第十一章多元函数积分学

1、第十一章多元函数积分学yxfz，且连续，0yxfxOyDDzV第一节 二重积分的概念与计算 一、二重积分的概念与性质一、二重积分的概念与性质1引例：曲顶柱体的体积引例：曲顶柱体的体积（1）曲顶柱体 以曲面为顶（）以平面上的有界闭域为底，侧面是以的边界线为准线、母线平行于轴的柱面的立体（如图）称为曲顶柱体（2）曲顶柱体的体积如果曲顶柱体的高度不变，则它的体积等于底面积高，但曲顶柱体的顶是曲面，因此不能直接用上面的公式求 例如，级数 的一般项为又如级数的一般项为 简言之，数列的和式称为级数级数.定义定义2 设级数（111）的前项之和为 称Sn为级数的前项部分和前项部分和当依次取1，2，3，时， 4

2、31321211.) 1(1nnun)311ln()211ln() 11ln()11ln(nunnkknnuuuuuS1321新的数列 ， ，数列 称为级数 的部分和数列部分和数列若此数列的极限存在，即 (常数),则S 称为 的和，记作此时称级数 收敛收敛如果数列 没有极限，则称级数 发散发散，这时级数没有和 11uS 212uuSnnuuuS21nS1nnuSSnnlim1nnuSunn11nnunS1nnu当级数收敛时，其部分和 是级数和S的近似值，称 为级数的余项级数的余项，记作 ，即 例例1 判定级数 的敛散性.解解 已知级数的前n项和是：nSnSS nr21nnnnuuSSr) 1(

3、1431321211) 1(11nnnnn因为 ,所以这个级数收敛,其和为1.例例2 判定级数的敛散性)111()3121()211 () 1(1321211nnnnSn111n1111limlimnSnnn111ln211ln11ln11lnnnn解解 已知级数的前n项和是因为 ， 所以这个级数发散.例例3 讨论等比级数（也称几何级数）的敛散性. nnSn1ln11ln211ln11lnnSnnn1lnlimlim1121nnnaqaqaqaaq解解 (1) 前n项和当 时， ，所以级数 收敛，其和当 时， 所以级数 发散.(2) 当 时， 于是 1qqqaaqaqaqaSnnn11121q

4、qaSnn1limqaS11qnnSlim11nnaq1q1q111nnnaaqnaSnnnlimlim所以级数 发散. 当 时， ，其前n项和显然，当n时，Sn没有极限.所以，级数 发散.综上所述，等比级数 ，当 时收敛, 当时发散. 11nnaq1q11111nnnnaaq为偶数时，当为奇数时，当nnaSn011nnaq11nnaq1q1q例如，级数1+2+4+8+2n-1+是公比为2的几何级数, 由于 ，所以级数是发散的级数 是公比为-1的几何级数, 由于 ，所以该级数发散.注意注意 几何级数 的敛散性非常重要.无论是用比较判别法判别级数的敛散性，还是用间接法将函数展开为幂级数，都经常以

5、几何级数敛散性为基础.12 q111nn1q11nnaq例例4 把循环小数 化为分数.解解 把 化为无穷级数这是公比为 的几何级数，由等比数列求和公式63 . 063. 0n1003610036100361003663. 0321001100111001110036nnS所以这个无穷级数的和为 ，即 2数项级数的基本性质数项级数的基本性质 性质性质1 如果级数 收敛，其和为s, k为常数，则级数 也收敛，其和为ks；如果级数 发散，当k0时，级数 也发散.由此可知，级数的每一项同乘以不为零的常数后，其敛散性不变. . 11499361001110036100111001110036limlim

6、nnnnS11411463. 01nnu1nnku1nnu1nnku性质性质2 若级数 与 分别收敛于与 ，则级数 ，收敛于性质性质3 添加、去掉或改变级数的有限项，级数的敛散性不变.性质性质4 若级数 收敛，则对其各项间任意加括号后所得的级数仍收敛，且其和不变.应当注意，性质4的结论反过来并不成立.即如果加括号后级数收敛，原级数未必收敛. . 1nnu1nnv1)(nnnvu1nnu例如级数 （1-1）+（1-1）+（1-1）+显然收敛于零，但级数1+1-1+1-1+却是发散的.性质性质5（两边夹定理） 如果 且 和 都收敛，则 也收敛 nunvnw1nnu1nnw1nnv性质性质6（级数收

7、敛的必要条件） 若级数 收敛，则 例例5判别级数 的敛散性解解 因为所以级数 发散. 例例6判别级数 的敛散性. 1nnu0limnnu12735231nn02112limlimnnunnn112nnn1111121nnnnn解解 级数 与级数 都收敛，故由性质2知，级数 收敛.注意注意 性质6可以用来判定级数发散：如果级数一般项不趋于零，则该级数必定发散.应当看到，性质6只是级数收敛的必要条件，并不是级数收敛的充分条件，也就是说，即使 ，也不能由此判定级数 收敛.下面的例9正说明了这一点： ，但级数 发散. 11121nnn111nnn1111121nnnnn0limnnu1nnu01lim

8、nn11nn例例7 证明调和级数 是发散级数.证证 调和级数部分和 如图，考察曲线 11nnnknkS11 ，所围成的曲边梯形的面 积S与阴影表示的阶梯形面积An之间的关系. 所以，阴影部分的总面积为它显然大于曲边梯形的面积S，即有01, 1,1ynxxxy和nAAAAn1,31,21, 1321nknkkknAA111131211nknnknxdxxAA111111ln|ln1而 ，表明A的极限不存在，所以该级数发散.nn1lnlim二、正项级数及其敛散性二、正项级数及其敛散性如果 0（n=1,2,3），则称级数 为正项级数正项级数 定理定理1 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界

9、.例例1 证明正项级数 是收敛的证证 因为于是对任意的有 nu1nnu0!1! 21! 111!1nnn, 4 , 3 , 221222113211!11nnnn即正项级数的部分和数列有界，故级数 收敛.定理定理2（比较判别法） 设 和 是两个正项级数，且 (1)若级数 收敛，则级数 也收敛； (2)若级数 发散，则级数 也发散. 2221212111!11! 21! 111nnnS3213211211121nn0!1nn1nnu1nnvnnvu 1nnv1nnu1nnu1nnv例例2 讨论 级数 （ ）的敛散性 解解 当 时， ，因为 发散，所以由比较判别法知，当 时，发散.当 时，顺次把

10、级数的第1项，第2项到第3项，4到7项，8到15项，加括号后得它的各项显然小于级数 P11npn0P1Pnnp1111nn1P1PP)15181()71615141()3121(1pppppppp)8181()4141()2121(1pppppp对应的各项，而所得级数是等比级数，其公为 ，故收敛，于是当 时，级数 收敛.综上所述， 级数 当 时发散，当 时收敛.注意注意 级数在判断正项级数的敛散性方面经常用到，因此有关 级数敛散性的结论必须牢记. 31211)21()21(211ppp1211pP1P11npnP11npn1P1PPP 例例3判定级数 的敛散性. 解解 因为级数的一般项 满足而

11、级数是p2的 级数，它是收敛的，所以原级数也是收敛的.411631521nn411nnun214110nnnP例例4 判别级数 的敛散性.解解 因为 而 是由调和级数去掉前两项后所得的级数，它是发散的，所以由比较判别法知级数 发散. 12131nnnn2123113122nnnnnnnun121nn12131nnnn定理定理3（达朗贝尔比值判别法） 设 是一个正项级数，并且 ，则 (1)当 时，级数收敛； (2)当 时，级数发散； (3)当 时，级数可能收敛，也可能发散.例例5 判别下列级数的敛散性 (1) ； (2) 1nnuquunnn1lim1q1q1q1223nnnn1!11nn 解解

12、 (1) 所以级数 发散； (2)所以级数 收敛. 2222121113lim32213limlimnnnnuunnnnnnnnn12311123lim2nn1223nnnn101lim!1limlim1nnnuunnnnn1!11nn要判别一个正项级数是否收敛，通常按下列步骤进行：(1)用级数收敛的必要条件如果 ，则级数发散，否则需进一步判断. (2)用比值判别法 如果 ，即比值判别法失效，则改用比较判别法. (3)用比较判别法用比较判别法必须掌握一些敛散性已知的级数，以便与要判定的级数进行比较，经常用来作为比较的级数有等比级数， 级数等. 0limnnu1lim1nnnuuPP三、交错级数

13、及其敛散性三、交错级数及其敛散性级数 称为交错级数交错级数.定理定理4（莱布尼兹判别法） 如果交错级数 满足莱布尼兹(Leibniz)条件: (1) (2) 则级数 收敛，其和 S ，其余项 ),2,1, 0() 1(11nuunnnn),2,1, 0() 1(11nuunnnn, 3 , 2 , 1,1nuunn0limnnu),2,1, 0() 1(11nuunnnn1unr1nu例例6 判定交错级数 的敛散性.解解 此交错级数 ，满足： (1) ； (2) 由莱布尼兹判别法知级数收敛.四、绝对收敛与条件收敛四、绝对收敛与条件收敛 定义定义3 对于任意项级数 ,若 收敛，则称 是绝绝对收敛

14、对收敛的；若 收敛，而 发散，则称 是条件收条件收敛敛的.nn114131211111,11nununn111nn01limlimnunnn1nnu1nnu1nnu1nnu1nnu1nnu定理定理5 绝对收敛的级数必是收敛的.事实上，如果 收敛， 由于 故从性质1及性质5知 也是收敛的. 例例7 判定级数 的敛散性.解解 因为 ， 而级数 收敛，故由比较判别法可知级数 收敛，从而原级数 绝对收敛.1nnunununu1nnu12sinnnna2sinnna21n121nn12sinnnna12sinnnna例例8 判别级数 的敛散性，说明是否绝对收敛. 解解 因为 故由比值判别法可知级数 收敛

15、，所以原级数 绝对收敛.11131nnnn13131lim331limlim11nnnnuunnnnnnn1113nnnnnu11131nnnn例例9 判别级数 是否绝对收敛. 解解 因为 故由比值判别法可知级数 发散，从而原级数 不是绝对收敛. 11!1nnnnn111lim1lim!11limlim11ennnnnnnuunnnnnnnnnnn11!nnnnnnu!111nnnnn例例10 证明级数 条件收敛. 证证 由莱布尼兹判别法知级数 收敛，而 为调和级数，它是发散的，故所给级数条件收敛.111nnn111nnn11111nnnnn 第二节第二节 幂级数幂级数 一、幂级数的概念一、幂

16、级数的概念1.1.函数项级数函数项级数如果级数 ( 11.2) 的各项都是定义在某个区间I上的函数，则称该级数（）为函数项级数函数项级数，un(x)称为一般项一般项或通项通项.当x在I中取某个特定值 时，函数项级数）就是一个常数项级数.如果这个级数收敛，则称点 为这个级数的一个收敛点收敛点。若发散，则称点 为这个级数的发散点发散点.一个函数项级数的收敛点的全体称为它的收敛域收敛域. 对于收敛域内的任意一个数x，函数项级数成为一个收敛的常数项级 数，因此有一个确定的和 S，在收敛域内，函数项级数的和是 x 的函数 )()()(21xuxuxun0 x0 x0 xS(x)，通常称S(x)为函数项级

17、数的和函数和函数，即 其中 x 是收敛域内的任一点.将函数项级数的前项和记作 ，则在收敛域上有 2.幂级数的概念幂级数的概念 形如 (11.3)()()()(21xuxuxuxSn)(xSn)()(limxSxSnnnnnnnxxaxxaxxaaxxa020201000的函数项级数，称为 的幂级数的幂级数，其中常数 称为幂级数的系数幂级数的系数. 当 0时，（）幂级数变为 (11.4)称为 x 的幂级数的幂级数. (1)幂级数的收敛半径 x 的幂级数各项取绝对值，则得到正项级数0 xx ,210aaana,0 xnnnnnxaxaxaaxa22100由比值判敛法其中 当 时，若 ，即 ，则级数

18、(11.4)收敛，若 即 ，则级数（）发散.这个结果表明，只要 就会有一个对称开区间（-，），在这个区间内幂级数绝对收敛，在这个区间外幂 nnnnnxaxaxaaxa22100 xxaaxaxauunnnnnnnnnnn1111limlimlimnnnaa1lim01xRx11xRx10RR级数发散，当 x =R 时，级数可能收敛也可能发散.称 为幂级数（）的收敛半径收敛半径.当 时， ，则级数（）对一切实数 x都绝对收敛，这时收敛半径 . 如果幂级数仅在 x0一点处收敛，则收敛半径R0. 定理定理1 如果x的幂级数（）的系数满足 则 (1)当 时， 1R010 xRnnnaa1lim01R

19、(2)当 时， (3)当 时， (2)幂级数的收敛区间 若幂级数(11.4)的收敛半径为 R，则（-R，R）称为该级数的收敛区间，幂级数在收敛区间内绝对收敛，把收敛区间的端点xR 代入级数中，判定数项级数的敛散性后，就可得到幂级数的收敛域.0R例例1求下列幂级数的收敛半径及收敛域 (1) (2) (3)解解 (1) 因为 所以幂级数的收敛半径 .所以该级数的收敛域为（-，+）；0!nnnx1nnnx1nnnxn011lim!1!limlim1nnnaannnnnR (2)因为 所以所给幂级数的收敛半径R=1.因此该级数的收敛区间为（-1，1）当x1时，级数为调和级数，发散 ；当x=-1时，级数

20、为交错级数，收敛 故该级数的收敛域为 -1,1) . 11limlim1nnaannnn11nn1) 1(nnn(3) 因为所以所给幂级数的收敛半径 .因此没有收敛区间，收敛域为 ，即只在 处收敛.111lim1limlim11nnnnaannnnnnnn0R0|xx0 x例例2 求幂级数 的收敛半径解解 所给级数缺少偶次方项，根据比值法求收敛半径 当 ，即 时，所给级数绝对收敛；当，即 时，所给级数发散. 因此，所给级数的收敛半径 .0122nnnx2212121122lim22limlimxxxxuunnnnnnnnn122x22x122x22x22R二、幂级数的性质二、幂级数的性质性质性

21、质1 幂级数的和函数在收敛区间内连续，即若 ，x（-R，R）则 在收敛区间内连续. 性质性质2 设 记 ，则在（-R,R）内有如下运算法则： (1)加（减）法运算 0nnnxfxa xf ,;,0110nnnnnnxgxbRRxxfxa22,RRx21,minRRR 000nnnnnnnnnxgxfxbaxbxan(2)乘法运算 性质性质3（微分运算） 设 ，收敛半径为 R ，则在 （-R , R）内这个级数可以逐项求导，即且收敛半径仍为 R . 00nnnnnnxbxa2021120011000)()(xbababaxbababannnnxbababa)(0110 xgxf 0nnnxSxa

22、 xSxnaxaxannnnnnnnn0100性质性质4（积分运算）设 ，收敛半径为 R ，则在（-R ,R）内这个级数可以逐项积分，即且收敛半径仍为.例例3 已知 ，利用逐项积分的性质，可以得到 0nnnxSxa 00100001nxnnnxnnxnnndxxSxnadxxadxxa1 , 11112nxxxxxxndxxxxxdxx002111ln当 x = -1 时， 收敛； 当 x = 1 时， 发散.故收敛域为-1,1) ，即13121132nxxxxn111312111nnn131211) 1 , 1132)1ln(132nxxxxxn例例4 求 的和函数 解解 设 两端求导得 两

23、端积分得即 0121211nnnxn 012121) 1(nnnxnxS 1 , 1,11120202xxxxxSnnnn 1 , 1,arctan1102xxdxxxSx1 , 1,arctan1211012xxxnnnn 当 x = -1时， 收敛； 当 x = 1时， 收敛， 所以 12110nnn12110nnn1 , 1,arctan1211012xxxnnnn三、将函数展开成幂级数三、将函数展开成幂级数 1泰勒公式与麦克劳林公式泰勒公式与麦克劳林公式(1) 泰勒公式定理定理2（泰勒中值定理） 如果函数 f(x) 在x0 的某邻域内有直至 n+1阶导数，则对此邻域内任意点x，有 的

24、n 阶泰勒公式 )(xf 200000! 2! 1xxxfxxxfxfxf xRxxnxfnnn00!成立，其中 为阶泰勒公式的余项，当 时，它是比 高阶的无穷小，余项 的拉格朗日型表达式为 (2) 麦克劳林公式在泰勒公式中当时，则有麦克劳林公式 xRn0 xx nxx0)(xRn )(!10101之间与在xxxxnfxRnnn xRxnfxfxffxfnnn!0! 20! 1002其中， 2、泰勒级数与麦克劳林级数、泰勒级数与麦克劳林级数设 f(x)在所讨论的邻域内具有任意阶导数 称级数 之间与在xfnxxRnnn0,!111200000)(! 2)( )( )(xxxfxxxfxf ),(

25、,),(),( xfxfxfn )6 .11()(!)(00nnxxnxf为 在 处的泰勒级数，其系数 称为 在 处的泰勒系数.其前 n+1项和 由泰勒公式得：)(xf0 xx ,!)(,! 2)( ),( ),(0000nxfxfxfxfn)(xf0 x2000001)(! 2)( )( )()(xxxfxxxfxfxSnnnxxnxf)(!)(00)()()(1xRxSxfnn因此当 时，必有 即泰勒级数收敛，其和函数为 .反之，如果级数收敛于 于是得到下面的定理. 0)(limxRnn)(0)()()(lim)(lim1xfxfxRxfxSnnnn)(xf0)()()()(lim)(li

26、m1xfxfxsxfxRnnnn 定理定理3 如果在 的某个邻域内，函数 具有任意阶导数，则函数 的泰勒级数（）收敛于 的充分必要条件是： 当 时泰勒余项 如果 在 处的泰勒级数收敛于 ，就说 在 处可展开称泰勒级数，则(11.6)式为 在 处的泰勒展开式，也称 关于 的 幂级数，也记为 0 xx )(xf)(xfn0)(xRn)(xf0 xx )(xf)(xf0 xx )(xf0 xx )(xf)(xf0 xxnnnxxnxfxf)(!)()(000)(当 时，（）式成为称为函数 f (x) 的麦克劳林展开式，也记为00 x ,!)0(! 2)0( )0( )0()(2nnxnfxfxffx

27、fnnnxnfxf0)(!)0()(3、将函数展开成幂级数的方法、将函数展开成幂级数的方法 (1)直接展开法 把 f (x)展开成的幂级数，可按下列步骤进行：求出f (x) 的各阶导数 计算f (x) 及其各阶导数在x0处的值， ),(),( ),( xfxfxfn ),0(,),0( ),0( ),0(nffff 写出幂级数 并求出它的收敛区间；考察当x在收敛区间内时，余项 的极限是否为零，如果为零，则由上式所求得的幂级数就是f (x) 的幂级数的展开式. nnxnfxfxff!)0(! 2)0( )0( )0(2)(nnxR 例例1 将函数 展开成 x 的幂级数 解解 因为 n=1，2，3

28、，所以， n =1，2，3， 又, f (0)=1因此得级数 ，它的收敛区间为 . 对于任何实数 x，有 xey xnexf 10 nf! 3! 2132nxxxxn),( 1!1nnxnexR之间与在x0 1!1nxnxnexR因 是收敛级数 的通项，所以 而 是有限正实数，因此 即 ,因此从而得到 的幂级数展开式 !11nxn01!1nnnx0!1lim1nxnnxe0!1lim1nxnxne 0limxRnn 0limxRnnxe032),(! 3! 21nnnxnxnxxxxe例例2 将函数 展开成x的幂级数 解解 因为 ，n1，2，3 而f(n)(0)顺次循环取四个数1，0，-1，0

29、，所以得级数对于任何有限实数， xxfsin 2sinnxxfn0)0(f!121! 5! 31253nxxxxnn!121120nxnnn, 1!121sinnnxnnxR之间与在x0于是得的幂级数展开式类似地，还可以得到下述函数的幂级数展开式： （-1，1） )(0!11nnxxRnn01212753!121!121! 7! 5! 3sinnnnnnnxnxxxxxx),(nxxxx2111当m为实数时， 它的收敛半径R=1，在 处展开式是否成立，要根据m的数值，看右端级数是否收敛而定.例如 当m =-1时 (-1,1)32! 321! 2111xmmmxmmmxxmnxnnmmm!111

30、xnnxxxxx111132(2)间接展开法 间接展开法是指从已知函数的展开式出发，利用幂级数的运算规则得到所求函数的展开式的方法. 例例3 将函数 展开成x的幂级数 解解 已知 （-，+） xxfcos)(!121! 7! 5! 3sin12753nxxxxxxnn!121120nxnnn而 利用逐项求导公式，得到 （-，+）sincosxx !21! 8! 6! 4! 21cos28642nxxxxxxnn02!21nnnnx 例例4 将函数 展开成x 的幂级数 解解 已知 （-1，1）将上式从0到 x 逐项积分，得到 xxf1ln03211111nnnnnxxxxxx114321ln14

31、32nxxxxxxnn1111nnnnx这个级数的收敛半径R=1当x1时，右端级数成为这个级数是收敛级数.当x-1时，右端级数成为 这个级数是发散级数.因此 nn1141312111n14131211nxxxxxxnn 143214321ln 1,1() 1(11nxnnn四、幂级数的应用四、幂级数的应用 1.函数值的近似计算函数值的近似计算例例5 计算的 e 近似值解解：e 的值就是函数e 的展开式在x=1时的函数值，即 e取e则误差x0,!1! 2111!1nnn0,!1! 2111!1nnn)!(1)!2(1!11knnnRn1) 1()!1(1) 1()!1(1)!1(1knnnnn1

32、2) 1(1) 1(1111)!1(1knnnn,!11111)!1(1nnnn故若要求精确到 ，则只需 即 即可.例如要精确到 ，由于 ，所以取 即e 读者可以在计算机上求此值 (e ). 例例6 制作四位正余弦函数表 解解 由于 只需制作 的正余弦表就行了. k10,10!1knnknn10!101010101010813!1313n!131! 31! 21115907182818284. 2,sin)2cos(,cos)2sin(aaaa450 我们使用正余弦的展开式.注意这两个级数都是满足莱布尼茨条件的交错级数,去掉前若干项之后剩余项仍为满足莱布尼茨条件的交错级数.由莱布尼茨判定定理就

33、可知,若取这两个级数的前若干项作为近似时,误差不超过所弃项中的第一项.因为所以要作 的四位正余弦表只需要取到至多 项,即取 作表时须注意x以弧度为单位. ,000037. 0! 7)4(! 8)4(78.! 6! 4! 21cos,! 5! 3sin64253xxxxxxxx4506x2.求极限求极限 例例7 求 解解 把 cosx 和 的幂级数展开式代入上式，有.ecoslim4202xxxx22ex4242420420)2221 ()2421 (limecoslim2xxxxxxxxxx.121121lim440 xxx 第三节第三节 傅里叶级数傅里叶级数 在本节中，将讨论另一类重要的、应

34、用广泛的函数项级数三角级数. 三角级数也称为傅里叶（傅里叶（Fourier）级）级数数.所谓三角级数三角级数，就是除常数项外，各项都是正弦函数和余弦函数的级数，它的一般形式为 (1)其中 都是常数，称为系数系数.特别当 时，级数只含正弦项，称为正正弦级数弦级数.当 时， 级数只含常数项和 , )sincos(210nxbnxaannn),2,1(,0nbaann),2,1,0(0nan),2,1(0nbn余弦项，称为余弦级数余弦级数.对于三角级数，我们主要讨论它的收敛性以及如何把一个函数展开为三角级数的问题.一、以一、以 为周期的函数展开为傅里叶级数为周期的函数展开为傅里叶级数 由于正弦函数和

35、余弦函数都是周期函数，显然周期函数更适合于展开成三角级数.设 f (x)是以 为周期的函数，所谓的傅里叶（傅里叶（Fourier）级）级数展开数展开就是寻找一个三角级数22使得该级数以 f (x)为和函数，即 f (x)=先解决这样的问题：如果以 为周期的函数可表为式（1）所示的三角级数，那么如何确定 和 .为了求出这些系数，先介绍下列内容.1三角函数系的正交性三角函数系的正交性在三角级数（1）中出现的函数 （2） ,)sincos(210kxbkxaakkk,)sincos(210kxbkxaakkk2nanb,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx构成了一

36、个三角函数系三角函数系，这个三角函数系有一个重要的性质，就是定理定理1（三角函数系的正交性）三角函数系（2）中任意两个不同函数的乘积在 上的积分等于0，具体的说就是有, ),3,2,1(0cosnnxdx, ),3,2,1(0sinnnxdx, ),3,2,1,(0cossinnknxdxkx这个定理的证明很容易，只要把这五个积分实际求出来即.2. f (x) 的傅里叶级数的傅里叶级数为了求（1）式中的系数，利用三角函数系的正交性，假设（1）式是可逐项积分的，把它从 到 逐项积分： 由定理1，右端除第一项外均为0，所以, ),3,2,1,(0coscosnknknxdxkx, ),3,2,1,

37、(0sinsinnknknxdxkx,)sincos(2)(10kxdxbkxdxadxadxxfkkk002)(adxadxxf于是得 为求 ，先用 乘以（）式两端，再从 到 逐项积分，得由定理1，右端除 k=n 的一项外均为 0，所以于是得 dxxfa)(10nanxcos, )cossincoscos(cos2cos)(10nxdxkxbnxdxkxanxdxanxdxxfkkknnanxdxanxdxxf2coscos)(. ),3,2, 1(cos)(1nnxdxxfan类似地，用 sinnx乘以（）式两端，再从 到 逐项积分，可得用这种办法求得的系数成为 f (x)的傅里叶系数傅里

38、叶系数. 综上所述，我们有定定 定理定理2 求f (x)的傅里叶系数的公式是 (3). ),3,2, 1(sin)(1nnxdxxfbn. ),2, 1,0(sin)(1, ),2, 1,0(cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann由 f (x) 的傅里叶系数所确定的三角级数 成为f (x) 的傅里叶级数傅里叶级数. 显然，当f (x)为奇函数时，公式（3）中的 ，当为偶函数时，公式（3）中的 所以有推论推论 当f (x)是周期为 的奇函数时，它的傅里叶级数为正弦级数 其中系数 , )sincos(210nxbnxaannn0na. 0nb2,sin1nxbnn, ),3,2, 1(s

39、in)(20nnxdxxfbn 当 f (x) 是周期为 的偶函数时，它的傅里叶级数为余弦级数 其中系数 3. 傅里叶级数的收敛性傅里叶级数的收敛性上述 定理定理3（收敛定理）设 以 为周期的函数f (x)在 上满足狄利克雷(Dirichlet)条件：（1）没有断点或仅有有限个第一类间断点；（2）至多只有有限个极值点，则 f (x)的傅里叶级数收敛，且有：2nxaanncos210. ),3,2, 1(cos)(20nnxdxxfan2,（1）当x是的连续点时，级数收敛于f (x)；（2）当x是的间断点时，级数收敛于这一点左右极限的算术平值 例例1 正弦交流I(x)=sinx电经二极管整流后（

40、图 11-2）变为 为整数， 把 f (x)展开为傅里叶级数.2)()(00 xfxfkkxkxkxkxf,) 12(2,sin,2) 12(,0)( 图图 11-2解解 由收敛定理可知，f (x) 的傅里叶级数处处收敛于f (x).计算傅里叶系数： 所以，f (x)的傅里叶展开式为 （- x +.,2sin1)(100dxxdxxfanxdxxfancos)(1为偶数为奇数nnnnxdxx,) 1(2,0cossin120, 1,21, 1,0sinsin1sin)(10nnnxdxxnxdxxfbn142cos356cos154cos32cos2sin211)(2kkxxxxxxf例例2

41、一矩形波的表达式为求 f (x) 的傅里叶展开式. 解解 由收敛定理知，当 时，的傅里叶级数收敛于 f (x) .当 时，级数收敛于 又因为 f (x) 奇函数，由定理2的推论可知展开式必为正弦级数，只需按推论的公式求 即可.为整数，kkxkkxkxf,) 12(2, 1,2) 12(, 1)(为整数）kkx(kx .02) 1(1nb所以，的傅里叶展开式为,0,4sin12sin)(200为偶数当为奇数当nnnnxdxnxdxxfbn12) 12sin(55sin33sinsin4)(kxkxxxxf.,(为整数）kkx4. 或或 上的函数展开成傅里叶上的函数展开成傅里叶级数级数求 f (x) 的傅里叶系数只用到 f (x) 在 上的部分，即 f (x) 只在 上有定义或虽在 外也有定义，但不是周期函数，仍可用公式（）求 f (x)的傅里叶系数，而且如果f (x) 在 上满足收敛定理条件，则 f (x) 至少在 内的连续点