分类计数原理与分步计数原理

1、 10.1 分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理成都市树人学校 徐刚 问题问题 1. 如图,从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车一天中,火车有3 班, 汽车有2班，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 分析分析: 从甲地到乙地有2类方法, 第一一类方法, 乘火车，有3种方法; 第二二类方法, 乘汽车，有2种方法.所以 ,从甲地到乙地共有3+2=5种方法。 甲 乙火车1火车2火车3汽车1汽车2分类计数原理分类计数原理 完成一件事情完成一件事情, 有有n类办法类办法, 在第在第一类办法中有一类办法中有m1种不同的方法种不同的方法,在第二类办法在第二类办法中

2、有中有m2种不同的方法，种不同的方法，在第，在第n类办法中类办法中有有mn种不同的方法种不同的方法. 那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1+m2+m n种不同的方法。种不同的方法。(注:本原理又称加法原理加法原理) 问题问题2. 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?A村B村C村 分析分析: 从A村经 B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有2种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 2 = 6 种不同的方法。 分步计数原理分步计数原理 完成一件事情完成一件事情, 需要分成需要分

3、成n个步个步骤，做第一步有骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，种不同的方法，做第，做第n步有步有mn种不同种不同的方法的方法,那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1m2mn种不同的方法种不同的方法。(注:本原理又称乘法原理乘法原理.)分类计数原理与分步计数原理的几点说明分类计数原理与分步计数原理的几点说明共同点共同点：它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同的方法。不同点：不同点：加法原理是“分类完成”的, 这些方法间是彼此独立的，即任何一类办法中的任何一个方法都能达到完成这件事的目的。乘法原理是“分步完成”的, 这些方法需要几个分步骤

4、,各个步骤顺次相依,且只有依次完成所有各步，才能达到完成这件事情的目的。因此：在处理具体问题时，必须关注如何才能完成事情。 例1. 某班级三好学生中男生有5人,女生有4人。 (1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？ 分析: (1) 完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有2类办法, 第一类办法, 从男三好学生中任选一人, 共有 m1 = 5 种不同的方法; 第二类办法, 从女三好学生中任选一人, 共有m2 = 4 种不同的方法; 所以,根据加法原理,得到不同选法种数共有N = 5 + 4 = 9。 (2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？应用应用: 分析:

5、 (2) 完成从三好学生中任选男、女各一人去参加 座谈会这件事, 需分2步完成, 第一步,选一名男三好学生,有 m1 = 5 种方法; 第二步, 选一名女三好学生,有 m2 = 4 种方法; 所以, 根据乘法原理, 得到不同选法种数共有 N = 5 4 = 20 种。点评点评: 解题的关键是从总体上看做这件事情是解题的关键是从总体上看做这件事情是 “分类完成分类完成”,还是还是“分步完成分步完成”。“分类完成分类完成”用用“加法原理加法原理”;“分步完成分步完成”用用“乘法原理乘法原理”。 例1. 某班级三好学生中男生有5人,女生有4人。 (1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法. 应用

6、应用: (2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？ 应用: 书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.v(1)从书架上任取一本书,有多少种不同的取法? 分析:分类问题加法原理加法原理 (2)从书架的第1,2,3层各取1本书,有多少种不同的取法? 分析:分步问题 乘法原理乘法原理4+3+2=9432=24例例2. 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成,(1)可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)？变式: 若设置四位、五位、六位、十位等密码,密码数分别有多少种？解:它们

7、的密码种数依次是 104 , 105, 106, 1010 种。 (3)第一位数字不为0的密码数是多少？ (2)第一位数字是0的密码数又是多少？分析:101010=103 (种)解:N=1 10 10=102(种)解:N= 9 10 10 =900(种)第一位数字第二位数字第三位数字练习练习: 1 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m

8、4 = 1 种,所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 2 11 = 6 种。分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理 3.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？甲地乙地丙地丁地 解:从总体上看,由甲到丙有三类不同的走法, 第一类, 由甲经乙去丙,又需分两步, 所以 m1 = 23 = 6 种不同的走法; 第二类, 由甲直接到丙地,有2种不同方法. 第三类, 由甲经丁去丙,也需分两步, 所以 m2 = 42 = 8 种不同的走法;分类计数原理与分步计数原理

9、分类计数原理与分步计数原理所以从甲地到丙地共有N = (23)+(2)+ (42)=16种不同的走法。合理分类准确分步 2.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电？AB分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理N=3 + 1 + 22 = 8解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类, 第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 22 = 4, 条 所以, 根据加法原理, 从A到B共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 条不同的线路可通电。 当然,也可以把并联的4个看成一类,这样也可分2类求解。分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计

10、数原理.ABABm1m1m2m2mnmn点评点评: 我们可以把加法原理看成“并联电路”;乘法原理看成“串联电路”。如图:分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理 请同学们回答下面的问题请同学们回答下面的问题 :1. 本节课学习了那些主要内容？ 答答: 加法原理和乘法原理。 2. 加法原理和乘法原理的共同点是什么？不同点什么？ 答答: 共同点是, 它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同的方法。 不同点是, 它们研究完成一件事情的方式不同, 加法原理是“分类完成”, 即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事。乘法原理是“分步完成”, 即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一

11、步都完成了,才能完成这件事情。这也是本节课的重点。分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理(小结小结)请同学们回答下面的问题请同学们回答下面的问题 :3. 何时用加法原理、乘法原理里呢?答答:完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完成这件事情的方法总数用加法原理。 完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事,则计算完成这件事的方法总数用乘法原理。分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理4. “合理分类合理分类”,“准确分步准确分步”要注意什么呢要注意什么呢? “准确分步”程序要正确。“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;若完成某件事情需n步,则必须且只需依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成。 在运用“加法原理、乘法原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准。在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致