矩阵的特征值与特征向量 - 特征值与特征向量的概念ppt课件

1、跳转到第一页第第4 4章章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量4-1a 4-1a 特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的概念 和计算和计算 4-1b 4-1b 特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质4.2 4.2 相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化 4.3 4.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量跳转到第一页4-1a 4-1a 特征值与特征向量的特征值与特征向量的 概念和计算概念和计算跳转到第一页一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念A(1) 则称则称为的特征值，称为的特征值，称为的属于特征值为的属于特征值的特征向量一个特征值具有的

2、特征向量不唯一的特征向量一个特征值具有的特征向量不唯一. .-3 2 A=-2 2-3 2A-2 2AA2,2,124221212212 例例如如 设设存存在在使使得得 称称是是 的的一一个个特特征征值值, ,是是 的的属属于于特特征征值值的的一一个个特特征征向向量量. .跳转到第一页2-AnEAA 定定义义设设 为为 阶阶矩矩阵阵, ,将将含含数数 的的矩矩阵阵称称为为 的的特特征征矩矩阵阵. .-EAnA 其其行行列列式式是是 的的 次次多多项项式式, ,称称为为 的的特特征征多多项项式式. .-0nEAAAA 将将含含 的的一一元元 次次方方程程称称为为 的的特特征征方方程程, , 又又

3、称称 为为 的的特特征征方方程程的的根根或或称称 为为 的的特特征征多多项项式式的的根根. .跳转到第一页 12122.-0-nnnEAnnEAEA 可可以以是是复复数数, ,含含 的的一一元元 次次方方程程在在复复数数范范围围内内有有 个个根根,( (含含重重根根, ,按按重重数数计计算算个个数数).).含含 的的一一元元 次次多多项项式式可可分分解解成成3.(0)0,()()()().AnAnkA kkkAA kkAkk 设设 为为 阶阶矩矩阵阵, , 是是一一个个数数, , 维维向向量量则则对对任任意意数数即即是是 的的属属于于特特征征值值 的的特特征征向向量量证证跳转到第一页11122

4、2121212124.(0)(0)0,()()AnAnAnAA 设设 为为 阶阶矩矩阵阵, , 是是一一个个数数, , 维维向向量量 维维向向量量则则当当时时即即是是 的的属属于于特特征征值值 的的特特征征向向量量综合注综合注3和注和注4,得出属于同一特征值的特征向量得出属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量12121212()()AAA 证证跳转到第一页121212125.,.AnAA 设设 为为 阶阶矩矩阵阵, ,是是 的的两两个个不不同同特特征征值值, ,分分别别是是 的的属属于于的的特特征征向向量量 则则 即矩阵的特

5、征向量总是相对于矩阵的特征值而言即矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征向量不能属于不同的特征值的，一个特征向量不能属于不同的特征值121211221211112,()000,.AA 证证用用反反证证法法 假假设设与与特特征征向向量量矛矛盾盾 假假设设不不成成立立, ,则则跳转到第一页()0()0AEA xEA xA 6 6. . 的的属属于于 的的的的特特征征向向量量 是是齐齐次次线线性性方方程程组组的的非非零零解解, ,反反之之，若若 是是齐齐次次线线性性方方程程组组的的非非零零解解, ,则则 是是 的的属属于于 的的的的特特征征向向量量. .00()0()0AAEAEAAE

6、A x 证证由由即即 的的属属于于 的的的的特特征征向向量量 是是齐齐次次线线性性方方程程组组的的非非零零解解, ,反反之之，()0()0()00EA xEAAAEA xEA若若 是是齐齐次次线线性性方方程程组组的的非非零零解解, ,则则 是是 的的属属于于 的的的的特特征征向向量量. .注注: : 又又有有非非零零解解的的充充分分必必要要是是跳转到第一页求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤： 1.det; 计计算算 的的特特征征多多项项式式AEA 122.det0,;nEAA 求求特特征征方方程程的的全全部部根根就就是是 的的全全部部特特征征值值 iiiiEA xnA3

7、.,0, 对对于于特特征征值值求求齐齐次次线线性性方方程程组组的的全全部部非非零零解解 就就是是对对应应于于 的的全全部部特特征征向向量量阶阶矩矩阵阵 的的全全部部特特征征向向量量, ,即即 的的全全部部特特征征向向量量n ni=1i=1 . .二、特征值与特征向量的计算二、特征值与特征向量的计算跳转到第一页2(2( A+3 -2EA+3)( -2)+4 2 -2 =+2)( -1) 解解 第第一一步步的的特特征征多多项项式式为为例例1 1 A32.22 求求矩矩阵阵的的特特征征值值和和特特征征向向量量1202,1EA A 第第二二步步 由由的的特特征征值值EA x -2 -2EA2 REAn

8、REA2,( 2)0.112400( 2)1,( 2)1,1 1 1第第三三步步 (1) (1)当当时时 解解方方程程基基础础解解系系含含 个个解解向向量量. .跳转到第一页xxxxxccA11,1,2.21 12122212211 11 11 1同同解解方方程程组组为为-2=0-2=0设设为为自自由由未未知知量量 令令得得得得基基础础解解系系: :( (其其中中 为为任任意意非非零零常常数数) )是是 的的属属于于特特征征值值=-2=-2的的全全部部特特征征向向量量EA x -1 -2 -2 EA22 R EAnR EA1,()0.44110000()1,()1, 2 2(2)(2)当当时时

9、 解解方方程程基基础础解解系系含含1 1个个解解向向量量. .跳转到第一页xxxxxccA2221,1,.2121 2 21 12212212 22 22 2同同解解方方程程组组-=0-=0设设为为自自由由未未知知量量 令令得得得得基基础础解解系系: :( (其其中中 为为任任意意非非零零常常数数) )是是 的的属属于于特特征征值值=1=1的的全全部部特特征征向向量量跳转到第一页例例 .201034011的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩阵求矩阵 A解解2110430(2)(1)(3)4102(2)(1) ,AEA 第第一一步步的的特特征征多多项项式式为为 123-2,1.EAA 第第二

10、二步步 由由= =0 0得得 的的特特征征值值为为2,(2)0.EA x 1 1第第三三步步 ( (1 1) )当当时时 解解方方程程跳转到第一页REAnREA(2)2,(2)1, 基基础础解解系系含含1 1个个解解向向量量. .EA3101001002410410010100310010100100010010000000 xxxxccA11,1,001 121233331 11 11 1同同解解方方程程组组=0,=0=0,=0设设 为为自自由由未未知知量量 令令得得基基础础解解系系: :( (其其中中 为为任任意意非非零零常常数数) )是是 的的属属于于特特征征值值=2=2的的全全部部特特

11、征征向向量量跳转到第一页231,()0.EA x ( (2 2) ) 当当时时 解解方方程程EA210101420420101210101101024012 ,000000R EAnR EA()2,()1, 基基础础解解系系含含1 1个个解解向向量量. .跳转到第一页xxxxxxccA22,1,121 1323132333332 22 22323同同解解方方程程组组=-,=-2=-,=-2设设 为为自自由由未未知知量量 令令得得基基础础解解系系( (其其中中 为为任任意意非非零零常常数数) )是是 的的属属于于特特征征值值=1=1的的全全部部特特征征向向量量跳转到第一页例例 设设,314020

12、112 A求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解211020(2)(2)(3)4413AEA 第第一一步步 的的特特征征多多项项式式为为 2(1)2, -EAA 第第二二步步 由由= =0 0得得 的的特特征征值值为为1231,2 跳转到第一页 11,0.EA X 第第三三步步 ( (1 1) )当当时时 解解方方程程EA111111030030414030111101030010,000000()2,()1,REAnREA 基基础础解解系系含含1 1个个解解向向量量. .跳转到第一页0,1,101xxxxx1同同解解方方程程组组=,=,=设设 为为自自由由未未知知量量 令令得得基基础础解解系系ccA11 1 11 1( (其其中中 为为任任意意非非零零常常数数) )是是 的的属属于于特特征征值值=-1=-1的的全全部部特特征征向向量量. .跳转到第一页 232,20.EA x ( (2 2) )当当时时 解解方方程程EA111411411442000000000,411000000REAnREA(2)1,(2)2, 基基础础解解系系含含2 2个个解解向向量量. .跳转到第一页xxxxxxxx,10011,001