同济六版高等数学第五章第一节课件

1、5.1 定积分概念与性质一、定积分问题举例 二、定积分定义三、定积分的性质 上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、定积分问题举例曲边梯形 设函数yf(x)在区间a, b上非负、连续. 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 1.曲边梯形的面积 下页上页下页铃结束返回首页观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？下页上页下页铃结束返回首页niiixfA10)(lim. 求曲边梯形的面积 (1)分割: ax0 x1 x2 xn1 xn b, x

2、ixixi1; 小曲边梯形的面积近似为f(i)xi (xi1ixi); (2)近似代替: (4)取极限: 设maxx1, x2, xn, 曲边梯形的面积为 (3)求和: 曲边梯形的面积近似为 ;niiixfA10)(lim 下页上页下页铃结束返回首页2.变速直线运动的路程 已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数, 且v(t)0, 计算物体在时间段T1, T2内所经过的路程S.(1)分割: T1t0t1t2 tn1tnT2, tititi1; (2)近似代替: 物体在时间段ti1, ti内所经过的路程近似为 Siv(i)ti ( ti1 iti ); 物体在时间段T1, T2内所

3、经过的路程近似为 (3)求和: (4)取极限: 记maxt1, t2, tn, 物体所经过的路程为 niiitvS1)(; niiitvS10)(lim. 首页上页下页铃结束返回首页二、定积分定义v定积分的定义在小区间xi1, xi上任取一点i (i1, 2, n), niiixf1)(; 作和maxx1, x2,xn; 记xixixi1 (i1, 2, n), ax0 x1x2 xn1注：值得注意的是不论a, b, c的相对位置如何上式总成立.下页上页下页铃结束返回首页三、定积分的性质1 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(. 性质1 性质2 2 babadxxfkdxx

4、kf)()(. 性质3 性质4 4 abdxdxbaba1. 3 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(. 下页上页下页铃结束返回首页badxxf0)(ab). 推论1 如果在区间a, b上 f (x)g(x), 则 babadxxgdxxf)()(ab). 这是因为g(x)f(x)0, 从而 bababadxxfxgdxxfdxxg0)()()()(, babadxxgdxxf)()(. 所以如果在区间a, b上 f (x)0, 则 性质5 下页上页下页铃结束返回首页即 babadxxfdxxf| )(|)(|. 这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|, 所以badxxf0)(a

5、b). 推论1 如果在区间a, b上 f (x)g(x), 则 babadxxgdxxf)()(ab). 如果在区间a, b上 f (x)0, 则 性质5 babadxxfdxxf| )(|)(|(ab). 推论2 bababadxxfdxxfdxxf| )(|)(| )(|, 下页上页下页铃结束返回首页性质6证明badxxf0)(ab). 推论1 如果在区间a, b上 f (x)g(x), 则 babadxxgdxxf)()(ab). 如果在区间a, b上 f (x)0, 则 性质5 babadxxfdxxf| )(|)(|(ab). 推论2 性质6 设M及m分别是函数f(x)在区间a, b

6、上的最大值及最小值, 则 baabMdxxfabm)()()(ab). 下页上页下页铃结束返回首页 如果函数f(x)在闭区间a, b上连续, 则在积分区间a, b上至少存在一个点 , 使下式成立: 这是因为, 由性质6 性质7(定积分中值定理) baabfdxxf)()(. 积分中值公式. baabMdxxfabm)()()(, 即 baMdxxfabm)(1, 由介值定理, 至少存在一点a, b, 使badxxfabf)(1)(, 两端乘以ba即得积分中值公式.结束上页下页铃结束返回首页oxbay)(xfy 说明说明:.都成立或baba 可把)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解为baxf故它是有限个数的平均值概念的推广. 积分中值定理对abxxfbad)(因nabfabniin)(lim11)(1lim1niinfn上页下页铃结束返回首页例例计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度. 解解: 已知自由落体速度为tgv 故所求平均速度v2211TgT2TgTttg0d01Totgv vTt221TgS 上页下页铃结束返回首页思考与练习思考与练习P236 题8 (4)题8(4) 解解: 设, )1ln