和事件和事件B至少有一个发生，这至少有一个发生，这一事件称为和事件，记为一事件称为和事件，记为“A+B”，读，读作作“或或A发生，或发生，或B发生发生”。2.积事件积事件 事件事件A和事件和事件B同时发生，这一事件同时发生，这一事件称为积事件，记为称为积事件，记为“AB”。3.互斥事件互斥事件(不相容事件不相容事件) 事件事件A和事件和事件B不能同时发生，这不能同时发生，这一事件称为互斥事件，记为一事件称为互斥事件，记为“A.BV”4.对立事件对立事件若事件与是互不相容，且为若事件与是互不相容，且为必然事件，则称为的对立事件。

3、必然事件，则称为的对立事件。 例如、例如、“产品合格产品合格”A和和“产品不合产品不合格格”B，A+B=必然事件，必然事件，AB=不可能事不可能事件。件。5.完全事件系完全事件系若事件若事件A1、A2、A3、An两两互斥，两两互斥，且每次试验结果必发生其一，则称这且每次试验结果必发生其一，则称这n个事件为完全事件系。个事件为完全事件系。6. 事件的独立性事件的独立性若事件若事件A发生与否不影响事件发生与否不影响事件B发生的发生的可能性，则称事件可能性，则称事件A和事件和事件B相互独立。相互独立。例如花色与产量无关的例。例如花色与产量无关的例。 二二 、概率的统计定义及估计方法、概率的统计定义及

4、估计方法表3.1 在相同条件下水稻种子发芽试验结果试验粒数试验粒数(n) 5 10 50 100 200 500 1000发芽粒数发芽粒数(a) 5 8 44 91 179 452 901发芽频率发芽频率(a/n) 1.0 0.8 0.88 0.91 0.895 0.904 0.901( (一一) )概率的统计定义概率的统计定义 假定在相似条件下重复进行同一类试假定在相似条件下重复进行同一类试验验,调查事件调查事件A发生的次数发生的次数a与试验总次数与试验总次数n的比数称为的比数称为频率频率(a/n),则在试验总次数则在试验总次数n逐渐增大时逐渐增大时,事件事件A的频率愈来愈稳定的的频率愈来愈

5、稳定的接近一个定值接近一个定值P，则定义为事件，则定义为事件A发生的发生的概率概率.记为记为P(A)=p=a/n概率的基本性质概率的基本性质:3、不可能事件的概率等于、不可能事件的概率等于0,即即: P(V)=01、任何事件的概率都在、任何事件的概率都在0与与1之间之间,即即: 0P(A) 12、必然事件的概率等于、必然事件的概率等于1,即即: P(U)=1(二二)概率的运算方法概率的运算方法1.加法定理加法定理 两个互斥事件两个互斥事件A和和B的和事件的概的和事件的概率等于事件率等于事件A和事件和事件B各自的概率之和各自的概率之和,既既:P(A+B)=P(A)+P(B) 例如例如 有一批种子

6、，其中二级占有一批种子，其中二级占5%,一级占一级占10%，其余为三级，问三级种子占多少？，其余为三级，问三级种子占多少？2.乘法定理乘法定理 两个独立事件两个独立事件A和和B的积事件的概的积事件的概率等于事件率等于事件A和事件和事件B各自概率的乘积各自概率的乘积,即即: P(AB)=P(A) P(B) 若一批玉米种子发芽率为若一批玉米种子发芽率为0.9,发芽后能发芽后能出土的概率为出土的概率为0.8,求这批种子的出苗率求这批种子的出苗率?P(AB)=P(A) P(B)=0.90.8=0.723.对立事件的概率对立事件的概率 若事件若事件A的概率为的概率为P(A),那么对立那么对立事件的概率事

7、件的概率 为为: P( )=1-P(A)AA若一批种子发芽率为若一批种子发芽率为0.9,则不发芽率的概则不发芽率的概率为率为1-0.9=0.14.完全事件系的概率完全事件系的概率 若有几个事件若有几个事件A1,A2,.,An是试验的完是试验的完全事件系全事件系,则这些事件的概率之和为则这些事件的概率之和为1。 即即:P(A1+A2+ + An） =P(A1)+P(A2) + +(An) =1 一批棉花纤维长度一批棉花纤维长度30cm事件事件A3,概率为概率为0.2;这三种情况构成一个完这三种情况构成一个完全事件系，其概率之和为：全事件系，其概率之和为：P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A

8、2)+P(A3)=0.2+0.6+0.2=1三三. 小概率事件实际不可能性小概率事件实际不可能性 随机事件概率的大小客观地反映事件随机事件概率的大小客观地反映事件在一次试验中发生的可能性的大小。概率在一次试验中发生的可能性的大小。概率大表示该事件发生的可能性大；概率小，大表示该事件发生的可能性大；概率小，说明该事件发生的可能性小；说明该事件发生的可能性小； 农业研究中多采用农业研究中多采用5%、1%这两个标准这两个标准作为小概率事件。作为小概率事件。&4.2 &4.2 随机变量的概率分布类型随机变量的概率分布类型1 1离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 若随机变量

9、若随机变量X X只取数轴上有限个或无限个子孤立只取数轴上有限个或无限个子孤立x x1 1,x,x2 2,x,x3 3x xn n , ,并且这些值对应的概并且这些值对应的概P P1 1,P,P2 2,P,P3 3P Pn n：即其概率函数为：即其概率函数为： PX=xPX=xi i=p=pi i ,i=1,2,i=1,2,.则称则称X X是离散分布的。是离散分布的。 其中：其中：p pi i0 0 ， ppi i=1=1。它的数字特征：它的数字特征： 表示它的中心位置，表示它的中心位置， 方差方差2 2表示它的分散程度或离中趋势。表示它的分散程度或离中趋势。随机变量的数学期望为随机变量的数学期

10、望为: : =E(X)= x =E(X)= xi i p pi i 方差方差2 2 =V(X)=V(X)2 2连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布 如随机变量可取某一（有限或无限）区间内的如随机变量可取某一（有限或无限）区间内的任何数值，称为连续型随机变量。任何数值，称为连续型随机变量。 连续型的随机变量连续型的随机变量X X的概率分布用的概率分布用X X的概率密度的概率密度函数表示。函数表示。 badxxfbxapba 有：对任意,x x为连续型随机变量，为连续型随机变量，f(x)f(x)称为称为x x的概率密度函数。的概率密度函数。&4.3 &4.3 理论分布理

11、论分布一、一、二项分布二项分布（属离散型分布）（属离散型分布）二、二、泊松分布泊松分布 三、三、正态分布正态分布 1 1、二项分布的定义：、二项分布的定义：一、二项分布（属离散型分布）一、二项分布（属离散型分布）特点：总体特点：总体X只能出现非此即彼两种对立的结果。只能出现非此即彼两种对立的结果。nkqpCkPknkknn,.,2 , 1 , 0,)(假定某事件发生的概率为假定某事件发生的概率为p,不发生的概率为不发生的概率为q，则做，则做n次独立性试验，发生次独立性试验，发生k (0kn)次的概率为：次的概率为：则随机变量则随机变量X服从参数为服从参数为n和和p的二项分布，记为的二项分布，记

12、为XB(n,p).knkmkknnqpmkpmxpc0)3(21212121)5(mmqpmkmpmxmpknkmmkknncknknmkknnqpmkpmxpc)4(2. 2. 二项分布的特点：二项分布的特点：具有概率分布的一切性质：具有概率分布的一切性质：(1) P(x=k)=Pn(k)0(2) 二项分布概率之和等于1二项分布由二项分布由n n和和P P两个参数决定，其特点是：两个参数决定，其特点是：当当P值较小且值较小且n不大时，分布是偏倚的。但随着不大时，分布是偏倚的。但随着n的增大，分布逐渐趋于对称，如的增大，分布逐渐趋于对称，如图图31所示。所示。对于固定的对于固定的n及及p，当，

13、当k增加时，增加时，Pn(k)先随之增加先随之增加并达到某极大值，以后又下降。并达到某极大值，以后又下降。当当P值趋于值趋于0.5时，分布趋于对称，时，分布趋于对称，图图32所示。所示。3.3.二项分布的参数二项分布的参数b.b.二项分布的总体方差二项分布的总体方差: : 2 2 =npq =npq 表示取值的离散度或变异大小表示取值的离散度或变异大小 npqa.a.二项分布的总体平均数二项分布的总体平均数 表示做次独立试验，某事件平均出现的表示做次独立试验，某事件平均出现的次数为次次数为次3.3.二项分布的概率计算应用二项分布的概率计算应用 例例1 1：有一批芽接苗，其成活率为：有一批芽接苗

14、，其成活率为0.850.85，今从中，今从中随机抽取随机抽取6 6株种植，求（株种植，求（1 1）正好有）正好有5 5株成活的概率？株成活的概率？(2)(2)最少有最少有4 4株成活的概率？株成活的概率？(3)(3)最多有最多有4 4株成活的概株成活的概率？率？(4)(4)平均成活数？平均成活数？(5)(5)平均变异？平均变异？ 223500439525015085015085042444004006624464.nnnnxnxxxnbbxnxxxnqpqpqpxpqpxpcccccc 399301508505115566.)( CP（5 5）总体方差）总体方差: : 2 2 =npq =np

15、q=6=60.850.850.15=0.7650.15=0.765 表示成活株数平均差异表示成活株数平均差异0.870.87 87. 0765. 02（4 4）总体平均数）总体平均数npnp=0.85=0.856=5.16=5.1 随机抽随机抽6 6株，平均株，平均5.15.1株成活。株成活。二、泊松分布 泊松分布是一种可以用来描述和分析随机地发生在单泊松分布是一种可以用来描述和分析随机地发生在单位时间或空间里的稀有事件的概率分布。位时间或空间里的稀有事件的概率分布。 例：正常生产线上单位时间生产的不合格产品例：正常生产线上单位时间生产的不合格产品数，每毫升饮水内大肠杆菌数，意外事故，自然数，

16、每毫升饮水内大肠杆菌数，意外事故，自然灾害等。灾害等。当某事件出现的概率当某事件出现的概率p p很小，而试验很小，而试验n n很大时很大时(n(n+ +，p-p-0,np-0,np-时时) )，二项分布，二项分布B(n,p)B(n,p)的极限分布，即泊松分布，记为的极限分布，即泊松分布，记为X XP()P()。 pxekekxpk7182. 2!并记为其中 当二项分布在当二项分布在p0.1和和np5时，可用泊松分布近似。时，可用泊松分布近似。1.泊松分布定义泊松分布定义2.2.特点：特点：2 2其概率分布条形图的形状决定于其概率分布条形图的形状决定于。用用=np=np进行有关计算。进行有关计算

17、。三、正态分布三、正态分布、正态分布定义：、正态分布定义：如果如果n-n-+ +，x xi i无限多，相邻无限多，相邻x xi i间的距离无限小，间的距离无限小，间断性已转变为连续性，其概率函数以转化为间断性已转变为连续性，其概率函数以转化为X X的概率密度的概率密度函数：函数：xexfx,21)(2)(21如果随机变量如果随机变量X X的概率密度函数满足上式，则的概率密度函数满足上式，则称称X X服从正态分布，记为服从正态分布，记为2,NX（1 1）单峰曲线）单峰曲线 （2 2）左右对称（）左右对称（X X）（3 3）在）在x x处曲线各有一拐点处曲线各有一拐点（4 4）曲线图形由）曲线图形

18、由、确定确定（5 5）XX （）（）0 0（6 6）曲线与横坐标所夹的面积等于（）曲线与横坐标所夹的面积等于（100100）2 2、正态分布曲线特点：、正态分布曲线特点： 1 1，+1+1 68.27 68.27 2 2，+2+2 95.4595.45 3 3，+3+3 99.7399.734.4.正态曲线下的面积：（用概率表示）正态曲线下的面积：（用概率表示）在统计推断上国内约定在统计推断上国内约定9595、9999积分算得积分算得 1.961.96，+1.96+1.96 概率为概率为9595 2.582.58，+2.58+2.58 概率为概率为9999在统计学上称两尾的概率之和在统计学上称

19、两尾的概率之和5 5为为5 5的显著水准的显著水准 1 1为为1 1的显著水准的显著水准图示图示 由于正态分布图形随由于正态分布图形随，不同而变，不便不同而变，不便比较，将比较，将X X转化为转化为u u值值: : xxxu即把原正态分布转化为标准正态分布。即把原正态分布转化为标准正态分布。5、正态分布的标准化、正态分布的标准化u称标准正态离差：表示离开平均数称标准正态离差：表示离开平均数 有几个有几个标准差单位。标准差单位。 标准化正态分布函数：标准化正态分布函数：（u） 称为标准化正态分布密度函数，即称为标准化正态分布密度函数，即 =0， =1时的正态分布时的正态分布记作记作N（0，1）22121)(ueu从从N( , 2 )到到 N(0,1),从几何意义上说，仅仅是将从几何意义上说，仅仅是将变量变量x作了横坐标轴的平移和尺度单位的变化。作了横坐标轴的平移和尺度单位的变化。 23572122附表查函数记为标准正态分布概率分布pduexuuuu 12212, 1:,1 , 0uuuuupuuuNu内取值的概率为在则标准正态分布的概率计算：标准正态分布的概率计算：30389. 034. 053. 153. 134. 010468. 0005234. 0256. 2256. 200490. 058