微分几何 2-1曲面的概念PPT精选文档

1、1第二章第二章 曲面论曲面论1曲面的概念曲面的概念简单曲面以及参数表示简单曲面以及参数表示几种观点1、一般式2、显式3、映射观点（与曲线定义类似）:( , , )0F x y z( , )zf x y基本概念若尔当曲线若尔当曲线 平面上不自交的闲曲线初等区域初等区域 -若尔当曲线所围成的有限区域若尔当曲线所围成的有限区域2如果到初等区域初等区域D到三维欧氏空间内建立的对应是一一的，双方连续的在上映射，则我们把三维欧氏空间中的象称为简单曲面23:fDEE称 为 的称 为曲面的u和v称 象称为 34),(zr , Gzv, ,20 z ),(0zr zRR0,sin,cos z zRRzr,sin

2、,cos),(000 曲线（z=常数）即它是垂直于轴的平面和原柱面的交线，它们都是圆。曲线（ 是常数）即:它是原柱面上的直母线。设 是长方形区域 cos ,sin , RRz常见曲面圆柱面的参数表示 5),( rr ,coscos R sin,sincos RRG ),( 22 . 20 u v ),(0 r coscos0R sincos0Rsin0 R ),(0 r 0coscosRsin,sincos0 R球面的参数表示为：是一个长方形区域：坐标曲线是坐标曲线是曲线曲线= =常数），即常数），即 ，是球面上等纬度的圆是球面上等纬度的圆纬线纬线，曲线曲线：它是球面上过两极的半圆它是球面上过

3、两极的半圆经线（子午线）经线（子午线）。 = ， ，6旋转面把xz平面上一条曲线：x =绕z轴旋转，得旋转面x = ，y= ,，71定义：如果曲面 有直到 阶连续偏微商，则称为K阶正则曲面，或 曲面。当 时， 此曲面又称为光滑曲面2 u线v线表示kC1k k(rr u：，v）. u线：. v线u-线的切向量v-线的切向量8定义定义 曲面 的点P是正则点正则点(正常点正常点)若有00(uvr ur u00，v ），v ） 000(uvr ur u00，v ），v ） 000（u ，v ）正则曲面: 处处是正则点的曲面. 曲面的正规坐标网：若则存在 的一个邻域U，使得U内每一点有 (uvr ur，

4、v ） （u ，v ） 0命题1：曲面在正则点的邻域中总可以有形如 z = z(x, y)的表示因为 ，至少有一分量不为零(uvr ur，v ） （u ，v ） 0此时U内两坐标曲线构成的网为曲面的正规坐标网9假设 则有隐函数存在定理有唯一一对单值连续函数代入则有z = z(x, y)0（x，y），（u，v）uu xvv xy（ ，y），（ ， ）命题2：曲面在正常点某个的邻域内点都是正常点曲面上一点P0处的切方向(方向): 上的经过 P的曲线在P0的切方向.（切方向很多） 曲面 ：r r = r r(u, v)上曲线的(曲纹)坐标式参 数方程-: u = u(t)，v = v(t).的向量式

5、参数方程:r = r(u(t), v(t) = r(t). （一个 参数）10曲线的切向量曲线的切向量也可写为曲线r = r(u(t), v(t) = r(t)其切方向uvuvdrr dur dvdudvdvdurrrrdtu dtv dtdtdtdtdv，r（）uvdrr dur dv在正常点所有切向量都有可定成u线v线切向的组合都有在由u线v线切向确定的平面上，称此平面为曲面在这一点的切平面命题2 曲面上正常点的所有切方向都在过该点的坐标曲线的切向量所决定的切平面上 11从上可以看出曲面上一点的一个切方向由du:dv值完全确定，切方向也可表示成 , 或 二者视为同一方向. 例如, du:d

6、v = (-2):3表方向, 也表方向 ， 二者视为同一方向. 曲面S 一点 处切平面的方为：其中 是切平面上一点的向径 ),(vurr ),(00vup),(00vurR 0),(),(0000 vurvurvv),(ZYXR:,坐标形式为：0),( ),( ),(),( ),( ),(),( ),( ),(000000000000000000 vuzvuyvuxvuzvuyvuxvuvuvuvvvuuuzZyYxXuvdrr dur dvuvdrr dur dv 23drdudv 23drdudv12法向：垂直于切平面的方向法向：垂直于切平面的方向 法线：经过曲面上的一点并平行于法方向的直

7、线法线：经过曲面上的一点并平行于法方向的直线 法向量法向量:单位法向量：单位法向量：法线的方程为法线的方程为其中其中R（X，Y，Z）是线上任一点的向径，是线上任一点的向径， 参数。参数。用坐标形式表达的法线的方程为：用坐标形式表达的法线的方程为： uvNrruvRrrr（）),(),(,(),(0000000)0vurvurvurvurvuvun ),(),(),(),(),(0000000000vuzvuyvuzvuyvuvvuuxX ),(),(),(),(),(0000000000vuxvuzvuxvuzvuvvuuyY ),(),(),(),(),(0000000000vuyvuxvu

8、yvuxvuvvuuzZ = = 13 ),(vrr , v 3 , 2 , 1)2 , 1( r )2 , 1(ru 2 , 1 , 1, 1 , 1)2,1( )2 , 1(rv 1 , 1, 1, 1, 1)2,1( )2,1()2 , 1(rrrrvuvun )2,1(|242, 2, 1 , 3141 )2 , 1(rR. 0)2 , 1( n =过点（1，2）的切平面方程是 即3x+y-2z-4=0.例：求求S 在点在点(1,2)处的单处的单位法向量及切平面的方程。位法向量及切平面的方程。 解：14),(vurr )(),(tvvtu ,turr trtv uv vu 0),( vuf3. 3. 曲面上的曲线族和曲线网曲面上的曲线族和曲线网S S上的曲线用方程上的曲线用方程曲面曲面消去t得 或 或 微分方程微分方程 表示曲面上的一表示曲面上的一族曲线，族曲线，特别地当特别地当 方程变为方程变为它表示曲面上的它表示曲面上的u曲线族（曲线族（v=常数）。常数）。当当 它表示曲面上的它表示曲面上的v曲线族曲线族 (v族族) duvuA),(0),( dvvuB0, 0 BA0 dv0, 0 BA0 du或u=（v，c）152),(duvuAdudvvuB),(