考研数学数一常考题型和知识点归纳

1、第二篇 高等数学第一章 函数、极限、连续思考的鱼点拨“函数、极限、连续”这一部分的概念及运算是高等数学的基础，它们是每年必考的内容之一，数学一中本部分分数平均每年约占高等数学部分的10.本章的考题类型及知识点大致有： 1.求函数的表达式： (1)给出函数在某一区间上的表达式及某些条件，求该函数在另一区间上的表达式(数学(二)考过)； (2)求分段复合函数的表达式(1990一(3)题考过，数学(二)考过多次). 2.数列的极限的概念理解与运算定理： (1)数列极限的概念的理解及定义的等价叙述(数学(二)考过)； (2)运算定理的正确运用与性质的正确理解(2003二(2)题)； (3)求数列的极限

2、：化成积分和式求极限(1998七题)；夹逼定理求极限(1998七题，2005二(7)题)；单调有界定理求极限或讨论极限的存在性(2006三(16)题，2008一(4)题)；化成函数极限求极限(2006三(16)题). 3.函数的极限： (1)求七种待定型的极限(1998一(1)题，1999一(1)题，2003一(1)题，2006一(1)题，2008三(15)题，2003三题，1997五题)； (2)运算定理的正确使用与性质的正确理解(1997一(1)题，2000三题，2004二(8)题)： (3)已知某些极限求其中的某些参数(2009一(1)题)； (4)已知某函数的极限，求与此有关的另一函数

3、的极限(数学(二)考过). 4.无穷小的比较： (1)给了若干个无穷小，比较它们的阶的高低(2004二(7)题，2007一(1)题)； (2)给了两个无穷小，已知一个是另一个的等价(或高阶)无穷小，求其中的参数(2002三题). 5.函数的连续与间断： (1)讨论初等函数的间断点及类型(数学(二)考过多次)； (2)讨论分段函数的连续性或由连续性确定其中的参数(数学(二)考过多次)； (3)函数以极限形式表达，讨论该函数的连续性(数学(二)考过多次)； (4)已知某些函数的连续性(间断点)，讨论与此有关的另一些函数的连续性(间断点)(数学(二)考过多次)； (5)连续函数介值定理的应用(200

4、5三(18)题，2004三(18)题，数学(二)考过多次).读者请注意，上面提到的类型，数学(一)有许多未曾考到，所以本章尚有相当大的命题空间.其次，以后各章要用到本章内容，从而掌握本章内容是十分基础、十分重要的.第二章 一元函数微分学思考的鱼点拨导数与微分是微分学的基本概念，导数与微分的计算是微分学的基本计算，导数与微分的应用利用导数研究函数的性质是微分学的基本内容，每年必考，本部分分数在数学中平均约占高等数学部分的17.本章的考题类型及知识点大致有： 1.求导数与微分，导数的几何意义： (1)显函数求导数(未考过)； (2)隐函数求导数(2002一(2)题，2008二(10)题)； (3)

5、参数式求导数(1997一(3)题)； (4)在直角坐标中求切线斜率、切线方程(2004一(1)题)，2002四题，2003三题，2005三(17)题)； (5)在极坐标中求切线斜率、切线方程(1997一(3)题)； (6)奇、偶、周期函数的导数(2005二(8)题)； (7)变限积分求导数(2002四题，1997一(2)题，1998二(1)题，1999二(1)题，1997五题)； (8)导数的变量变换(变量变换变化微分方程)(2003七题). 2.按定义求一点处的导数，可导与连续的关系. (1)讨论分段函数在分界点处的可导性或求导数(2005二(7)题)； (2)按定义讨论某点的可导性(199

6、9二(2)题)； (3)已知某极限存在讨论某点可导，或反之，或利用导数求极限，利用极限求某点处的导数(200l二(3)题；2007 (4)题；2009三(18)题)； (4)已知某点可导，求其中参数(2002三题)； (5)绝对值函数求导数(1998二(2)题)； (6)由极限表示的函数的可导性(2005一(7)题). 3.讨论函数单调性、极值、凹凸性、拐点、渐近线、曲率： (1)单调性与极值(2003二(1)题，2004二(8)题)； (2)增量、导数与微分的关系(1998二(3)题，2006二(7)题)；(3)凹向与拐点(2005三(17)题)； (4)渐近线(20051)题，2007一(

7、2)题)； (5)曲率(1991九题考过). 4.中值定理及其应用： (1)不等式的证明(2000二(1)题，1999六题，2004三(15)题)； (2)零点问题(2005三(18)题，1998九题，2000九题，2007三(19)题)； (3)有关函数与导数的关系(2001二(1)题，2002二(3)题，2007一(5)题)； (4)有关“中值”的极限问题(2001七题)； (5)泰勒公式的应用(1999六题，2001七题，2002三题)； (6)中值定理的证明(2009三(18)题).由上列举可见，本章的知识点及考题类型几乎全部考到，频率出现多的是：变限积分求导数，按定义求导，不等式与零

8、点问题，泰勒公式的应用.在按定义求导数时，应与使用洛必达法则的条件相区别.其他频率出现少的，也应注意，例如导数的几何意义、单调性与极值、绝对值函数求导数等.第三章 一元函数积分学思考的鱼点拨定积分与不定积分的概念及运算是积分学的基础，利用定积分表示与计算一些几何、物理量是积分学的基本应用，每年必考，本部分分数在数学一中平均约占高等数学部分的17. 本章的考题类型及知识点大致有： 1.不定积分与定积分的计算： (1)分段函数求不定积分(未考过)； (2)分段函数求定积分与变限积分(数学(二)考过)； (3)计算带绝对值号的定积分(数学(二)考过)； (4)计算般不定积分(2004 (2)题，20

9、01三题)； (5)计算一般定积分(2000一(1)题，2007二(11)题)： (6)计算反常积分(2002 (1)题)； (7)计算被积函数含有导数或变限积分的积分(2005三(17)题). 2.定积分的应用： (1)几何应用(1997二(2)题，2003三题，2007一(3)题，2009一(3)题，2009三(16)题，2009三(17)题)； (2)物理应用(1997七题，2003六题)； (3)利用积分和式求极限(1998七题). 3.定积分(变限积分)的证明题： (1)不等式问题(包括估值问题)(1997二(2)题，1997二(3)题)； (2)零点问题(1998九题，2000九题

10、)； (3)关于奇、偶函数、周期函数的证明题(1999二(1)题，2005二(8)题，2008三(18)题)： (4)变限函数关于单调性的题(2009一(3)题)； (5)变限函数求导问题(1999一(2)题，1998二(1)题，1997五题，2008一(1)题)； (6)积分中值定理的应用(2000九题).本章虽然各类型大都考过，但变换具体函数去命题，考题空间仍很大，读者注意举一反三，掌握一般方法.第四章 向量代数与空间解析几何思考的鱼点拨 向量代数主要是向量的表示法与向量的代数运算(加减、数乘、点积、叉积)，空间锯析几何主要是曲面与空间曲线的方程，重点是平面、直线以及常见曲面(球面、柱面以

11、及旋转面等)的方程，历年考题中直接对本部分命制的题目不多，且多为选择题或填空题.本章的考题类型及知识点大致有： 1.关于向量运算： (1)给出一些关系求另一些关系(1995一(3)考过)； (2)两向量平行、垂直、交角、模等问题(未考过)； (3)三点共线与三向量共面问题(未考过)； 2.直线与平面问题(大都与空间曲面的切平面、空间曲线的切线相结合的问题)： (1)求直线方程(1998三题)，2000一(2)题，1992二(3)考过)； (2)求平面方程(1997四(1)题，2000一(2)题，2003一(2)题，1989二(2)题，1990一(1)题，1991一(3)题，1994一(2)题，

12、1996一(2)题都考过)； (3)平面与直线的相对位置(平行、垂直、交角等)(1993二(3)题，1995二(1)题都考过)； (4)点到平面的距离(2006一(4)题，1999八题). 3.二次曲面的题(大都与第六章相结合，给出二次曲面，要求知道它的位置及大致图形.二次曲面中常用的图形为椭球面(包括球面)、旋转抛物面、锥面、母线与坐标面平行的柱面.求旋转面的方程(2009三(17)题).由以上列举看出，近十年来本章单独考的不多，与第五章相结合的考过四次.应该说是属于不常考的章节.但基本公式、基本方法仍应掌握.第五章 多元函数微分学思考的鱼点拨 多元函数微分学包括有若干基本概念及其联系，多元

13、函数的复合函数求导法及其应用，梯度向量与方向导数的计算方法，多元函数微分学的几何应用(求空间曲线的切线、法平面与空间曲面的切平面、法线)极值判断与最值问题等，在历年考试中多元函数微分学的平均分数约占高等数学的l7，也是比较重要的.本章的考题类型及知识点大致有： 1.求偏导数，全微分，方向导数，梯度，散度，旋度： (1)给出具体函数关系的复合函数求偏导数或全微分(1994 (3)考过)； (2)给出抽象函数关系的复合函数求偏导数或全微分(1998一(2)题，2005二(9)题，2006二(10)题，2000四题，2001四题，2007二(12)题，2006三(15)题，2009二(9)题)； (

14、3)给出方程经变量变换化简方程(1997四(2)题，1996四(2)也考过)； (4)给出具体的方程求隐函数的偏导数或全微分(199l一(2)考过)； (5)给出抽象的方程(方程组)求隐函数的偏导数或全微分(1999三题)； (6)求方向导数，梯度，散度，旋度(200l一(2)题，2005一(3)题，3.5(2002八题，2008一(2)题，1992一(2)也考过). 2.函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的讨论与它们之间的因果关系： (1)函数在点处极限不存在性讨论(1997二(1)题)； (2)隐函数的存在性(2005二(10)题)； (3)偏导

15、数的存在性(1997二(1)题)； (4)全微分的存在性(200l二(2)题)； (5)函数在一点处连续性，偏导数存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的因果关系讨论(2002二(1)题). 3.曲面的切平面，曲线的切线： (1)曲面的法向量、切平面与法线(2000一(2)题，2003一(2)题，1997四(1)题，1999八题，1993一(2)也考过，1994一(2)也考过)；(2)曲线的切向量、切线与曲线的法平面(2001二(2)题). 4.极值与最值： (1)按定义讨论极值(2003二(3)题)； (2)极值的必要条件，驻点的讨论(2006二(10)题)； (3)求极值(含拉格朗日乘数法)

16、与最值(2002八题，2007三(17)题，2008三(17)题，2009三(15)题)； (4)求隐函数的极值(2004三(19)题).由以上可见，本章各知识点大都考过，主要是计算.考题频率最高的是抽象函数关系的复合函数求偏导数，其次是方向导数，曲面的法向量与切平面(与空间解析几何相合).关于概念(见以上“2”)方面的题，应引起注意.关于“4”极值与最值的题，出题频率虽然不高，但有一定的综合性与难度，从考试结果看，这部分碍分不理想，考生不应忽视.第六章 多元函数积分学思考的鱼点拨 多元函数积分学包括各类积分的概念、计算和应用；格林公式、高斯公式和斯托克斯公式及其应用；平面曲线积分与路径无关及

17、全微分式的原函数问题等.在历年的考试中多元函数积分学占有最重要的地位，平均分数约占高等数学总分的14. 本章的考题类型及知识点大致有： 1.二重积分的计算及应用： (1)二重积分在直角坐标中的计算(单独未考过，在其他题中出现过)； (2)二重积分在极坐标中的计算与直极互化(2006二(8)题，2001八题，2005三(15)题，2006三(15)题)； (3)交换积分次序(2001一(3)题，2004二(10)题，1990一(4)题考过)； (4)绝对值函数的二重积分(二次积分)的计算(未考过)； (5)分块函数的二重积分(二次积分)的计算(2002五题，2005三题)； (6)利用对称性、轮

18、换对称性化简计算(2003五题，2006三(15)题，2009(2)题)； (7)二重积分的证明题与二重积分的估值(2003五题)； (8)三重积分的应用(2001八题). 2.三重积分的计算及应用： (1)三重积分在直角坐标中的计算(单独未考过)； (2)三重积分在球面坐标与柱面坐标中的计算(2005一(4)题，2006一(3)题，1997三(1)题，2000八题，2003八题，2009二(12)题)； (3)利用对称性、轮换对称性化简计算(2000八题，1995三(2)题考过)； (4)三重积分的应用(2000八题). 3.化多重积分为定积分： (1)化二重积分为变限积分求导问题(2004

19、二(10)题)； (2)化二重积分为定积分求其中未知函数(数学(三)1997八题考过)； (3)化其它积分为定积分或二重积分的证明题(2003五题，2003八题). 4.第一型曲线积分与第型曲面积分：(1)计算(1999八题，2009二(11)题)； (2)利用对称性、轮换对称性化简(1998一(3)题，2000二(2)题，2007二(14)题)； (3)应用(未考过). 5.平面第二型曲线积分及应用： (1)用参数式计算(2004(3)题，2000五题，2003五题)； (2)用格林公式或加、减弧段格林公式法(1999四题，2003五题，2008三(16)题)； (3)路径无关问题与原函数法

20、(1998四题，1999四题，2002六题，2005三(19)题，2006三(19)题，2007一(6)题)； (4)与微分方程有关的问题(2005三(19)题)； (5)挖洞法(2000五题)； (6)应用(1990九题考过). 6.第二型曲面积分及应用： (1)用投影法计算(1998六题，2001六题，2004三(17)题)； (2)用高斯公式或加、减曲面片高斯公式法(2005一(4)题，2006一(3)题，1998六题，2000六题，2004三(17)题，2007三(18)题，2008二(12)题)； (3)转换投影法或化成第一型曲面积分计算(2001六题，2004三(17)题)； (4

21、)挖洞法(2009三(19)题)； (5)与微分方程有关的问题(2000六题). 7.空间第二型曲线积分： (1)用参数式计算(1997三(2)题，2001六题)； (2)用斯托克斯公式计算(1997三(2)题，2001六题)； 由以上可见，本章在数学(一)中的地位至关重要，考分占总分的16，考得最多的是(1)二重积分：包括极坐标中计算，交换积分次序，利用对称性、轮换对称性化简计算； (2)三重积分：包括在球面坐标、柱面坐标中的计算，利用对称性、轮换对称性化简计算； (3)平面第二型曲线积分：包括用参数式计算，用格林公式或加、减弧段格林公式计算，路径无关问题的讨论与路径无关问题计算该积分，原函

22、数法与求原函数，与微分方程相结合的题； (4)第二型曲面积分：包括用投影法计算，用高斯公式或加、减曲面片高斯公式法计算，转换投影法计算或化成第一型曲面积分计算，与微分方程相结合的题.以上各类题的计算，都有一套规范的方法.关键是选择方便而有效的方法，可以起到事半功倍的作用.以上诸项中，“3”以及“5(3)”，有时涉及一些理论，可能会有点困难.但是，正如俗话所说“熟能生巧”，熟了也就不难了.第七章无穷级数思考的鱼点拨 级数部分包括级数的若干基本概念，判别级数的敛散性(包括条件收敛与绝对收敛)的各种方法，幂级数的收敛性与和函数的性质，幂级数收敛域的求法，求幂级数的和函数与求函数的幂级数展开式的方法，

23、还有傅里叶级数和它的和函数等.此部分在历年试题中的平均分数约占高等数学总分的l6. 若分为数值级数、幂级数与傅氏级数三大部分，则幂级数部分考得最多，占级数总分的一半还强，求幂级数的收敛域，实质上就是级数敛散性的判断，若把它划入级数敛散性判断部分，这部分的分数将接近级数总分的一半. 求一般函数项级数的收敛域在考试大纲中也是要求的，但从未考过.不过这个问题实质上也是级数敛散性的判断问题.本章的考题类型及知识点大致有： 1.数项级数判敛： (1)给出具体的数项级数判敛(1999二(3)题考过，1992二(2)题考过，1995二(4)题考过； (2)已知某抽象数项级数的敛散性，讨论与此有关的另一些级数

24、的敛散性(2000二(3)题)，2002二(2)题，2004二(9)题，2006二(9)题，2009一(4)题)； (3)通项由某些条件(具体或抽象)给出，讨论该级数的敛散性(1997六题，1998八题，1999九题，2004三(18)题)； (4)讨论交错级数或任意项级数的敛散性(2000七题). 2.关于幂级数： (1)求幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域(2000七题，2005三(16)题，2008二(11)题，1995一(4)题考过)； (2)已知幂级数在某点收敛或发散或条件收敛，或已知收敛半径，讨论另一与此有关的幂级数在另一点处的敛散性，或求收敛半径、收敛区间(的范围)(1997一(

25、2)题)； (3)将函数展开成xx0的幂级数并求收敛域，并求某数项级数的和(2001五题，2003四题，2006三(17)题)；(4)求幂级数的和函数或可通过幂级数求和的数项级数求和(2005三(16)题，1990四题考过)； (5)验证或设某幂级数满足某微分方程从而求此幂级数的和函数(2002七题，2007三(20)； (6)求某些数项级数的和(1999九题，2009三(16)题). 3.傅里叶级数： (1)求傅里叶系数或傅里叶级数(2003一(3)题，2008三(19)，1991五题考过，1993一(3)题考过)； (2)按正弦展开或按余弦展开求其傅里叶系数或傅里叶级数(1995四(2)题

26、考过)； (3)按狄利克雷定理求傅里叶系数在某点的收敛和(1999二(3)题，1989二(4)题考过，1992一(3)题考过)； (4)由傅里叶级数讨论与此有关的另一些数项级数的和(2008三(19)题，1991五题考过)由以上可见，数项级数判敛问题中的1(1)，早期考过几次，后来不考了.近期考得多的是1(2)与1(3).函数展开成幂级数并讨论其成立范围，以及简单幂级数求和，仍是考试热点，考生对此应引起足够重视.函数展开成幂级数采用间接展开法，有一套规范步骤.简单幂级数求和，虽说有一点难度，但作为考研来说，处理的手法还是有法可依.傅里叶级数的考题较简单，由于求傅里叶级数计算量大，所以考得较少，

27、按狄利克雷定理求某点处的收敛和，相对说来考得较多，考生对此应足够重视.第八章 常微分方程思考的鱼点拨 微分方程问题是积分问题的延伸，有着极为广泛的应用，是历年考研必考内容.在高等数学部分，微分方程在数学一中平均每年所占分数约为15.本章的考试类型及知识点大致有： 1.12种典型类型求解以及自由项为特殊情形时的线性非齐次方程特解y的设定： (1)一阶5种类型求解(2005 (2)题，2006一(2)题，2008二(9)题，1992一(4)题，1993二(4)题，1993三(3)题，1994五题均考过)； (2)二阶可降阶3种类型求解(2000一(3)题，2002一(3)题)； (3)二阶及高阶常

28、系数线性齐次方程与非齐次方程3种类型求解(1999 (3)题，2007二(13)题，2008一(3)题，2009二(10)题)； (4)欧拉方程求解(2004一(4)题)； (5)y的设定(数学(二)考过). 2.线性非齐次微分方程与对应的线性齐次微分方程的解的关系： (1)已知非齐次方程的解求对应的齐次方程的(通)解(未考过)； (2)已知非齐次方程足够多的解求该非齐次方程的通解(1989二(3)题考过，2006数学(三)、(四)考过. 3.已知(通)解求微分方程： (1)未说明方程是什么形式，已知通解求微分方程(未考过)； (2)已知二阶(或一阶或更高阶)线性方程的通解(或若干个线性无关的

29、特解)求该方程(2001 (1)题，2009二(10)题). 4.自由项为绝对值函数或有间断点的函数的线性微分方程求解： (1)自由项为绝对值函数的情形(未考过)； (2)自由项为有跳跃间断点的函数的情形(数学(三)1999六题考过). 5.经变量变换解微分方程： (1)经反函数变量变换(2003七题)； (2)给出已知的变量变换(数学(二)考过多次). 6.将积分方程或偏微分方程化成微分方程求解：(1)积分方程化为微分方程求解(1991二(2)考过)； (2)偏微分方程化为微分方程求解(1997四(2)题，2006三(18)题). 7.微分方程的应用 (1)几何方面(1999五题，1995五

30、题考过，1996六题考过)； (2)物理方面(1998五题，2004三(16)题)； (3)变化率方面(1997三(3)题，2001八题).由上可见，本章常考的是“1”与“7”.有许多类型未命过题或很少命题，命题空间很大，例如1(5)，4，以及6可以与其他章节结合来命题，值得重视.第三篇 线性代数第一章 行列式思考的鱼点拨 行列式在整个试卷中所占比重不是很大，一般以填空题，选择题为主，但它是必考内容当然，不只是考查行列式的概念、性质、运算，还会涉及到其他各章、节的内容，例如矩阵的可逆、矩阵的秩、向量的线性相关性、线性方程组、矩阵的特征值、正定二次型等等，如果试卷中没有独立的行列式的试题，那必然

31、会在其他章节的试题中得到体现.一般有关行列式的试题有两大类：计算题和判断题 1.行列式的计算题.例如：计算行列式计算行列式的值 这类属于数字型的直接计算题，一般利用性质，消零展开或消零化成上(下)三角形行列式即可解决. 多数行列式的试题，属于与后续章节有关的、抽象型的行列式的计算题，如1.1题，1.2题这类题增加了考核的知识点，有一定的综合性.要求考生充分利用题设条件，通过知识的内在联系，化简、运算，最后得出所求行列式的值.(2)行列式的判别题，主要是判别行列式是否为零.例2.1题，因为行列式是否为零对矩阵是否可逆、是否满秩，对方程组An×n X=O是否有非零解，An×n

32、X=b是否有唯一解，对A中的列(行)向量组是否线性相关等都起到了“分水岭”的作用，会引起矩阵重要性质的变化.An×n 是否为零，除直接计算出A =O(或0)，或计算出A =kA ，其中k1，An×n =0(0)An×n不可逆(可逆)r(A)<n，不满秩(=n，满秩)An×n X=O有非零解(只有零解)An×n X=b有唯一解(解不唯一；可能无解；若有解，则为无穷解)An×n 的n个行(列)线性相关(线性无关) 注意这些都是充分必要条件，可以相互判别.第二章 矩阵思考的鱼点拨矩阵及其运算是线性代数的核心，后续各章的基础，考点较多，

33、重点考点是逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程，这几年还频频出现初等变换与初等阵的试题，应注意到的大致有以下几部分内容. 1.基本运算：要搞清概念，熟练掌握运算规则并保证运算的正确性，重点关注以下几点. (1)搞清能否运算，怎样运算，运算结果是什么. (2)搞清数的运算、行列式的性质，与矩阵运算的区别. (3)充分利用运算规则，如计算中结合律、分配律的利用，但矩阵运算没有交换律，消去律. 2.逆矩阵：理解逆矩阵的概念，掌握运算法则，掌握矩阵可逆的充分必要条件，会证矩阵可逆，并能正确求出逆矩阵. 求逆矩阵的方法：对数值矩阵，一般有(1)公式法.A-1=1/A A ，特别适用二阶矩阵；(2)初等变换法.A

34、BE A.对抽象矩阵，一般有(3)定义法，化成AB=E，则A可逆，且A-1=B；(4)化成已知可逆矩阵的乘积，即若化成A=BC，其中B，C均是可逆阵，则A可逆，A-1=(BC)-1=C-1B-1. 证明A可逆的方法： A可逆A 0AX=0有唯一零解AX=b有唯一解r(A)=nA的行(列)向量组线性无关，或用反证法. 3.伴随矩阵A：理解伴随矩阵的概念，注意Ai j与A的联系，能熟练得出A，A-1，A，(A)-1，A ，A 之间的关系，如(1) A =A n-1，(2)若A可逆，(A)-1=1/A A，A=A A-1.若公式中将A代入kA时，有(kA)(kA)=kA E，得(kA)=kn-1A；

35、 若公式中将A代入A时，有A(A)=A E，得(A)=A n-2A.A的秩只有n，1，0三种可能，且 4.矩阵方程：矩阵方程的试题较多，这类试题具有定的综合性，既考查了利用矩阵运算法则、性质等把方程化简，又考查了具体的数值计算.解这类试题要求分二步走，“先化简”，写出所求矩阵的最简表达式，再代入具体的数值矩阵，进行数值运算(如题2.3).5.初等变换、初等阵、矩阵的秩及等价矩阵理解初等变换的概念，了解初等阵及其性质，能将矩阵的初等变换表达成矩阵乘初等阵，反之能将矩阵乘初等阵翻译成作初等变换(如题2.12.3)理解矩阵秩的概念，掌握用初等变换求秩及逆矩阵的方法6.分块阵：了解分块阵及其运算，会求

36、分块对角阵的n次幂及分块对角阵的逆等.第三章 向量思考的鱼点拨 向量组的线性相关性是线性代数中的难点，也是考试的重点，考生应深刻理解线性相关性的内在的含义外，还应与线性表出、向的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.本章试题大致有以下四个部分: 1.向量的线性表出 向量能否由向量组1，2，s，线性表出方程组1x1+2x2+s x n=1，2，sX=An×s X=是否有解，其解即是表出系数r(A)和r(A)是否相等. 若1，2，s线性无关，1，2，s，线性相关，则可由1，2，s线性表出，且表出法唯一. 若1，2，s线性相关，则至少存在一个向量i可由其余向量线性表出.

37、 向量组(I) 1，2，s中任一个向量i(1，2，s)都可由() 1，2，s线性表出，称向量组(I)可由向量组()线性表出，两组向量可以相互表出，则称两向量组等价，等价向量组等秩，反之不成立. 2.向量组线性相关性的判别和证明 要说明或证明向量组1，2，s线性相关，只要求出(观察出)有不全为零的数k1，k2，ks，使k11+k22+kss=0.即说明或证明方程组有k11+k22+kss=0有非零解. 证明一组向量1，2，s线性无关，有两类题型：(1)若题设条件中只有一组向量(附有一些其他条件)，则应利用定义证明(实质上是反证法)；(2)若已知一组向量线性无关，要证另一组向量也线性无关，则可以用

38、定义证明，也可以用等价向量组、秩、方程组等方法证明(例题2.5). 3.求向量组的极大线性无关组及向量组的秩应理解向量组的极大线性无关组的概念，并掌握其求法则向量组1，2，s和1，2，s是等价向量组，等价向量组等秩.A=1，2，s 1，2，s， 则1，2，s与1，2，s中任何对应的部分向量组有相同的线性相关性. 向量组极大线性无关组不唯一，但极大无关组的向量个数是唯一的，此数即是向量组的秩. (4)向量空间，要求了解向量空间、子空间、解空间，基、维数，坐标等概念，了解基变换公式、坐标变换公式，会求过渡矩阵，掌握施密特标准正交化方法，这部分内容相对试题较少，从1987年考研数学统考以来，共出过4

39、题，二个题是过渡矩阵的(例题1.1)，一题是求解空间的标准正交基，一题是求一个向量在一组基下的坐标.第四章 线性方程组思考的鱼点拨 本章要求理解线性齐次方程组有非零解、唯一零解，线性非齐次方程组无解、唯一解、无穷多解的充分必要条件，理解线性齐次方程组的基础解系、通解、解空间的概念，掌握求解的方法，并会求解，理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念，并会求解.本章试题大致有三种类型： 1.判别齐次方程组是否有非零解，非齐次方程组AX=b是否无解、唯一解、无穷多解Am×n X=O有非零解(唯一零解)r(A)<n(=n)A的列向量组线性相关(线性无关).Am×n X=O无解

40、r(A)rA b. 唯一解r(A)=rA b=n. 无穷多解r(A)= rA b=r<n. 当A是n×n矩阵时，还可用A =O(或0)判别(例题1.1)，并说明解的几何意义. 判别某向量，或某向量集合是否是方程的解或方程组的通解，及两个方程组是否同解等(例题2.1). 2.求解线性齐次方程组的基础解系和通解(例题3.5)，求解非齐次方程组的通解(例题3.6)(包括含有参数时，有解情况的讨论)，求解方程组时，请注意每个步骤的正确性.步骤如下： (1)抄对系数矩阵或增广矩阵； (2)正确进行初等行变换，含有参数时，要选择合适的消元的顺序； (3)全面讨论参数的取值与解的关系； (4

41、)认定r(A)(即独立未知量，独立方程个数)，认定自由未知量，并赋予合适的特定值，回代方程，求得基础解系及齐次通解(或先求通解，后得基础解系)； (5)求非齐次特解，解的结构，求出非齐次通解.并应注意到方程组Am×n X=1，2，nX=其齐次方程组的解是向量组1，2，n的线性相关的线性组合系数，非齐次特解(及通)是由1，2，n线性表出的表出系数(例题3.3).当AB=0时，B的列向量是AX=0的解向量(例题3.6).3.证明某组向量是方程组的基础解系(例题3.1，3.2).向量组1，2，s是方程组AX=0的基础解系要满足三条，Ai=0(i=1，2，3，s)，1，2，n线性无关，s=n

42、-r(A).第五章 特征值、特征向量思考的鱼点拨特征值、特征向量是线性代数的重要内容，是考研的重点之一.共有三部分要求： 1.理解特征值、特征向量的概念和性质，会求矩阵An×n的特征值、特征向量，一般求An×n的特征值、特征向量有两条思路. (I)利用定义，求满足定义A=(0)的和，一般适用于抽象矩阵. 若An×n有特征值，对应的特征向量为，则利用定义可求得A2，Ak，f(A)是多项式)的特征值为2，k，f()当A可逆时，则A-1，A，对应的特征值为1/,A /，(如题1.1)，特征向量仍是.()利用特征方程求EA =0，再由(EA )x=0求出基础解系得对应于的

43、线性无关特征向量，一般适用于具体的数值矩阵.显然对角阵，上、下三角阵的特征值为对角元素(特征向量是什么?).当r(A)=r<n时，A有特征值=0，对应的特征向量是AX=0的基础解系，故共有nr(A)个线性无关特征向量，=O至少是nr(A)重特征值，An×n中每行元素和为k时，则=k，对应的特征向量是=1，1，1T。(如题1.2). 反之应会利用特征值、特征向量的定义，建立方程，来确定参数(如题3 1). 关于特征值、特征向量还有许多性质，如，在计算行列式及求特征值时均可利用. 2.矩阵的相似对角化，理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角

44、阵的方法. 应会用矩阵可相似对角化的充耍条件，讨论含参矩阵何时能相似对角化(如题3.6)，会利用相似的概念和性质来确定参数. 应会利用特征值、特征向量反求矩阵A，会利用相似对角阵，计算A ，An，An等. 3.实对称矩阵的相似对角化：实对称阵特征值是实数，不同特征值对应的特征向量相互正交，实对称阵必存在可逆阵P，使得P-1AQ= ，且存在正交阵Q，使得Q-1AQ=QTAQ=，即实对称阵必既相似于对角阵，又合同于对角阵.用正交矩阵将实对称阵A相似对角化，要将特征向量标准正交化，不同特征值对应的特征向量已相互正交，对A的r重特征值对应的r个特征向量应用Schmidt正交化方法正交化(或求

45、特征向量时，考虑到正交化).对实对称阵，还可用不同特征值对应的特征向量相互正交的性质，求特征向量.第六章 二次型思考的鱼点拨二次型的试题，相对而言，出现的频率较低，一般来说，线性代数的两个大题中，般有个出自矩阵的特征值、特征向量或二次型这两章之中.二次型的中心问题有两个： 1.化二次型为标准形规范形问题，大纲要求会用配方法和正交变换法化二次型为标准形、(正交变换只能化标准形)规范形(初等变换法不要求)，用矩阵的语言，实对称阵A合同于对角阵，即求可逆阵C，使得CTAC=，或求正交阵Q，使得Q-1AQ=QTAQ=的问题. 2.二次型(及对应矩阵A)的正定性的判别与证明的问题. 注意：(1)在线性代

46、数中研究二次型，首先要求将二次型表示成矩阵形式，即f(x1，x2，xn)=XTAX，其中An×nT=A，X=x1，x2，xnT，这样A和f一一对应，r(A)=r(f)，A正定即f正定(见题3.4). (2)用正交变换只能化二次型为标准形，且其标准形的系数就是A的特征值(见题1.1，3.1).而正交变换矩阵由A的单位正交特征向量组成，即Q=10，20，n0，其中 (3)对具体的数值二次型或实对称阵(或含有参数)，其正定性一般用顺序主子式大于零判别，当然也可化成标准形，f或A正定正惯性指数=n(未知量的个数)，若f(x1，x2，xn)已是正的平方和，则f(x1，x2，xn)O，只需证明f=OX=0，则X0，有f>0.即正定，二次型正定性的证明般用定理(正定的充分必要条件)，最后的办法是用定义.(4)两个二次型(或实对称阵)合同有相同的正、负惯性指数相同的正惯性指数和秩.第四篇 概率论与数理统计第一章 随机事件和概率思考的鱼点拨本章的重点在事件的关系和运算，概率的加法公式、减法公式、乘法公式、