空间几何体的表面积和体积

1、1.3 1.3 简单几何体的表面积和体积简单几何体的表面积和体积回忆复习有关概念回忆复习有关概念1、直棱柱：、直棱柱：2、正棱柱：、正棱柱：3、正棱锥：、正棱锥：4、正棱台：、正棱台：侧棱和底面侧棱和底面垂直垂直的棱柱叫直棱柱的棱柱叫直棱柱底面是正多边形的底面是正多边形的直直棱柱叫正棱柱棱柱叫正棱柱底面是正多边形，底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心顶点在底面的射影是底面中心的棱锥的棱锥正棱锥正棱锥被平行于底面的平面所截，被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫正棱台截面和底面之间的部分叫正棱台作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出出斜高

2、斜高CBAA1B1C1COBAPDC1D1A1ODBACB1斜高的概念2、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台，并找出旋转轴、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台，并找出旋转轴分别经过旋转轴作一个平面，观察得到的轴截面是分别经过旋转轴作一个平面，观察得到的轴截面是 什么形状的图形什么形状的图形.ABCDABCABCD直棱柱：设棱柱的高为直棱柱：设棱柱的高为h，底面多边形的周长为，底面多边形的周长为c，则则S直棱柱侧直棱柱侧 .圆柱：如果圆柱的底面半径为圆柱：如果圆柱的底面半径为r，母线长为，母线长为l，那么，那么S圆柱侧圆柱侧 .ch2rl知识点一：柱、锥、台、球的表面积与侧面积知识点一：柱、锥、台、球的表面

3、积与侧面积(1)柱体的侧面积把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？chhcbaS )（直棱拄侧直棱拄侧habcabchh思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图展开的图形与原图 有什么关系？有什么关系？rlr2 长长宽宽llSSr2 长长方方形形圆圆柱柱侧侧 正棱锥：设正棱锥底面正多边形的周长为正棱锥：设正棱锥底面正多边形的周长为c，斜，斜高为高为h，则，则S正棱锥侧正棱锥侧 .圆锥：如果圆锥的底面半径为圆锥：如果圆锥的底面半径为r，母线长为，母线长为l，那，

4、那么么S圆锥侧圆锥侧 .12chrl(2)锥体的侧面积锥体的侧面积把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？hh21chS正棱锥侧正棱锥侧思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图展开的图形与原图 有什么关系？有什么关系？rl180lnl 扇扇lR 扇扇rllllnSS 扇扇扇扇圆圆锥锥侧侧213602 正棱台：设正正棱台：设正n棱台的上底面、下底面周棱台的上底面、下底面周长分别为长分别为c、c，斜高为，斜高为h，则正，则正n棱台的侧面积公棱台的侧面积公式：式：S正

5、棱台侧正棱台侧 . 圆台：如果圆台的上、下底面半径分别为圆台：如果圆台的上、下底面半径分别为r、r，母线长为，母线长为l，则，则S圆台侧圆台侧 12(cc)hl(rr)(3)台体的侧面积台体的侧面积注注：表面积侧面积底面积：表面积侧面积底面积把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？hh) 21hccS （正棱台侧正棱台侧思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图展开的图形与原图 有什么关系？有什么关系？1r2rllrrSS)21 （扇环扇环圆台侧圆台侧 例1：一个

6、正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台的侧面积. 分析：关键是求出斜高，注意图中的直角梯形ABCC1A1B1O1ODD1E例3：圆台的上、下底面半径分别为2和4，高为 ，求其侧面展开图扇环所对的圆心角32分析：抓住相似三角形中的相似比是解题的关键小结：1、抓住侧面展开图的形状，用好相应的计算公式，注意逆向用公式； 2、圆台问题恢复成圆锥图形在圆锥中解决圆台问题，注意相似比.答：1800例：圆台的上、下底半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是1800，那么圆台的侧面积是多少？（结果中保留）小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键；

7、2、对应的面积公式)cc21hS（正正棱棱台台C=021chS三三棱棱锥锥C=CchchS 直直棱棱柱柱S圆柱侧= 2rlS圆锥侧= rlS圆台侧=（r1+r2)lr1=0r1=r2例1：一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，则其侧面积为 _;答：60例2：正四棱锥底面边长为6 ,高是4，中截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台，求棱台的侧面积79答： 例例3 已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面，各面均为等边三角形的四面体体S-ABC，求它的表面积，求它的表面积 DBCAS 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成组成因为

8、因为BC=a，aSBSD2360sin所以：所以： 243232121aaaSDBCSABC因此，四面体因此，四面体S-ABC 的表面积的表面积交交BC于点于点D解：先求解：先求 的面积，过点的面积，过点S作作 ，ABCBCSD 例例4(2010年广东省惠州市高三调研年广东省惠州市高三调研)如图，已如图，已知正三棱柱知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长是的底面边长是2，D，E是是CC1，BC的中点，的中点，AEDE.(1)求此正三棱柱的侧棱长；求此正三棱柱的侧棱长；(2)正三棱柱正三棱柱ABCA1B1C1的表面积的表面积【思路点拨思路点拨】(1)证明证明AED为直为直角三角形，然后求侧棱长；

9、角三角形，然后求侧棱长；(2)分别求出分别求出侧面积与底面积侧面积与底面积【点评点评】求表面积应分别求各部分面的面积，所求表面积应分别求各部分面的面积，所以应弄清图形的形状，利用相应的公式求面积，规则的图以应弄清图形的形状，利用相应的公式求面积，规则的图形可直接求，不规则的图形往往要再进行转化，常分割成形可直接求，不规则的图形往往要再进行转化，常分割成几部分来求几部分来求思考：怎样求斜棱柱的侧面积？ 1）侧面展开图是 平行四边形 2）S斜棱柱侧=直截面周长侧棱长 3） S侧侧=所有侧面面积之和所有侧面面积之和1高考中对几何体的表面积的考查一般在客观题中，高考中对几何体的表面积的考查一般在客观题

10、中，借以考查空间想象能力和运算能力，只要正确把握几何体借以考查空间想象能力和运算能力，只要正确把握几何体的结构，准确应用面积公式，就可以顺利解决的结构，准确应用面积公式，就可以顺利解决几何体的表面积问题小结几何体的表面积问题小结2多面体的表面积是各个面的面积之和圆柱、多面体的表面积是各个面的面积之和圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和的面积之和3几何体的表面积应注意重合部分的处理几何体的表面积应注意重合部分的处理(1)长方体的体积长

11、方体的体积V长方体长方体abc .(其中其中a、b、c为长、宽、高，为长、宽、高，S为底面为底面积，积，h为高为高)(2)柱体柱体(圆柱和棱柱圆柱和棱柱)的体积的体积V柱体柱体Sh.其中，其中，V圆柱圆柱r2h(其中其中r为底面半径为底面半径)Sh知识点二柱、锥、台、球的体积知识点二柱、锥、台、球的体积(3)锥体锥体(圆锥和棱锥圆锥和棱锥)的体积的体积V锥体锥体 Sh.其中其中V圆锥圆锥 ， r为底面半径为底面半径13r2h(4)台体的体积公式台体的体积公式V台台h(SS)注：注：h为台体的高，为台体的高，S和和S分别为上下分别为上下两个底面的面积两个底面的面积其中其中V圆台圆台 注：注：h为

12、台体的高，为台体的高，r、r分别为上、分别为上、下两底的半径下两底的半径(5)球的体积球的体积V球球 .13h(r2rrr2)13R3例从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥ABCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？1求空间几何体的体积除利用公式法外，还求空间几何体的体积除利用公式法外，还常用分割法、补体法、转化法等，它们是解决一常用分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算问题的常用方法些不规则几何体体积计算问题的常用方法几何体的体积小结几何体的体积小结2计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件找出相应的底面面积和高

13、，要充分利用多面体条件找出相应的底面面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题问题第一步：分割第一步：分割O O球面被分割成球面被分割成n n个网格，个网格， 表面积分别为：表面积分别为：nSSSS.321，则球的表面积则球的表面积：nSSSSS.321则球的体积为：则球的体积为：设设“小锥体小锥体”的体积的体积为：为：iViVnVVVVV.321iSO O知识点三、球的表面积和体积知识点三、球的表面积和体积（O O第二步：求近似和第二步：求近似和O Oih由第一步得由第一步得：nVVVVV.321nnhShShShS

14、V31313131332211.iiihSV31iSiV第三步：转化为球的表面积第三步：转化为球的表面积RSVii31 如果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: :RSRSRSRSVni3131313132.RSSSSSRni313132).( 由由 得得: :334RV 球的体积球的体积: :2 24 4R RS S iSiVih的值就趋向于球的半径的值就趋向于球的半径R RRihiSO OiV“小锥体小锥体”就越接近小棱锥。就越接近小棱锥。设球的半径为设球的半径为R，则球的体积公式为，则球的体积公式为V球球 .43R3例例1(2009年高考上海卷年高考上海卷)若球若球O1、O2表表面积

15、之比面积之比4，则它们的半径之比，则它们的半径之比_.(1)(1)若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2 2倍倍, ,则半径变为原来的则半径变为原来的倍。倍。(2)(2)若球半径变为原来的若球半径变为原来的2 2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的倍。倍。(3)(3)若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:21:2，则其体积之比是，则其体积之比是。(4)(4)若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是。例例2 2：2422:134: 1例例3.3.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱

16、长为的棱长为a,a,它的各个它的各个顶点都在球顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。略解：2222211113423,)2()2(22:aRSaRaaRaDBRDBDDBRt得得：，中中变题变题1.1.如果球

17、如果球O O和这个正方体的六个面都相切，则有和这个正方体的六个面都相切，则有S=S=。变题变题2.2.如果球如果球O O和这个正方体的各条棱都相切，则有和这个正方体的各条棱都相切，则有S=S=。2a2 2 a 关键关键：找正方体的棱长找正方体的棱长a a与球半径与球半径R R之间的关系之间的关系OABCO 例例4已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距离的距离等于球半径的一半，且等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体，求球的体积，表面积积，表面积解：如图，设球解：如图，设球O半径为半径为R，截面截面 O的半径为的半径为r，r332AB2332AO

18、是正三角形，是正三角形，ABCROO ,2 例例5、有三个球、有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一一球切于正方体的各侧棱球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的一球过正方体的各顶点各顶点,求这三个球的体积之比求这三个球的体积之比.作轴截面作轴截面规律方法总结1直棱柱的侧面展开图是一些矩形，正棱锥的侧面展开图直棱柱的侧面展开图是一些矩形，正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，正棱台的侧面展开图是一些全等的是一些全等的等腰三角形，正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形等腰梯形2斜棱柱的侧面积等于它的直截面斜棱柱的侧面积等于它的直截面(垂直于侧棱并与每条垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面侧棱都相交的截面)的周长与侧棱长的乘积的周长与侧棱长的乘积3如果直棱柱的底面周长是如