实对称矩阵的对角化

1、第三节第三节 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化 对称矩阵的性质对称矩阵的性质 利用正交矩阵将实对称矩阵对利用正交矩阵将实对称矩阵对 角化的方法角化的方法定理定理1 1对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数. .证明证明, 对应的特征向量对应的特征向量为为复向量复向量的特征值的特征值为对称矩阵为对称矩阵设复数设复数xA . 0, xxAx 即即, 的的表示表示用用 共轭复数共轭复数xAxA 则则 .xxAx , 的的表示表示xx共轭复向量共轭复向量于是有于是有AxxTAxxT 及及 AxxT xxT ,xxT xAxTT xxAT xxT .xxT 两式相减，得两式相减，得 . 0 x

2、xT , 0 x但因为但因为 , 0 , 即即.是实数是实数由此可得由此可得 , 0 121 niiniiiTxxxxx所以所以定理定理1 1的意义的意义.,0,0)( , 以取实向量以取实向量从而对应的特征向量可从而对应的特征向量可系系知必有实的基础解知必有实的基础解由由是实系数方程组是实系数方程组线性方程组线性方程组所以齐次所以齐次为实数为实数的特征值的特征值由于对称矩阵由于对称矩阵 EAxEAAiii ., 221212121正交正交与与则则若若是对应的特征向量是对应的特征向量的两个特征值的两个特征值是对称矩阵是对称矩阵设设定理定理ppppA 证明证明,21222111 AppApp,A

3、AAT 对称对称 TTTAppp11111 ,11ApApTTT 于是于是 22121211ppAppppTTT ,212ppT . 0 2121 ppT ,21 .21正交正交与与即即pp. 021 ppT. , 41素素的的对对角角矩矩阵阵个个特特征征值值为为对对角角元元的的是是以以其其中中使使则则必必有有正正交交矩矩阵阵阶阶对对称称矩矩阵阵为为设设定定理理nAAPPPnA 证明证明,21s 它们的重数依次为它们的重数依次为srrr,21. ,)( , , 3个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量恰有恰有对应特征值对应特征值从而从而的秩的秩则矩阵则矩阵重根重根的特征方程的的特征方程的是是

4、阶对称矩阵阶对称矩阵为为设设定理定理rrnEAREArAnA ).(21nrrrs 根据定理根据定理1（对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数）和定）和定理理3( 如上如上)可得：可得：设设 的互不相等的特征值为的互不相等的特征值为A,21知知由由nrrrs 由定理由定理2知知对应于不同特征值的特征向量正交对应于不同特征值的特征向量正交，., ), 2 , 1( 单位正交的特征向量单位正交的特征向量个个即得即得把它们正交化并单位化把它们正交化并单位化关的实特征向量关的实特征向量个线性无个线性无恰有恰有对应特征值对应特征值rrsiiii PPAPP11.,11个特征值个特征值的的是是恰恰个

5、个个个的对角元素含的对角元素含其中对角矩阵其中对角矩阵nArrss 这样的特征向量共可得这样的特征向量共可得 个个.n故这故这 个单位特征向量两两正交个单位特征向量两两正交.n以它们为列向量构成正交矩阵以它们为列向量构成正交矩阵 ，则，则P根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为对角矩阵，其具体步骤为：为：将特征向量正交化将特征向量正交化;3.将特征向量单位化将特征向量单位化.4.2. ;, 0的特征向量的特征向量求出求出由由AxEAi 1.;的特征值的特征值求求A解解 20212022EA 214 0 . 2, 1, 4321 得得

6、,020212022)1( A 310130004)2(A例例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使使 为对角阵为对角阵.APP1 P(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值A 的特征向量的特征向量求出求出由由第二步第二步AxEAi, 0 得得由由对对, 04, 41 xEA 04202320223232121xxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系 .1221 得得由由对对, 0, 12 xEA 0202202323121xxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.2122 得得由由对对, 02, 23 xEA 02202320243232121x

7、xxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.2213 第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化.,3, 321321故它们必两两正交故它们必两两正交的特征向量的特征向量个不同特征值个不同特征值的的是属于是属于由于由于 A第四步第四步 将特征向量单位化将特征向量单位化,1,2,3.iiiixhx=令,3132321 得得,3231322 .3232313 ,22121212231,321 P作作.200010004 1 APP则则 310130004)2(A 310130004EA ,422 . 4, 2321 得特征值得特征值 得基础解系得基础解系由由对对, 02, 21 xEA 1101

8、 得得基基础础解解系系由由对对, 04, 432 xEA .110,00132 ,32恰恰好好正正交交与与 .,321两两两两正正交交所所以以 ()123,1,2,3iiiixx xxhx=再将单位化 令得,212101 ,0012 .212103 于是得正交阵于是得正交阵 2102121021010,321 P.400040002 1 APP则则1.对称矩阵的性质：对称矩阵的性质： (1) (1)特征值为实数；特征值为实数； (2)(2)属于不同特征值的特征向量正交；属于不同特征值的特征向量正交； (3)(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；特征向量的个数相等； (4)(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对