小学奥数总复习教程(上)(小升初必备资料)ppt课件

1、. 知识点梳理基本步骤：1、确定单位“1”， 2、准确找出“量与“率之间的对应关系， 3、确定乘除法， 4、统一单位“1”。 在题目中常常出现几个不同的单位“1”，这时需要将它们转化为统一的单位“1”，以便于比较和发现数量关系。.典型例题精讲典型例题精讲例例1. 妈妈买来一桶油，第一次倒出全部的妈妈买来一桶油，第一次倒出全部的 ，第二次倒出余，第二次倒出余下的下的 ，还剩下，还剩下6千克，求这桶油原来共有多少千克？千克，求这桶油原来共有多少千克？3141.解解 析析 整体对应式：6千克+第一次倒的 + 余下的 “1” 第一次倒出 ，单位“1是这桶油 第二次倒出余下的 ，单位“1是(1- )=

2、的 即是全部的 = 解：61 （1 ） =12千克） 答：这桶油原来12千克。31413132613141324131314141.例2. 甲校人数是乙校人数的 ，乙校人数是丙校人数的 ，甲校比丙校少450人，求三校各有多少人？5475.解解 析析 统一单位“1”，抓住中间量“乙”。甲校人数是乙校人数的 ，单位“1是“乙”，乙校人数是丙校人数的 ，单位“1是“丙”， 可以转化为，丙是乙的 。 乙：450（ ）=750人） 甲：750 =600人） 丙：750 =1050人） 54755757545457.例例3. 商店运来白菜和土豆共商店运来白菜和土豆共630千克，运来白菜的千克，运来白菜的

3、与土豆的与土豆的 一样多，商店运来白菜、土豆各多少千克？一样多，商店运来白菜、土豆各多少千克？11452.解解 析析 方法一：按比分配解决 白菜 =土豆 白菜 =土豆 白菜 : 土豆=11 : 10 白菜：630（11+10)11= 330千克） 土豆：630-330=300千克）1145211441141152.方法二：统一单位方法二：统一单位“1” 以白菜为单位以白菜为单位“1”，土豆是白菜的，土豆是白菜的 = 630（1+ ）=330千克）千克） 630 -330=300千克）千克） 答：运来白菜答：运来白菜330千克，土豆千克，土豆300千克。千克。1145211101110. 例4.

4、新光小学有音乐、美术和体育三个特长班，音乐班人数相当于另外两个班的 ，美术班人数相当于另外两个班的 ，体育班有58人，音乐和美术各有多少人？5273.解解 析析 2+5=7 3+7=10解答：58（1 - - ）=140人） 140 =40人） 140 =42人） 答：音乐班40人，美术班42人。7210372103.例例5. 甲乙两户共养鸡甲乙两户共养鸡2700只，如果甲卖出所养鸡只，如果甲卖出所养鸡的的 ，乙卖出，乙卖出300只，则只，则两户余下的只数相等，两户余下的只数相等，两户各养鸡多少只？两户各养鸡多少只？52. 解解 析析看图分析.解解 答答 2700-300=2400只） 1-

5、= 2400（1+ ）=1500只) 2700-1500=1200只) 答：甲户养鸡1500只，乙户养鸡1200只。525353甲户养鸡甲户养鸡:乙户养鸡乙户养鸡:.例例6. 兄弟四人合修一条路，结果老大修了另外三人总数的一半，兄弟四人合修一条路，结果老大修了另外三人总数的一半，老二修了另外三人总数的老二修了另外三人总数的 ，老三修了另外三人总数的，老三修了另外三人总数的 ，老，老四四 修了修了91米，问这条路长多少米？米，问这条路长多少米？3141.解解 析析统一单位：以总路程为单位“1” 老大修了总路程的 老二修了总路程的 老三修了总路程的 =420千米） 答：这条路长420米。31211

6、4131151411）（51-41-31-191.例例7. 哥哥和弟弟共有人民币哥哥和弟弟共有人民币108元，哥哥用去自己元，哥哥用去自己钱数的钱数的75，弟弟用去自，弟弟用去自己钱数的己钱数的80，两人所剩，两人所剩的钱正好相等，哥哥原来的钱正好相等，哥哥原来有多少钱？有多少钱？.解 析 哥哥的钱（1-75%）=弟弟的钱（1-80%） 哥哥的钱25%=弟弟的钱20% 哥哥的钱：弟弟的钱=4:5 哥哥：10.8（4+5）4=4.8元） 弟弟：10.8-4.8=6元） 答：哥哥原来有4.8元钱。.解决分数百分数应用题的基本步骤解决分数百分数应用题的基本步骤 1.要找准单位“1”2.是要看所给“量

7、”3.要决定乘除法4.是乘法知道“1” 5.要除法求出“1” 6.是“量”“率要对应 特别提示：画线段图是解题的关键，画图时，要先画单位“1”.典型例题精讲典型例题精讲例例1 .小强和小明各有图书若干本。已知小强的图书本数占两人图书小强和小明各有图书若干本。已知小强的图书本数占两人图书总数的总数的60%，当小强借给小明，当小强借给小明20本后，小强和小明图书本数的比是本后，小强和小明图书本数的比是2：3。两人一共有图书多少本？。两人一共有图书多少本？.解析解析 小强借给小明20本之前； 小强和两人图书的本数比是: 60%=3:5 小强借给小明20本之后； 小强和两人图书的本数比是: 2+3=5

8、 2:5 20（3-2）=20本） 共有书：205=100本）.例例2. 一批葡萄运进仓库时的质量是一批葡萄运进仓库时的质量是100千克，测得千克，测得含水量为含水量为99%，过一段时间，测得含水量为，过一段时间，测得含水量为 98%，这时葡萄的质量是多少千克？这时葡萄的质量是多少千克？.解析解析 刚进来时，100千克葡萄含水量99% ，葡萄干的含量是1-99%=1%， 1001%=1千克） 过一段时间后，测得含水量为 98%，葡萄干的含量是1-98%=2%，葡萄干的质量不变，12%=50千克） 答：这时葡萄的质量是50千克。.例例3. 某校六年级上学期男生占总人数的某校六年级上学期男生占总人

9、数的54，本学，本学期转进期转进3名女生，转走名女生，转走3名男生，这时女生占总人名男生，这时女生占总人数的数的48。现在有男生多少人？。现在有男生多少人？.解析解析方法一：男生人数和女生人数都在变，只有六年级的总人方法一：男生人数和女生人数都在变，只有六年级的总人 数不变，数不变，本学期转进本学期转进3名女生，转走名女生，转走3名男生之前，男生占总人数名男生之前，男生占总人数 的的54%，转走之后男生占总人数的转走之后男生占总人数的1-48%=52% 总人数：总人数： 3（54%-52%）=150人）人） 现在男生：现在男生：15052%=78人）人）.解析解析方法二：用比例解决方法二：用比

10、例解决 解设：六年级有学生解设：六年级有学生X人，男生人，男生54%X,女生女生46%X. (54%X-3）：（）：（46%X+3）=52%：48% 200X=30000 X=150 现在有男生：现在有男生：15052%=78人）人）.知识点梳理 解答行程问题的基础，在于正确理解并掌握速度、时间、路程三种量之间的如下关系： 路程 = 速度时间 S= VT 时间 = 路程速度 T=SV 速度 = 路程时间 V=ST 相遇问题是行程问题中的一种类型，解答相遇问题要紧紧抓住“速度和这个关键条件。相遇问题的基本关系是： 速度和相遇时间 = 路程 路程 速度和 = 相遇时间 路程 相遇时间 =速度和 速

11、度和一甲速度 =乙速度.典型例题精讲典型例题精讲例例1. 甲、乙两列火车从相距甲、乙两列火车从相距824千米的两城相向出发，千米的两城相向出发，6小时小时以后还相差以后还相差200千米没相遇，千米没相遇，甲车每小时行甲车每小时行48千米，求乙千米，求乙车每小时行多少千米？车每小时行多少千米？.解析解析 824-200=624千米） 6246=104千米） 104-48=56千米）答：乙车每小时行56千米。.例例2.甲、乙两辆汽车同时从甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车两地相向开出，甲车每小时行每小时行56千米，乙车每小时行千米，乙车每小时行48千米，两车在距千米，两车在距中点中点32

12、千米处相遇千米处相遇,求求A、B两地间的距离是多少千两地间的距离是多少千米？米？.解析解析 甲、乙两车的速度差：56-48=8千米） 甲、乙两车的路程差：322=64千米） 甲、乙两车的相遇时间：648=8小时） A、B两地间的距离：（56+48）8=832千米） 答：A、B两地间的距离是832千米。.例例3. 甲村，乙村相距甲村，乙村相距6千米，小张和小王分别从甲、乙两村同时千米，小张和小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走到达另一个村后马上返回）。出发，在两村之间往返行走到达另一个村后马上返回）。在出发后在出发后40分钟两人第一次相遇，小王到达甲村后返回，在分钟两人第一次相遇，小

13、王到达甲村后返回，在离甲村离甲村2千米的地方两人第二次相遇，问小王和小张的速度各千米的地方两人第二次相遇，问小王和小张的速度各是多少？是多少？.看图解析看图解析 .解答解答二次相遇，小张和小王一共行了三个全程：63=18千米行驶一个全程用40分钟，行驶三个全程共403=120分=2小时小王行驶的路程是6+2=8千米，用2小时，小王速度是：82=4千米小张2小时行驶18-8=10千米，小张的速度是：102=5千米。 答：小王速度的速度是每小时行驶 4千米，小张的速度是每小时5千米。.例例4.甲、乙两人分别同时从甲、乙两人分别同时从A、B两地相向而行，相遇两地相向而行，相遇时距时距A地地120米，

14、相遇后，他们继续前进，到达目米，相遇后，他们继续前进，到达目的地后立即返回，在距的地后立即返回，在距B地地150米处再次相遇，求米处再次相遇，求A、B两地之间的距离。两地之间的距离。.看图解析看图解析甲、乙二人两次相遇一共走了三个全程。第一次相遇距离A地120米，说明甲乙走一个全程时，甲走120米，速度不变，走三个全程，甲共走1203=360米。走一个全程多150米 。 360-150=210米 答:求A、B两地之间的距离是210米。.例例5. A、B是圆的直径的两端点，甲在是圆的直径的两端点，甲在A点，乙在点，乙在B点同时出发反向而行，他点同时出发反向而行，他们在们在C点第一次相遇，点第一次

15、相遇，C点离点离A点有点有80米，在米，在D点第二次相遇，点第二次相遇，D点离点离B点有点有60米，求这个圆的周长米，求这个圆的周长? .看图解析看图解析甲、乙二人走半个圆时，第一次相遇，甲走80米，相遇后，又走一个圆，二次相遇，共走3个半圆，甲走803=240米，走了一个半圆多60米，所以半圆长240-60=180米，圆周长1802=360米.例例6.小张与小王分别从甲乙两地同时出发，在两地之间往返行驶小张与小王分别从甲乙两地同时出发，在两地之间往返行驶到达另一地后就立即返回），他们在离甲地到达另一地后就立即返回），他们在离甲地3.5千米处第一千米处第一次相遇，在离乙地次相遇，在离乙地2千米

16、处第二次相遇。问他们两人第四次相千米处第二次相遇。问他们两人第四次相遇的地点离乙地多远？（相遇指迎面相遇）遇的地点离乙地多远？（相遇指迎面相遇）.看图解析看图解析. 解答二次相遇时，小张行了:3.53=10. 5千米相距:10.5-2=8. 5千米 两人第四次相遇,共行24-1=7个全程 小张行了:3.57=24.5千米 24.58.5=2个全程余7.5千米即第四次相遇时,小张行了两个全程多7.5千米，第四次相遇点与乙的距离:8.5-7.5=1千米.例例7. 甲、乙、丙三人步行的速度分别是：每分钟甲走甲、乙、丙三人步行的速度分别是：每分钟甲走90米，乙米，乙走走75米，丙走米，丙走60米。甲、

17、丙从某长街的西头、乙从该长街的米。甲、丙从某长街的西头、乙从该长街的东头同时出发相向而行，甲、乙相遇后恰好东头同时出发相向而行，甲、乙相遇后恰好4分钟乙、丙相遇，分钟乙、丙相遇，那麽这条长街的长度是多少米？那麽这条长街的长度是多少米？.看图解析看图解析甲、丙的路程差：（60+75）4=540米 甲、丙速度差： 90-60=30米甲乙相遇时间： 54030=18分全长：（90+75）18=2970米 .例例8. 甲、乙两车分别从甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，出发时，甲两地同时出发相向而行，出发时，甲和乙的速度比是和乙的速度比是5:4，相遇，相遇 后，甲的速度减少后，甲的速度减少20

18、%，乙的速度增，乙的速度增加加20%，这样，当甲到达，这样，当甲到达B地时，乙离地时，乙离A地还有地还有10千米，那么千米，那么A、B两地相距多少千米？两地相距多少千米？.知识点梳理知识点梳理 运动的物体或人同向而不同时出发，或不同地点出发，后出发的速度快，经过一段时间追上先出发者。这样的问题叫做追及问题。 追及问题的三要素：“追及路程”、“速度差和追及时间。追及问题的基本关系是： 追及路程速度差追及时间 速度差追及时间追及路程 追及路程追及时间速度差.典型例题精讲典型例题精讲例例1. 妹妹以每分钟妹妹以每分钟40米的速度从家步行去学校，哥哥比她晚米的速度从家步行去学校，哥哥比她晚8分钟骑自行

19、车从家出发去追妹妹，哥哥每分钟骑行分钟骑自行车从家出发去追妹妹，哥哥每分钟骑行200米，米，哥哥几分钟可以追上妹妹？哥哥几分钟可以追上妹妹？.解析解析 路程差：408320米） 解：320（200-40）2分钟） 答：哥哥2分钟可以追上妹妹。.例例2. A、B两地相距两地相距1200米。甲、乙两个人分别从两地同时出发。米。甲、乙两个人分别从两地同时出发。若相向而行，若相向而行，8分钟相遇；若同向行走，分钟相遇；若同向行走，60分钟甲可以追上分钟甲可以追上乙。甲从乙。甲从A地走到地走到B地要用多长时间？地要用多长时间？.解解 析析.例例3.两条公路呈十字交叉。甲从十字路口南两条公路呈十字交叉。甲

20、从十字路口南1350米处向北直行，米处向北直行，乙从十字路口处向东直行。同时出发乙从十字路口处向东直行。同时出发10分钟后，二人离十字分钟后，二人离十字路口的距离相等；二人仍保持原来速度直行，又过了路口的距离相等；二人仍保持原来速度直行，又过了80分钟，分钟，这时二人离十字路口的距离又相等。求甲、乙二人的速度。这时二人离十字路口的距离又相等。求甲、乙二人的速度。.解解 析析 速度和：135010=135米） 速度差：135090=15米） 甲的速度：（135+15）2=75米） 乙的速度：135-75=60米） 答：甲、乙二人的速度分别是每分钟走75米和60米。.例例4.4.上午上午8 8时时

21、8 8分，小明骑自行车从家里出发。分，小明骑自行车从家里出发。8 8分钟后，爸爸分钟后，爸爸骑摩托车去追他。在离家骑摩托车去追他。在离家4 4千米的地方追上了他，然后爸爸千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家。到家后他又立即回头去追小明。再追上他的时立即回家。到家后他又立即回头去追小明。再追上他的时候，离家恰好是候，离家恰好是8 8千米，这时是几时几分？千米，这时是几时几分？.解解 析析小明8:08从家出发 爸爸8:16从家出发 爸爸的速度是小明的几倍：（48）43爸爸走4千米所需的时间：8（3-1）4分钟）爸爸的速度：441千米/时） 解：爸爸所用的时间：（448）116分钟） 161632分

22、钟） 答：这时是8时32分。.例例5. 从时针指向从时针指向4点开始，在经过多点开始，在经过多少分钟时针正好与分针重合？少分钟时针正好与分针重合？看图分析看图分析.例例6. 马路上有一辆身长为马路上有一辆身长为15米的公共汽车，由东向西行驶，车速米的公共汽车，由东向西行驶，车速为为18千米千米/小时。马路边的人行道上有甲、乙两个人在练长跑、小时。马路边的人行道上有甲、乙两个人在练长跑、甲由东向西跑，乙由西向东跑。某一刻，汽车追上了甲，甲由东向西跑，乙由西向东跑。某一刻，汽车追上了甲，6秒秒后汽车离开了甲。半分钟后，汽车遇上了迎面跑来的乙，又过后汽车离开了甲。半分钟后，汽车遇上了迎面跑来的乙，又

23、过了了2秒，汽车离开了乙，问，再多少秒后，甲乙两个人相遇。秒，汽车离开了乙，问，再多少秒后，甲乙两个人相遇。.看图解析看图解析.解析解析先把“车速化为每秒1810003600=5米）甲的速度为每秒：5-156=2.5米）乙的速度为每秒：152-5=2.5米）汽车离开乙时，甲、乙两人之间相距：（5-2.5）（0.5602）=80米） 甲、乙相遇时间：80（2.52.5）=16秒）.例例7. 如图如图,一个圆周长为一个圆周长为90厘米，厘米，3个点把个点把这个圆周三等分，这个圆周三等分，3只爬虫只爬虫A、B、C分分别在这别在这3个点上，它们同时出发，按顺个点上，它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬

24、行。时针方向沿着圆周爬行。A的速度是的速度是10厘米厘米/秒，秒，B的速度是的速度是5厘米厘米/秒，秒，C的速的速度是度是3厘米厘米/秒，秒，3只爬虫出发后多少时只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？间第一次到达同一位置？.解解 析析 A第一次和B相遇时间：30(10-5)=6秒， 以后每次相遇时间为 90(10-5)=18秒， 所以A、B相遇的时间6,24,42,60,78,96,114,132,。 B第一次和C相遇时间：30(5-3)=15秒, 以后每次相遇时间为 90(5-3)=45秒, 所以B、C相遇的时间为15,60,105。 所以3只爬虫出发后60秒第一次到达同一位置。.例例8.

25、快、中、慢三辆汽车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶快、中、慢三辆汽车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面一个骑自行车的人，这三辆车分别用前面一个骑自行车的人，这三辆车分别用6分钟、分钟、10分钟、分钟、12分钟追上骑车人。现在知道快车每分钟行分钟追上骑车人。现在知道快车每分钟行400米，中车每分钟米，中车每分钟行行320米，那么，慢车每分钟行多少米？米，那么，慢车每分钟行多少米？.看图分析看图分析.解析解析解设：骑自行车人的速度是每分钟X米。 4006-6X=32010-10X X=200 追及路程：4006-2006=1200米 慢车和骑自行车人的速度差：120012=100米 慢车的速

26、度：200+100=300米 答：慢车每分钟行300米。 .第十六讲行程问题-流水行船.知识点梳理知识点梳理（一基本概念船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。 古语：“逆水行舟不进则退” 船速：是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程 。 水速：是指水在单位时间里流过的路程 。顺水速度和逆水速度：分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。 . (二计算公式二计算公式流水行船问题，是行程问题中的一种 。三个量速度、时间、路程）流水行船问题还有以下两个基本公式：顺水速度=船速+水

27、速1） 逆水速度=船速-水速.（2） 由公式1得：水速=顺水速度-船速，船速=顺水速度-水速由公式2可以得到：水速=船速-逆水速度，船速=逆水速度+水速。已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式1和公式2） 得到： 船速=（顺水速度+逆水速度）2，水速=（顺水速度-逆水速度）2。.典型例题精讲典型例题精讲例例1. 甲、乙两港间的水路长甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港千米，一只船从甲港开往乙港，顺水开往乙港，顺水8小时到小时到达，从乙港返回甲港，逆达，从乙港返回甲港，逆水水13小时到达，求船在静小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。水中的速度和水流速度。.解解 析析 顺水速度：2088

28、=26千米/小时） 逆水速度：20813=16千米/小时）船速：（26+16）2=21千米/小时） 水速：（2616）2=5千米/小时） 答：船在静水中的速度和水流速度。 .例例2. 某船在静水中的速度是每某船在静水中的速度是每小时小时15千米，它从上游甲地千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了开往下游乙地共花去了8小时，小时，水速每小时水速每小时3千米，问从乙地千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？返回甲地需要多少时间？.解解 析析从甲地到乙地，顺水速度：15+3=18千米/时）， 甲乙两地路程：188=144千米），从乙地到甲地的逆水速度：153=12千米/小时）， 返回时逆行用的时间：14

29、41212小时）。 答：从乙地返回甲地需要12小时。.例例3.甲、乙两港相距甲、乙两港相距360千米，一千米，一轮船往返两港需轮船往返两港需35小时，逆流小时，逆流航行比顺流航行多花了航行比顺流航行多花了5小时小时.现在有一机帆船，静水中速度现在有一机帆船，静水中速度是每小时是每小时12千米，这机帆船往千米，这机帆船往返两港要多少小时？返两港要多少小时？ .解解 析析 轮船逆流航行的时间：（35+5）2=20小时），顺流航行的时间 ：（355）2=15小时），轮船逆流速度：36020=18千米/小时），顺流速度：36015=24千米/小时），水速：（2418）2=3千米/小时），帆船的顺流速度

30、：12315千米/小时），帆船的逆水速度：123=9千米/小时），帆船往返两港所用时间：36015360924+40=64小时）。.河流中相遇问题河流中相遇问题 车辆相遇问题：单位时间内路程和等于甲乙两车的速度和。 路程=时间速度和 在河流中甲、乙两船速度和。推导：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）（乙船速-水速） =甲船船速+乙船船速。结论：两船在水中的相遇问题与两车在陆地上的相遇问题一样，与水速没有关系。 .水上追及问题水上追及问题车辆同向：路程差=速度差时间 两船同向：路程差=船速差时间推导：甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速。结论：

31、水中追及问题与在静水中追及问题及两车在陆地上追及问题一样。 如果两船逆向追赶时，也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速。.例例4 小刚和小强租一条小船，向上游划小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经发现并调过船头时，水壶与船已经相距相距2千米，假定小船的速度是每小千米，假定小船的速度是每小时时4千米，水流速度是每小时千米，水流速度是每小时2千米，千米，那么他们追上水壶需要多少时间？那么他们追上水壶需要多少时间？.解解 析析速度差=船顺水速度-水壶飘流的速度解：路程差船

32、速=追及时间24=0.5小时） 答：他们二人追回水壶需用0.5小时 。.例例5.甲、乙两船在静水中速度分别为甲、乙两船在静水中速度分别为每小时每小时24千米和每小时千米和每小时32千米，两千米，两船从某河相距船从某河相距336千米的两港同时出千米的两港同时出发相向而行，几小时相遇？如果同发相向而行，几小时相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几向而行，甲船在前，乙船在后，几小时后乙船追上甲船？小时后乙船追上甲船？ .解解 析析解：相遇时用的时间336（24+32）=33656 =6小时）。追及用的时间不论两船同向逆流而上还是顺流而下）：336（3224）42小时）。.例例6.一只小船从一只小

33、船从A地到地到B地往返一地往返一次共用次共用2小时，回来时顺水，比小时，回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶去时的速度每小时多行驶8千米，千米，因此第二小时比第一小时多行因此第二小时比第一小时多行驶驶6千米，求千米，求AB两地间的距离。两地间的距离。.看图解析看图解析.解解 析析.例例7.一条船往返于甲、乙两港之间，由甲一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶。已知船在静水中的速度为驶。已知船在静水中的速度为8千米千米/时，平时逆行与顺行所用的时间比为时，平时逆行与顺行所用的时间比为2:1。某天恰逢暴雨，水流速度为原来。某天恰逢暴雨，水

34、流速度为原来的的2倍，这条船往返共用倍，这条船往返共用9时。问：甲、时。问：甲、乙两港相距多少千米？乙两港相距多少千米？.解解 析析平时 ： T逆:T顺=2：1，所以, V逆:V顺=1：2， 设平时水流速度为V水，所以平时逆水航行速度为8-V水， 平时顺水航行速度为 8+V水， （8-V水）：（8+V水）1：2，所以V水8/3km/h， 暴雨时：水流速度为：2V水=16/3km，所以逆水航行速度为：8-2V水=8/3km/h，顺水航行速度为：8+2V=40/3km/h，V逆:V顺=1：5，T逆:T顺=5：1， T逆=9（1+5）5=7.5小时， 8/37.5=20千米 答：甲乙两港相距20km

35、。.例例8. 有甲、乙两船，甲船和漂流物有甲、乙两船，甲船和漂流物同时从河西向东而行，乙船也同同时从河西向东而行，乙船也同时从河东向西而行。甲船行时从河东向西而行。甲船行4小小时后与漂流物相距时后与漂流物相距100千米，乙千米，乙船行船行12小时后与漂流物相遇，两小时后与漂流物相遇，两船的划速相同，河长多少千米？船的划速相同，河长多少千米？.看图解析看图解析.解解 析析因为漂流物的速度就是水流的速度，甲船顺水航行，速度=船速+水流的速度，4小时相距100千米，就是船在静水中的速度，就是船速。而乙船12小时与漂流物相遇，乙船是逆水行驶，与漂流物的速度和就是乙船的速度。乙船在静水中行驶的路程就是河

36、长。 解：船速：1004=25(千米) 河长：2512=300(千米) 答：河长是300千米。.知识点梳理知识点梳理1、计算有关工程的工作总量、工作时间、工作效率的问题叫工程问题。2、工程问题中有整数应用题和分数应用题，它们讨论同样都是工作总量、工作时间、工作效率三者之间的关系。 3、分数工程问题的特点：一般没有具体的工作总量，工作总量通常用单位“1表示。 4、工程问题的基本数量关系式： 工作效率工作时间=工作总量 工作总量工作效率=工作时间 工作总量工作时间=工作效率.典型例题精讲典型例题精讲例例1. 生产一批零件，甲单独做生产一批零件，甲单独做需要需要15天，乙单独做需要天，乙单独做需要1

37、2天，丙单独做需要天，丙单独做需要10天，如天，如果甲、果甲、 乙、丙三人合做，多乙、丙三人合做，多少天可以完成？少天可以完成？ .解解 析析 把一批零件看成单位“1” 甲工作效率： 乙工作效率： 丙工作效率： 三人合做需要的天数： 答：甲、 乙、丙三人合做4天可以完成。 15115112112110110144111011211511）（.例2. 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成。现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成。 乙需要做几天可以完成全部工作？.解析甲工作效率：乙工作效率：甲做3天完成的工作量：余下的由乙做需要的天数： （天） 答：乙需要做4天可以完成全部工作。 919

38、161613139146131-1）（.例例3.一房屋由甲乙两个工程队一房屋由甲乙两个工程队合盖，需要合盖，需要24天完成，现由天完成，现由甲队先盖甲队先盖6天，再由乙队盖天，再由乙队盖2天，共盖了这间房屋的天，共盖了这间房屋的 ，如果这间房屋由甲队单独盖，如果这间房屋由甲队单独盖，需要多少天完成？需要多少天完成？203.解解 析析工效和： 1 24=合盖2天： 2= 甲队的工作效率 ：（ - ）（6-2）=甲队单独盖所用的天数：1 =60天203241121601241121601.例例4. 某工程先由甲单独做某工程先由甲单独做40天，天，再由乙做再由乙做28天就可以完成。天就可以完成。现在

39、甲乙合作现在甲乙合作35天就完成了，天就完成了，如果先由甲单独做如果先由甲单独做30天，再天，再由乙接着做，乙还要工作多由乙接着做，乙还要工作多少天才能完成？少天才能完成？.解解 析析甲乙工作效率和：甲的工作效率： 乙的工作效率：甲做30天完成的工作量：剩下由乙做需要的天数： 答：乙还要工作42天才能完成。35135160128-4028351-1）（）（841601-3512130601（天）（4284121-1.例例5.一项工程甲单干一项工程甲单干50天完成，天完成，乙单干乙单干75天完成，两人一起天完成，两人一起合作，中间乙休息了几天，合作，中间乙休息了几天，这样从开工到完成共用了这样从

40、开工到完成共用了40天，求乙休息了几天？天，求乙休息了几天？.解析甲的工作效率：乙的工作效率：甲40天完成的工作量：乙完成的工作量：乙工作的天数：乙休息的天数：40-15=25天）50150175175154405015154-1（天）1575151.例例6.一项工程，甲队单独做需一项工程，甲队单独做需20天完天完成，乙队单独做需成，乙队单独做需30天完成，两天完成，两队合作期间甲队休息了队合作期间甲队休息了3天，乙队天，乙队也休息了若干天两个队不能同也休息了若干天两个队不能同时休息），结果用时休息），结果用16天完成任务，天完成任务，乙队休息了多少天？乙队休息了多少天？.解解 析析甲的工作效

41、率：乙的工作效率：甲工作的天数：16-3=13天）甲13天完成的工作量：2012013013012013132012072013-121103012072152110-16 乙完成的工作量：乙完成的工作量： 乙工作的天数：乙工作的天数： 乙休息的天数：乙休息的天数：.例7.有甲乙两项工作，张明单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李亮单独完成甲工作要用8天，单独完成乙工作要用20天。如果每项工作都可以由两人合做，那么这两项工作都完成最少要多少天？.解解 析析张明完成甲的工作效率：张明完成乙的工作效率：李亮完成甲的工作效率：李亮完成乙的工作效率：共同完成甲工作效率和：共同完成乙工作效率

42、和：101101151151818120120140981101607201151（天）9444091（天）7486071张明和李亮完成甲工作：张明和李亮完成甲工作：张明和李亮完成乙工作：张明和李亮完成乙工作：共需要的天数：共需要的天数：李亮完成甲工作，张明完成乙工作李亮完成甲工作，张明完成乙工作张明张明8 8天完成的工作量：天完成的工作量：剩下的工作共同完成：剩下的工作共同完成：需要的天数：需要的天数：8+4=128+4=12天）天）1588151（天）（4607158-1（天）63113748944方方案案一一方案二方案二.例8. 一项工程，甲单独做需10天，乙单独做需15天，如果两人合做

43、，他们的工作效率就要降低，甲只能完成原来的 ，乙只能完成原来的 。现在要求8天完成这项工程，两人合做的天数尽可能少，那么两人要合做多少天？54109.解解 析析甲的工作效率：乙的工作效率：合做时甲的工效：合做时乙的工效：甲乙合做时的工效：10110115115125254101503109151507503252解设：甲乙合做解设：甲乙合做X X天。天。 答：甲乙合做答：甲乙合做5 5天。天。 1)8(101507XX110154507XX51251X5X.例9. 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙

44、开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运。最后两个仓库货物同时搬完。问丙帮助甲、乙各多少时间？.解解 析析甲的工作效率：乙的工作效率：丙的工作效率：把整个工作量看做“2”完成需要的时间：101101151151121121（小时）（81511211012甲甲8 8小时完成的工作量：小时完成的工作量：丙帮助甲用的时间：丙帮助甲用的时间：丙帮乙所用的时间：丙帮乙所用的时间：8-3=58-3=5小时）小时）548101（小时）（315154-1答：丙帮助甲答：丙帮助甲3 3小时，帮助乙小时，帮助乙5 5小时。小时。.例例1. 1. 1111119999970017009个个 的积中有多少个奇数字，的积中

45、有多少个奇数字，多少个偶数字？多少个偶数字？ 思路分析：如此大的因数，不可能按一般方法列竖式去乘，一定存在着某些规律，使问题得到简化。 我们可以从“简单入手去寻找规律：.199119910891119991108891111999911108889 不难发现：积中有数字1、0、8、9，其中1和8的个数相同，比左边因数中1的个数少1，积中0和9只有1个。 所以 111119999911110888897001700969916998 个个个个积中有700个奇数字，有700个偶数字。 . 例2. 一个数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，那么2019第1次出现在第几项？思

46、路分析：这个数列中1有1个，2有2个，3有3个，4有4个，2019就有2019个。 12019这些自然数中一共的个数是：12341996 .利用等差数列求和公式：Saann()12可得 123199611996199621993006 ()说明2019这个自然数结束后，这个数列中已有1993006个数，2019第1次出现在它后面，所以2019第1次出现在第1993007项。.例例3. 3. 计算计算 11313515717919799 思路分析： 131523515172571719279 .根据这个规律，把原式拆分后，再利用加、减抵消的方法进行简算。113135157179197991211

47、312131512151712171912197199121131315151717191951971971991211991298994999 ()()()()()()(). 例例4. 4. 已知最简分数可以表示成：已知最简分数可以表示成： mn112131411992 试说明分子试说明分子m m是是19931993的倍数。的倍数。. 思路分析：此题所有加数的分母是个自然数列，调整一下写，可以是1121314119901199111992111992121199113119901996199719921199219912219911990331990997996996997 ()()()()

48、1993199219932199119933199019939969971993119921219911319901996997 ().从这个结果看，无论括号中的结果是一个什么样的分数，根据分数乘以整数的计算法则，知道积的分子m一定是质数1993的倍数。.例例5. 5. 在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在两个分点旁分别标上在两个分点旁分别标上 和和 ，如图，如图1 1）。第二次把两）。第二次把两段半圆弧二等分，在分点旁标上相邻两分点所标两数的和，段半圆弧二等分，在分点旁标上相邻两分点所标两数的和，如图如图2 2） ，。第三次把，。第三

49、次把4 4段圆弧再二等分，并在段圆弧再二等分，并在4 4个个分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和，如图分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和，如图3 3），）， 。如此继续下去，当第八次标完数之后，圆。如此继续下去，当第八次标完数之后，圆周上所有已标的数的总和是多少？周上所有已标的数的总和是多少？1213561213113125612131213131256565656113113116116图 (1)图 (2)图 (3).思路分析：第一次等分和是 121356第二次等分和是 56352第三次等分后，和是 5211321162152第四次等分，.各次总和分别是 5652152， 每一次总和都是上一次

50、的3倍，因此和是一个公比是3的等比数列。 56356231333333364521822 581 (). 例例6. 如下图如下图 虚线框中的虚线框中的9 9个数的和恰好是个数的和恰好是162162，请你像这样用一个，请你像这样用一个长方形框出长方形框出9 9个数，其和恰好是个数，其和恰好是20192019，其中最大的数是，其中最大的数是多少？多少？ 1234567 891011121314 15161718192021 22232425262728 .思路分析： 199892222228230.作业：作业：1. 把自然数中的偶数把自然数中的偶数2，4，6，8依次排成依次排成5列如下面所示），把

51、最左边的一列叫做第一列。列如下面所示），把最左边的一列叫做第一列。 第第1列列第第2列列第第3列列第第4列列第第5列列 2 4 6 8 16 14 12 10 18 20 22 24 32 30 28 26问：数问：数“1986出现在第几列？出现在第几列？ .()198622199399381241 所以1986出现在第2列。 .知识点梳理知识点梳理 我们常见的形式有数字谜，计数，行程，综合应用题等。涉及到我们学过的因数、倍数、余数、分解质因数、整除性等知识点。所以要求同学们一定打好基础，熟练掌握，才能灵活应用。解决数论题目的主要方式就是分解质因数(把合数表示质数乘积的形式)，我们一定要有分拆

52、、分解、分类讨论的思想意识。. 一、 整除的特征：（12的倍数特征：末位数是0、2、4、6、8的数.（23、9的倍数特征：各位数之和是3的倍数或9的倍数.（35的倍数特征：末位数是0或5.（44的倍数特征：末两位数是4的倍数.（58的倍数特征：末3位数是8的倍数.（611的倍数特征：奇位数字之和与偶位数字之和的差是0或11的倍数. .二、分解质因数：指的就是把一个合数表示成质数乘积的形式的过程。 唯一分解定理：那么N的因数个数n=（1+p1）(1+p2) (1+pn) 三、辗转相除法 辗转相除法主要针对两个较大数求最大公因数而言的。 就是用其中较大数除以较小数，得余数r1;接下来每一步都用上一

53、步的除数除以余数r2以此类推，直到除尽为止，最后一步除数就是它们的最大公因数。不同的质因数）为、NaaaaaaaNnpnpppn21321(321.典型例题精讲典型例题精讲例例1. 9600共有多少个因数？共有多少个因数？.解解 析析 9600= 因数个数=（7+1）（1+1）（2+1） = 48个）53227.例例2. 七位数七位数A1994BC能被能被9, 5和和8整整除，试确定数字除，试确定数字A、B、C的值。的值。.解解 析析 （1此七位数可被5整除,则个位必须为0或5; 此七位数又可被8整除,则个位数C一定是0. （2七位数可被8整除,则后三位数4B0可被8整除, 故B只能为0、4或

54、8。 （3七位数又能被9整除,则各位数字之和可被9整除. 故当B=0时,A=4; 当B=4时,A=9; 当B=8时,A=5. 所以符合条件的七数为4199400、9199440或5199480。 原数：原数：A1994BC.例例3. 求求2821和和1519的最大公因数。的最大公因数。.解解 析析辗转相除法求最大公因数28211519=1130215191302=12171302217=6（2821,1519）=217.例4.有一个三位数，被4除余1，被5除余4，被7除余2，这个数最小是多少？.解解 析析 设这个数为X, X4=A1 X5=B4 X7=C2 每个算式中，每次商减一，余数就增加一

55、个除数，这样可以得到同余是“9”，再求4、5、7的最小公倍数是140，再加9等于149。. 例5. 要使1858413552（ ）乘积的末五位数都是0，（ ）中应填入的自然数最小值是多少？.解解 析析 要使乘积末五位都是0，就要使这五个因数中有5个2和5个5。所以要把这四个数分解质因数，看缺少几个5和几个2，括号里就填出它们的乘积。 解: 185=537 共有4个2和2个5 135=527 缺少3个5和1个2 84=2221 5552=250 52=2213 答：括号里填250。.例6. 有一个整数，用它去除70、110、160所得的三个余数之和是50，这个整数是多少？.解解 析析 把三个数加

56、起来的和减去50，把所得的差分解，可以求出这个整数。 70+110+160-50=290 290=2910 这个整数就是29。.例7. 四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克如下:8、9、10、11、12、13。已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?.解解 析析每个瓶子称3次，所以把称量的结果之和除以3得到各称量一次的和。 8+9+10+11+12+13=63千克）， 633=21 （千克）， 21= 19+2， 所以油重19千克，四只瓶子共重2千克， 每只瓶重25=0.5千克， 最重的是13-0.52=12千克。.例8.

57、商店有6箱货物，分别重15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克，两个顾客买走了其中的5箱，其中一个顾客买走的货物质量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的这箱货物重多少千克？.解解 析析因为拿走的一定是3的倍数，把所有的数加起来，再减去20才是3的倍数，所以，剩下的是20千克。 15+16+18+19+20+31=119千克 1+1+9=11 11不是3的倍数， 11-2=9 ， 9是3的倍数。 答：剩下的是20千克。.例9. 两个自然数的积是5766，这两个数的最大公因数是31，求这两个数。.解解 析析 两个数的乘积等于最大公因数和最小公倍数的乘积，所以，用它们的积除以最大公因

58、数等于最小公倍数，再用最小公倍数除以最大公因数，将得数分解质因数，再乘以最大公因数就是所求的这两个数，注意讨论符合条件的数可能不止一组。 57663131=6 6=23=16 131=31, 631=186; 231=62, 331=93 答案有两组：31,186和62,93， .例10. 某校2019年的学生人数是个完全平方数，2019年的学生人数比上一年多101人，这个数字也是一个完全平方数。该校2019年的学生人数是多少人？.解解 析析 设2019有学生 人，2019年有学生 人， （y+x)(y-x)=101 101=1011 y=51 x+y=101 x=50 y-x=1 5151=

59、2601人）1011012222XYYXX2Y2.知识点梳理知识点梳理一、积最大的规律（一多个数的和一定为一个不变的常数），当这几个数均相 等时，它们的积最大。用字母表示，就是： 如果a1+a2+an=bb为一常数）， 那么，当a1=a2=an时，a1a2an有最大值。.由由“积最大规律积最大规律”，可以推出以下的结论：，可以推出以下的结论： 结论1）： 所有周长相等的n边形，以正n边形各角相等，各边也相等的n 边形的面积为最大。 结论2 ）：在三度长、宽、高的和一定的长方体中，以正方体的体积为 最大。（二将给定的自然数N，分拆成若干个不定的自然数的和，只有当这些自然 数全是2或3，并且2至多

60、为两个时，这些自然数的积最大，而且不要出现1。.例如：当和是14时 （1） 14=2+2+2+2+2+2+2 2222222=128 （214=3+3+3+5 3335=135 （3 314=3+3+3+3+214=3+3+3+3+2 3 33 33 33 32=1622=162 （4 414=5+5+2+214=5+5+2+2 5 55 52 22=1002=100.二、和最小的规律二、和最小的规律 几个数的积一定，当这几个数相等时，它们的和相等。用字母表达就是：如果a1a2an=cc为常数）， 那么，当a1=a2=an时，a1+a2+an，有最小值。 例如：面积为64的长方形和正方形 88