概念教学-李龙才安徽东至

1、概概 念念 教教 学学人民教育出版社中数室人民教育出版社中数室 李龙才李龙才 一、引言一、引言二、概念教学的基本环节二、概念教学的基本环节三、概三、概念念课课的的教学设教学设计举例计举例四、用概念解决问题举例四、用概念解决问题举例1.1.概念概念课课至关重要的典型课至关重要的典型课 概念概念课课概念概念是反映对象本质属性的思维形式是反映对象本质属性的思维形式，也是，也是简单命题的简单命题的基本基本要素，具有要素，具有抽象性、概括性的抽象性、概括性的特征特征 规则课规则课原理、定理、性质、公式等原理、定理、性质、公式等 引言引言课（起始课）课（起始课） 复习复习课、习题课课、习题课概念课概念课、

2、规则课尤其是概念课乃重中之重规则课尤其是概念课乃重中之重一、引一、引 言言2.2. 当前当前数学教学中存在的一些问题数学教学中存在的一些问题 数学数学教学教学“不自然不自然”，强加于人，压抑了学生的数，强加于人，压抑了学生的数学学习兴趣；学学习兴趣； 缺乏问题意识，不利于创新精神和实践能力的缺乏问题意识，不利于创新精神和实践能力的培养培养 不重视基本概念、核心数学思想的教学，不利于学不重视基本概念、核心数学思想的教学，不利于学生数学素养的提高；生数学素养的提高； 重结果轻过程，损害数学思维过程的完整性，不利重结果轻过程，损害数学思维过程的完整性，不利于数学思维能力的培养；于数学思维能力的培养；

3、 解题教学注重解题教学注重“题型题型+ +技巧技巧”，学生机械重复、模，学生机械重复、模仿记忆，缺少独立思考的机会，数学思维发展迟仿记忆，缺少独立思考的机会，数学思维发展迟缓，并导致学生数学课业负担过重；缓，并导致学生数学课业负担过重； 学生学习方法单一、被动，缺少归纳、抽象等活学生学习方法单一、被动，缺少归纳、抽象等活动，对培养学习习惯、数学能力、数学素养以及动，对培养学习习惯、数学能力、数学素养以及创新精神等不利创新精神等不利。 3.3.解决解决之之道道 搞好日常教学，特别是典型课的教学搞好日常教学，特别是典型课的教学 如何上出高质量的课？如何上出高质量的课？三个理解三个理解数学、学生、教

4、学数学、学生、教学 理解数学理解数学: :了解数学概念的背景，把握概念的逻辑意了解数学概念的背景，把握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法，挖掘知识所蕴含义，理解内容所反映的思想方法，挖掘知识所蕴含的科学方法、理性思维过程和价值观资源，区分核的科学方法、理性思维过程和价值观资源，区分核心知识和非核心知识等。心知识和非核心知识等。 理解学生、理解教学理解学生、理解教学：调动：调动学生的思维，提供抽象学生的思维，提供抽象概括的机会概括的机会, ,注重思想方法的注重思想方法的引导引导 高质量课的根本标准：学生保持高水平的高质量课的根本标准：学生保持高水平的数学思维活动。数学思维活动。二、概念教学

5、的基本环节二、概念教学的基本环节习惯习惯做法做法 快速给出定义快速给出定义 提出提出 “准确理解准确理解”定义的注意点定义的注意点 例题示范（巩固、应用）例题示范（巩固、应用） 练习巩固练习巩固课堂、课后课堂、课后 纠正错误纠正错误 “纠错教学法纠错教学法”案例：高中函数概念的案例：高中函数概念的“注意事项注意事项” 集合集合A，B都是数集；都是数集； 任意性；任意性； 唯一性；唯一性； 可以一对一、多对一，但不能一对多；可以一对一、多对一，但不能一对多； yf(x)是一个整体，不是是一个整体，不是f与与x的乘积；的乘积； 值域值域C=f(x)|xA是集合是集合B的子集；的子集； 函数的三要素

6、三者缺一不可，值域可由定义域函数的三要素三者缺一不可，值域可由定义域和对应法则唯一确定。和对应法则唯一确定。结果：结果：在不适当的时候、用不适当的方法强调细在不适当的时候、用不适当的方法强调细节，把学生节，把学生“教糊涂了教糊涂了”。l一项调查一项调查（回收有效问卷（回收有效问卷843843份）份）问题：问题：函数概念函数概念的教学重点是什么？图的教学重点是什么？图1 1表示函数吗表示函数吗？结果：结果：91%91%的的教师把求函数的定义域教师把求函数的定义域、值域值域（而不是理解定义域、值域的（而不是理解定义域、值域的意意义）列入义）列入函数概念教学的重点；函数概念教学的重点；8686% %

7、的教师的教师没有没有把让学生明确把让学生明确“函数是函数是描描述变化规律述变化规律的一种数学模型的一种数学模型”作为重点；作为重点；89%89%的教师的教师认为认为图图1 1不能表示函数，原因是不能表示函数，原因是“其中的对应关系不确定其中的对应关系不确定” 概念教学的核心概念教学的核心抽象概括：抽象概括：以典型丰富的实以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念；、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念； 注：背景实例要体现当前概念的数学本质注：背景实例要体现当前概念的数学本质 在此过程中要体现

8、引入新概念的必要性、概念的在此过程中要体现引入新概念的必要性、概念的合理性，感受（领悟）蕴含的思想方法合理性，感受（领悟）蕴含的思想方法 接着再进行概念辨析，才有能把握接着再进行概念辨析，才有能把握“注意事项注意事项”（1 1）教师要搞清本节课的核心任务）教师要搞清本节课的核心任务（2 2）体现必要性）体现必要性（3 3）从典型实例出发引出函数概念）从典型实例出发引出函数概念目的：目的： 加强背景，体现加强背景，体现“函数模型函数模型”思想；思想； 加强概念形成过程；加强概念形成过程； 体现函数的本质：数集之间的对应法则；体现函数的本质：数集之间的对应法则； 在学生头脑中形成丰富的函数例证。在

9、学生头脑中形成丰富的函数例证。 抽象概念的学习要从具体例证开始抽象概念的学习要从具体例证开始 理解抽象概念需要具体例证的支持理解抽象概念需要具体例证的支持案例：函数概念的处理案例：函数概念的处理我们的建议我们的建议典型背景实例典型背景实例归纳、概括归纳、概括获得定义获得定义（3 3）实例的选择）实例的选择 解析式、图象、表格解析式、图象、表格目的目的形成正确的函数概念：形成正确的函数概念： 函数是刻画变量间依赖关系的法则；函数是刻画变量间依赖关系的法则； 不一定都有解析式，即不一定都有解析式，即y= =f( (x) )可以是解析式，可以是解析式，也可以是图，还可以是表格；也可以是图，还可以是表

10、格； 强调函数的三要素强调函数的三要素集合对应语言。集合对应语言。（4 4）归纳概括出定义）归纳概括出定义（5 5）函数概念的辨析函数概念的辨析以实例（正例、以实例（正例、反例）反例） 为为载体分析关键词的含义载体分析关键词的含义；反例：下图是一只蚂蚁在矩形的墙面上爬行图，蚂蚁离地的反例：下图是一只蚂蚁在矩形的墙面上爬行图，蚂蚁离地的高度高度h是离起点的水平距离是离起点的水平距离t的函数吗？为什么？的函数吗？为什么？离地高度h/cm2水平距离t/cm 1 2 6 4 5 61345 3.正例：蚂蚁离起点的水平距离正例：蚂蚁离起点的水平距离t是离地的高度是离地的高度h的函数的函数吗？为什么？吗？

11、为什么？（6）函数概念的精致化）函数概念的精致化核心：进一步加深对核心：进一步加深对“数集之间的对应法则数集之间的对应法则”的理解的理解 再次与初中函数的再次与初中函数的“变量说变量说”进行比较进行比较 三种表示法三种表示法 基本初等函数模型基本初等函数模型 函数拟合函数拟合案例：反比例函数的概念案例：反比例函数的概念 匀速运动路程固定，速度与时间的关系；商品总价固定，匀速运动路程固定，速度与时间的关系；商品总价固定，单价与商品数量的关系；长方形面积固定，长与宽的关系单价与商品数量的关系；长方形面积固定，长与宽的关系； 让学生概括共同本质特征（函数关系，反比例关系）；让学生概括共同本质特征（函

12、数关系，反比例关系）； 下定义下定义给出反比例函数的文字和符号描述；给出反比例函数的文字和符号描述； 辨析：从反比例关系、函数两方面辨析概念，注意反例的辨析：从反比例关系、函数两方面辨析概念，注意反例的使用，如让学生思考函数使用，如让学生思考函数y=1/xy=1/x2 2是不是反比例函数；是不是反比例函数； 例题例题用概念作判断的用概念作判断的“操作步骤操作步骤”，强调，强调“自变量自变量x x与相应的函数值与相应的函数值y y是否成反比例关系是否成反比例关系”，可以用反例让学，可以用反例让学生分析，使学生进一步明确生分析，使学生进一步明确“求反比例函数求反比例函数”的含义；的含义； 通过与一

13、般函数概念、正比例函数概念等比较，进一步明通过与一般函数概念、正比例函数概念等比较，进一步明确反比例函数反映了确反比例函数反映了“一类事物一类事物”的变化规律，使学生逐的变化规律，使学生逐步学会用反比例函数刻画事物的变化规律。步学会用反比例函数刻画事物的变化规律。案例：锐角三角函数的概念案例：锐角三角函数的概念(必要、合理、思想性必要、合理、思想性) 数学的发展来源于实际需要或数学内部的需要为了体数学的发展来源于实际需要或数学内部的需要为了体现现学习锐角三角函数是学习锐角三角函数是“必要必要的的” 和和“合理合理的的”，注意从实，注意从实际问题或数学问题出发，通过创设适当情境加以引入际问题或数

14、学问题出发，通过创设适当情境加以引入实际问题实际问题+数学内部需要，引出进一步数学内部需要，引出进一步研究直角三角形中边角研究直角三角形中边角之间的关系之间的关系问题；问题；从什么角度研究直角三角形中边角之间的关系，以及建立边与从什么角度研究直角三角形中边角之间的关系，以及建立边与角之间的何种关系，是引入锐角三角函数时的首要问题，也是角之间的何种关系，是引入锐角三角函数时的首要问题，也是关键环节为此，教科书设置了修建扬水站时需要准备多长水关键环节为此，教科书设置了修建扬水站时需要准备多长水管的实际问题，在解决这个实际问题的过程中，需要用到结论管的实际问题，在解决这个实际问题的过程中，需要用到结

15、论“在直角三角形中，在直角三角形中， 角所对的边是斜边的一半角所对的边是斜边的一半”，其等价形式，其等价形式为为“在直角三角形中，在直角三角形中， 角所对的边与斜边的比总是常数角所对的边与斜边的比总是常数 ”，后者反映了直角三角形中后者反映了直角三角形中 锐角和该角的对边与斜边的比之间的锐角和该角的对边与斜边的比之间的对应关系；由此获得启示，建立直角三角形中边角之间的关系对应关系；由此获得启示，建立直角三角形中边角之间的关系，可以通过研究锐角和它的对边与斜边的比之间的关系进行，可以通过研究锐角和它的对边与斜边的比之间的关系进行，从而引出研究直角三角形中边角关系的具体内容和方式从而引出研究直角三

16、角形中边角关系的具体内容和方式 主要主要教学目标是使学生探究并理解锐角三角函数的概念，教学目标是使学生探究并理解锐角三角函数的概念，经历实际问题引入经历实际问题引入研究特殊直角三角形研究特殊直角三角形研究一般研究一般直角三角形直角三角形给出锐角正弦概念的定义过程，探究直角给出锐角正弦概念的定义过程，探究直角三角形中锐角的对边与斜边的比值的不变性这样的探究三角形中锐角的对边与斜边的比值的不变性这样的探究过程可以帮助学生理解锐角三角函数的内涵：锐角三角函过程可以帮助学生理解锐角三角函数的内涵：锐角三角函数建立了直角三角形中边与角之间的关系，具体地，在直数建立了直角三角形中边与角之间的关系，具体地，

17、在直角三角形中，对于一个确定的锐角，它的正弦、余弦、正角三角形中，对于一个确定的锐角，它的正弦、余弦、正切分别表示这个锐角的对边与斜边之比、邻边与斜边之比切分别表示这个锐角的对边与斜边之比、邻边与斜边之比、对边与邻边之比，它们分别都是确定的值、对边与邻边之比，它们分别都是确定的值 通过从实际问题或数学问题出发，并运用数学的思维方式通过从实际问题或数学问题出发，并运用数学的思维方式进行思考，引入进行思考，引入锐角三角函数锐角三角函数，使学生从中感悟研究数学，使学生从中感悟研究数学、学习数学的重要方法，增强发现和提出问题的能力、分、学习数学的重要方法，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力

18、，也积累了数学活动经验析和解决问题的能力，也积累了数学活动经验案例：函数单调性定义的案例：函数单调性定义的“注意事项注意事项” 大家能说说吗？大家能说说吗？函数性质的讨论函数性质的讨论 加强研究方法的引导加强研究方法的引导 变化之中保持的变化之中保持的“不变性不变性”就是性质；变化过就是性质；变化过程中出现的规律性就是性质。现实世界中的某程中出现的规律性就是性质。现实世界中的某些变化会随着时间的推移而有增有减、有快有些变化会随着时间的推移而有增有减、有快有慢，有时达到最大值有时处于最小值慢，有时达到最大值有时处于最小值这些这些现象反映到数学中，就是函数值随自变量的增现象反映到数学中，就是函数值

19、随自变量的增加而增加还是减少、什么时候函数值最大、什加而增加还是减少、什么时候函数值最大、什么时候函数值最小么时候函数值最小这就是我们要研究的函这就是我们要研究的函数性质数性质“单调性单调性”“”“最大值最大值”“”“最小值最小值”。高中阶段接触的函数性质：高中阶段接触的函数性质： 函数的增与减（单调性）函数的增与减（单调性）重点重点 函数的最大值、最小值函数的最大值、最小值 函数的增长率、衰减率函数的增长率、衰减率 函数增长（减少）的快与慢函数增长（减少）的快与慢 函数的零点函数的零点 函数（图象）的对称性（奇偶性）函数（图象）的对称性（奇偶性） 函数值的循环往复（周期性）函数值的循环往复（

20、周期性） 案例：函数的单调性案例：函数的单调性 加强几何直观、数形结合加强几何直观、数形结合“三步曲三步曲” 观察图象观察图象 ， 描述变化规律描述变化规律 （上升、下降）（上升、下降） 结合图、表，用自然语言描述变化规律（结合图、表，用自然语言描述变化规律（y随随x的增大而增大或减小），在此过程中，也体现的增大而增大或减小），在此过程中，也体现了必要性；了必要性； 用数学符号语言描述变化规律用数学符号语言描述变化规律单调性小结单调性小结 体现思想性体现思想性 如何研究函数，即研究什么。如何研究函数，即研究什么。 体现必要性体现必要性 通过通过“数学实例数学实例”加强概念形成过程加强概念形成过

21、程 抽象概括出本质抽象概括出本质特征特征 辨析辨析以实例（正例、反例）为载体分析关键以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义词的含义； 用单调性作判断的具体实例用单调性作判断的具体实例形成用概形成用概念作判断的具体步骤念作判断的具体步骤 证明：函数证明：函数 在在（0 0，+ +）内单调递增内单调递增。 精致化（后续学习）精致化（后续学习） 与奇偶性等函数其他性质的联系，进一步研究基与奇偶性等函数其他性质的联系，进一步研究基本初等函数的单调性，用导数工具研究初等函数的本初等函数的单调性，用导数工具研究初等函数的单调性单调性2( )f xx=另一类案例另一类案例 直线与平面垂直的定义直线与平面

22、垂直的定义 先让通过实例，如电线杆与它在地面上的影子之间先让通过实例，如电线杆与它在地面上的影子之间的位置关系，让学生的位置关系，让学生“直观感受直观感受”这种位置关系，这种位置关系，给出定义，把主要精力放在对给出定义，把主要精力放在对“合理性合理性”的认识上，的认识上，通过正、反例理解定义的关键词。通过正、反例理解定义的关键词。 必须向学生交待清楚：用必须向学生交待清楚：用“说得清道得明说得清道得明”的几何的几何关系（即关系（即“直线与直线垂直直线与直线垂直”）来定义）来定义“无法说清无法说清”的几何关系（即的几何关系（即“直线与平面垂直直线与平面垂直”）是化归的方）是化归的方法，一种公理化

23、思想，学生则只要采用接受式学习法，一种公理化思想，学生则只要采用接受式学习方式即可。方式即可。概念教学的基本环节概念教学的基本环节 适度体现必要性、合理性与思想性适度体现必要性、合理性与思想性 典型丰富的具体例证典型丰富的具体例证属性的分析、比较、综合；属性的分析、比较、综合； 概括共同本质特征得到概念的本质属性；概括共同本质特征得到概念的本质属性；( (核心）核心） 下定义（准确的数学语言描述）；下定义（准确的数学语言描述）； 概念的辨析概念的辨析以实例（正例、反例）为载体分析关以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义；键词的含义； 用概念作判断的具体实例用概念作判断的具体实例形成用概念作

24、判断的具形成用概念作判断的具体步骤；体步骤； 概念的概念的“精致精致”建立与相关概念的联系建立与相关概念的联系, ,在概念的在概念的系统中学习概念，系统中学习概念，建立概念的建立概念的“多元联系表示多元联系表示”。函数奇偶性的教学函数奇偶性的教学 急功近利的做法急功近利的做法（1）给出函数）给出函数y=x2和和y=x的图象，并提出问的图象，并提出问题：如果从图象的对称性观察，两个图象题：如果从图象的对称性观察，两个图象各有什么特点？各有什么特点？（2）给表格并提问：数量关系上有何特征？）给表格并提问：数量关系上有何特征？（3）能否描述一下函数）能否描述一下函数y=x2的特征？的特征？ 学生的回

25、答：对于学生的回答：对于y=x2，当，当x取任意数时取任意数时y都都取正数；函数图像关于取正数；函数图像关于y轴对称；自变量取轴对称；自变量取一对相反数时，函数值相等；一对相反数时，函数值相等；（4）对于定义域内任意一个）对于定义域内任意一个x，是否都有，是否都有 f(x)f(x)？（5）能否描述一下偶函数的定义？）能否描述一下偶函数的定义？“一个函数打天下一个函数打天下”，缺乏概括的基础。，缺乏概括的基础。注重概括过程的做法注重概括过程的做法 典型、丰富的例证典型、丰富的例证不止一个：不止一个：y=x2，y=|x|， y=x22； 从观察图象、概括共同特征入手；从观察图象、概括共同特征入手；

26、 列表，从数的角度描述特征；列表，从数的角度描述特征； 形、数对照形、数对照从形到数从形到数用函数符号语言用函数符号语言描述特征；描述特征； 概念的精致：内涵、外延的深加工，概念要素概念的精致：内涵、外延的深加工，概念要素的具体界定；组织的具体界定；组织建立相关知识的联系。建立相关知识的联系。概念教学还应揭示蕴含的思想方法概念教学还应揭示蕴含的思想方法案例：曲线与方程案例：曲线与方程高中观摩课高中观摩课 忽视引入概念的必要性忽视引入概念的必要性 从已学（非典型从已学（非典型）直线的方程出发，平铺直叙，学直线的方程出发，平铺直叙，学生不知目的，也不易理解生不知目的，也不易理解 忽视与已有知识的联

27、系性（直线的方程、圆的方程忽视与已有知识的联系性（直线的方程、圆的方程、函数与图象）、函数与图象） 对这个概念在解析几何中的作用认识不足对这个概念在解析几何中的作用认识不足 本质上没有真正理解数学本质上没有真正理解数学对概念本身理解不到位对概念本身理解不到位另一种上法另一种上法 引例引例ABC的顶点分别是的顶点分别是A（2，3），），B(4，0)，C（4，0），求），求BC边上中线的方程边上中线的方程 由此引发学生的思考与讨论由此引发学生的思考与讨论 生生：BC边上的中线的方程边上的中线的方程是是3x2y0 师师：都是这个结果吗？：都是这个结果吗？ 该该生或其他学生：还有生或其他学生：还有x0

28、，2 师师：凭什么说：凭什么说“BC边上中线的方程边上中线的方程”就是就是“3x2y0，x0，2”，而不是，而不是“3x2y0”呢呢？ 生：生：3x2y0表示一条直线，而表示一条直线，而“BC边边上的中线上的中线”是一条线段应该有范围是一条线段应该有范围 师：对这里的师：对这里的“曲线曲线”指什么？指什么？“BC边边上的中线上的中线”，它是一条线段而方程，它是一条线段而方程3x2y0表示一条直线，并不是这一条线段表示一条直线，并不是这一条线段 “方程方程”不仅指不仅指“等式等式”，还包括变量的，还包括变量的取值范围！方程也有取值范围！方程也有“定义域定义域” 为什么说为什么说“方程方程3x2y

29、0，x0，2”就成了就成了“BC上的中线上的中线”的方程了呢？它们的方程了呢？它们到底是一个什么关系？到底是一个什么关系？ 生：生：“BC上的中线上的中线”上的点的坐标都能够上的点的坐标都能够满足这个方程满足这个方程 师师：有其他的点的坐标满足这个方程吗？：有其他的点的坐标满足这个方程吗？ 生：没有生：没有 师：反过来呢？师：反过来呢？ 生：以方程生：以方程“3x2y0，x0，2”的的解为坐标的点都在解为坐标的点都在“BC边上的中线边上的中线”上上 师：有没有在其他地方的呢？师：有没有在其他地方的呢？ 生：没有生：没有师：这样一来，师：这样一来，“BC边上的中线边上的中线”这条这条“曲曲线线”

30、（我们把线段也说成曲线）与方程（我们把线段也说成曲线）与方程“3x2y0，x0，2”就建立了一种关系就建立了一种关系这种关系就是，这种关系就是，BC边上的中线边上的中线这条线段这条线段上的坐标都满足方程，而以方程上的坐标都满足方程，而以方程“3x2y0，x0，2”的解为坐标的点都在的解为坐标的点都在“BC边边上的中线上的中线”上上意图：意图：以以一一个个典型的、典型的、简单简单的例子为的例子为载体载体，解剖解剖一个一个“麻雀麻雀”，让学生体验让学生体验“曲线曲线”与与“方程方程”之间的之间的关系关系 丰富实例，增强丰富实例，增强体验体验 回答回答下列问题：下列问题： （1）在直角坐标系中，平分

31、第一、三象限的直）在直角坐标系中，平分第一、三象限的直线的方程是什么？为什么？线的方程是什么？为什么？（2）你能够说明为什么以）你能够说明为什么以C（a，b）为圆心）为圆心，r为半径的圆的方程是（为半径的圆的方程是（xa）2+（yb）2=r2吗？吗？ 意图意图：以学生熟悉的事例体验以学生熟悉的事例体验“曲线曲线”与与“方方程程”之间之间的的 关系关系，为抽象、概括做准备，为抽象、概括做准备 概括曲线与方程的概括曲线与方程的概念概念 方程方程f（x，y） 0（代数）要能够称为曲（代数）要能够称为曲线线C（几何）的方程，需要满足什么样的条（几何）的方程，需要满足什么样的条件？件？ （概念建立的合理

32、性）（概念建立的合理性） 方程方程f（x，y） 0（代数）要能够称为曲（代数）要能够称为曲线线C（几何）的方程，需要满足条件：（几何）的方程，需要满足条件：（1）曲线）曲线C上的点的坐标都是方程上的点的坐标都是方程f（x，y） 0的解；的解；（2）以方程）以方程f（x，y） 0的解为坐标的点的解为坐标的点都在曲线都在曲线C上上在此基础上，给出定义。在此基础上，给出定义。 精致精致化（化（1） 在在直角坐标系中：直角坐标系中： 几何几何 代数代数点点M 坐标（坐标（x，y） （一一对应）（一一对应） 动（点动（点M规则运动）规则运动） （x，y相互约束）相互约束）曲线曲线C 方程方程f（x，y）

33、 0点点M（x，y）在曲线）在曲线C上上 坐标坐标（x，y）满）满足方程足方程f（x，y） 0 用集合的语言认识曲线与方程的关系用集合的语言认识曲线与方程的关系 设集合设集合C=M|点点M在曲线在曲线C上上；集合；集合F=（x，y）|f（x，y）=0 条件（条件（1）即）即C F；条件（；条件（2）即）即F C合起来即合起来即C=F即：即：只有当曲线只有当曲线C上的点构成的集合与方程上的点构成的集合与方程f（x，y）的解为坐标的点构成的集合完全一）的解为坐标的点构成的集合完全一致时，曲线致时，曲线C才能称为方程才能称为方程f（x，y）的曲线）的曲线，方程，方程f（x，y）才能称为曲线）才能称为

34、曲线C的方程的方程 进而初步揭示出在解析几何中的地位与作进而初步揭示出在解析几何中的地位与作用用 后续再来探讨后续再来探讨“函数及其图象函数及其图象”和和“曲线曲线与方程与方程”的关系的关系三、概念课的教学设计举例三、概念课的教学设计举例“数轴数轴”教学设计教学设计（一）内容和内容解析（一）内容和内容解析 数轴是初中数学的核心概念，它是数形结合思想的产物，数轴是初中数学的核心概念，它是数形结合思想的产物，是把数和形统一起来的第一次尝试数轴建立了直线上的点与是把数和形统一起来的第一次尝试数轴建立了直线上的点与实数的对应，是一维的坐标系数轴使数的概念和基本运算可实数的对应，是一维的坐标系数轴使数的

35、概念和基本运算可以与位置、方向、距离等统一起来，使数有了直观意义这不以与位置、方向、距离等统一起来，使数有了直观意义这不仅有助于对数的概念的理解，而且还可以从中得到启发而提出仅有助于对数的概念的理解，而且还可以从中得到启发而提出新的问题（例如，相反数、绝对值、大小比较等）新的问题（例如，相反数、绝对值、大小比较等） 用数轴上的点表示实数，就是要使任意一个实数能用唯一用数轴上的点表示实数，就是要使任意一个实数能用唯一确定的点表示，同时，任意一个点只能表示一个实数（这样要确定的点表示，同时，任意一个点只能表示一个实数（这样要求的意义需要学生逐渐体会）在这样的要求下，明确规定原求的意义需要学生逐渐体

36、会）在这样的要求下，明确规定原点、方向和单位长度点、方向和单位长度“三要素三要素”是必须而且自然的这时，我是必须而且自然的这时，我们有们有 原点原点0 0（原点是区分方向的（原点是区分方向的“基准基准”，0 0是区分正负的基准是区分正负的基准）单位长度单位长度 1 1（单位长度是度量线段长度的单位，（单位长度是度量线段长度的单位，1 1是实数单是实数单位，位，“单位单位”实际上给出了一个统一的标准）实际上给出了一个统一的标准）方向方向符号符号（空间中，空间中，A A，B B两点两点“位置差别位置差别”的定量化必须且的定量化必须且只需只需“方向方向”和和“长度长度”数轴上，方向只有数轴上，方向只

37、有“左左”“”“右右”两种，可以理解为两种，可以理解为“相反方向相反方向”负数在数轴上与正数具负数在数轴上与正数具有有“相反方向相反方向”，其实际意义就是描述现实中的，其实际意义就是描述现实中的“相反意相反意义的量义的量”确定一个实数，需要确定一个实数，需要“符号符号”和和“绝对值绝对值”两两个要素，它们正好对应了定量化定义个要素，它们正好对应了定量化定义A A，B B两点两点“位置差别位置差别”的的“方向方向”和和“长度长度”）析出析出本课的教学重点是：体会数轴的三要素；体会用数轴本课的教学重点是：体会数轴的三要素；体会用数轴上的点表示数的合理性，感受其中的数形结合思想上的点表示数的合理性，

38、感受其中的数形结合思想（二二）目标目标和目标和目标解析解析1 1目标目标 （1 1）了解数轴的概念，会用数轴上的点表示有理数；）了解数轴的概念，会用数轴上的点表示有理数； （2 2）体会数轴三要素和有理数集（实数集）中）体会数轴三要素和有理数集（实数集）中0 0，1 1和数和数的符号之间的对应关系，从而体会数形结合思想的符号之间的对应关系，从而体会数形结合思想2 2目标解析目标解析 达成目标（达成目标（1 1）的标志是：学生知道数轴是一条规定了原）的标志是：学生知道数轴是一条规定了原点、方向和单位长度的直线；给定一个有理数，学生能在点、方向和单位长度的直线；给定一个有理数，学生能在数轴上找到表

39、示它的点；能画出数轴，并用数轴上的点表数轴上找到表示它的点；能画出数轴，并用数轴上的点表示有理数示有理数 目标（目标（2 2）是）是“内容所蕴含的思想方法内容所蕴含的思想方法”，学生需要体会，学生需要体会的是在的是在“用点表示数用点表示数”时，数轴时，数轴“三要素三要素”保证了点与数保证了点与数的的“一一对应一一对应”给一个数，就有唯一确定的点与之对给一个数，就有唯一确定的点与之对应；反之，给一个点，就有唯一的数与之对应但本节课应；反之，给一个点，就有唯一的数与之对应但本节课只要能体会有理数与数轴上点的对应性，不要刻意强调只要能体会有理数与数轴上点的对应性，不要刻意强调“给一个点，不一定有一个

40、有理数与之对应给一个点，不一定有一个有理数与之对应”（三三）教学教学问题诊断分析问题诊断分析 学生第一次遇到用形表示数的问题，困难在于其中蕴含的学生第一次遇到用形表示数的问题，困难在于其中蕴含的思想可以借鉴引入负数时的经验，也要借鉴学生的生活思想可以借鉴引入负数时的经验，也要借鉴学生的生活经验但在基本思想上，还是要借助于具体情境，教师先经验但在基本思想上，还是要借助于具体情境，教师先讲解，学生获得体验后进行模仿式举例讲解，学生获得体验后进行模仿式举例 本节课中，本节课中，“三要素三要素”及其对于确定及其对于确定“数轴上的点数轴上的点”的意的意义（根据义（根据“三要素三要素”，可以在数轴上找到唯

41、一确定的点，可以在数轴上找到唯一确定的点，否则否则“存在性存在性”“”“唯一性唯一性”就做不到），有理数集（实数就做不到），有理数集（实数集）中集）中0 0，1 1以及数的符号等与数轴上的相关要素的对应性以及数的符号等与数轴上的相关要素的对应性，都需要教师引导，都需要教师引导 本课的教学难点是：数轴本课的教学难点是：数轴“三要素三要素”与有理数集（实数集与有理数集（实数集）中）中0 0，1 1以及数的符号的对应性以及数的符号的对应性（四）教学过程设计（四）教学过程设计 1 1问题情境下的三次概括问题情境下的三次概括 问题问题1 1 在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站在一条东西向的马路

42、上，有一个汽车站牌，汽车站牌往东牌往东3 3和和7.5m7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌往西牌往西3m3m和和4.8m4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境表示这一情境 师生活动：师生活动： 学生小组讨论解决问题的方法，学生代表画学生小组讨论解决问题的方法，学生代表画图演示图演示 学生画图后提问：学生画图后提问： （1 1）马路可以用什么几何图形代表？（直线）马路可以用什么几何图形代表？（直线） （2 2）你认为站牌起什么作用？（基准点）你认为站牌起什么作用？（基准点） （3 3）你是怎么确定问

43、题中各物体的位置的？（方向，与站）你是怎么确定问题中各物体的位置的？（方向，与站牌的距离）牌的距离） 设计意图：设计意图：“三要素三要素”为定向，用直线、点、方向、距离为定向，用直线、点、方向、距离等几何符号表示实际问题这是实际问题的第一次数学抽等几何符号表示实际问题这是实际问题的第一次数学抽象象 说明：学生也可能只用与站牌的距离来表示有不同表示说明：学生也可能只用与站牌的距离来表示有不同表示最好，可以与下面的方法做比较，看哪个更方便最好，可以与下面的方法做比较，看哪个更方便问题问题2 2 上面的问题中，上面的问题中，“东东”与与“西西”、“左左”与与“右右”都具有相反都具有相反意义我们知道，

44、正数和负数可以表示两种具有相反意义的量，那么意义我们知道，正数和负数可以表示两种具有相反意义的量，那么如何用数表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置呢？如何用数表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置呢？学生画图表示后提问：学生画图表示后提问： （1 1）0 0代表什么？（基准点）代表什么？（基准点） （2 2）数的符号的实际意义是什么？（方向）数的符号的实际意义是什么？（方向） （3 3）如图，在一条直线上，）如图，在一条直线上，A A，B B的距离等于的距离等于B B，C C的距离，的距离，B B点用点用3 3表示表示，C C点用点用7.57.5表示，行吗？为什么？（不行，单位不一致，与实际

45、情境表示，行吗？为什么？（不行，单位不一致，与实际情境不符）不符） E D O A B CE D O A B C 4.8 4.8 3 0 1 3 7.53 0 1 3 7.5 （4 4）上述方法表示了这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系例）上述方法表示了这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系例如，如，4.84.8表示位于汽车站牌西侧表示位于汽车站牌西侧4.8 m4.8 m处的电线杆你能自己再举个处的电线杆你能自己再举个例子吗？例子吗？设计意图：设计意图：继续以继续以“三要素三要素”为定向，将点用数表示，实现第二次抽为定向，将点用数表示，实现第二次抽象，为定义数轴概念提供直观基础象，为定义数轴

46、概念提供直观基础 例：例：“数轴数轴”中的三个图中的三个图 三次抽象的过程三次抽象的过程 问题问题3 3 大家都见过温度计吧？你能描述一下温度计的结大家都见过温度计吧？你能描述一下温度计的结构吗？比较上面的问题，你认为它用了什么数学知识？构吗？比较上面的问题，你认为它用了什么数学知识？ 教师可以先解释教师可以先解释0 0度的含义（冰水混合物的温度规定为度的含义（冰水混合物的温度规定为0 0度度温度的基准点）温度的基准点） 设计意图：设计意图：借用生活中的常用工具，说明正数、负数的作借用生活中的常用工具，说明正数、负数的作用引导学生用用引导学生用“三要素三要素”表达，为定义数轴概念提供有表达，为定义数轴概念提供有一个直观基础一个直观基础 问题问题4 4 你能说说上述两个实例的共同点吗？你能说说上述两个实例的共同点吗？ 设计意图：设计意图：进一步明确进一步明确“三要素三要素”的意义，体会的意义，体会“用点表用点表示数示数”和和“用数表示点用数表示点”的思想方法，为定义数轴概念提的思想方法，为定义数轴概念提供进一步的直观基础供进一步的直观基础 2 2定义、辨析数轴概念定义、辨析数轴概念 明确数轴的概念，并请学生带着下列问题阅读教科书：明确数轴的概念，并请学生带着下列问题阅读教科书： （1 1）画数轴的步骤是什么？）画数轴的步骤是什么？ （2 2）根据上述实例的经验，）根据上述实