数学物理方程与特殊函数：第一章 一些典型方程和定解条件的推导3

1、内容回顾数学物理方程的建立过程n确定所研究的物理量n用数学中的“微元法”从所研究的系统中分割出一小部分，再根据相应的物理规律分析邻近部分与该部分的作用（抓主要作用），这种相互作用在一个短的时间间隔内如何影响物理量。n把这种关系用微分方程表达出来，经过化简整理，得到数学物理方程。杆的纵振动方程n研究对象：杆上各点的纵向位移n以杆上一小段（x，xx）为研究对象n应用胡克定律，x点在t时刻的应力与x点处的应变成正比，比值为杨氏模量En小段的相对伸长为 ，在x点处为 在（x x）处为l小段所受的力为：ux( , )u x tx(, )u xx tx22(, )( , )(, )( , )()FF xx

2、 tF x tu xx tu x tuESESdxxxx( , )u x txxx (, )F xx t( , )F x tn根据牛顿第二定律：22222222AFmuuESdxSdxxtuEutx2a三类典型的数学物理方程n波动方程（双曲型方程）物理现象：振动过程，关于连续介质(弦、杆、膜、气体等），以及关于电流传输、电磁振荡等。方程：内容回顾三类典型的数学物理方程n输运方程（抛物型方程）物理现象：描述输运过程，如热传导、扩散、粘性液体流动等， 长海峡中潮汐波的运动，土壤力学中的渗透方程。方程：内容回顾三类典型的数学物理方程n稳定场方程（椭圆型方程）物理现象：描述稳恒（不随时间改变）过程，如

3、固定电场和磁场（静电学、静磁学、直流电场），不可压缩液体的位流、稳定热场等等。方程：222222uuufxyz内容回顾1.2 初始条件与边界条件n初始条件：用以说明物理现象初始状态的条件。n边界条件：用以说明边界上的约束情况的条件。（1 1）初始条件波动问题第一章第一章 一些典型方程和定解问题的推导一些典型方程和定解问题的推导举例n例1：长为l的两端固定的弦，中间处拨开距离h，然后放手任其振动，如下图所示。写出初始条件。hut 0hulx 2/( )( )xu02llh lxxllhlx xlhut2l ),(220 ,20正确写法正确写法初始条件输运问题举例例2 长为l的细杆导热问题，设其初

4、始温度均匀，为u0，写出初始条件n稳定场问题无初始条件初始条件 不同类型的方程，相应初值条件的个数不同。 初始条件给出的应是整个系统的初始状态，而非 系统中个别点的初始状态。注意注意注意注意波动问题的边界条件：n第一类边界条件：给出所研究的物理量在边界上满足的条件 如一根长为a的弦，两个端点的位移已知，分别为 则其边界条件为固定端点的情形固定端点的情形：1.2 初始条件与边界条件初始条件与边界条件（2）边界条件12( ),( )tt12(0, )( ),( , )( )uttu a tt第二类边界条件给出所研究的物理量沿外界外法向导数在边界上应满足的条件。n自由端点的情形：自由端点的情形：弦的

5、端点沿垂直于x轴的方向自由滑动，并受到一个沿位移方向作用的已知外力，则边界条件形式为12(0, )( ),( , )( )xxuttu a tt弦振动问题弦振动问题：弦的一端（如：弦的一端（如 x = a）可以在垂直）可以在垂直 x 轴的直线上自由的上下滑动，且不受垂直方向的轴的直线上自由的上下滑动，且不受垂直方向的外力，我们称这种端点为外力，我们称这种端点为“自由端自由端”。sintanx auTTTxux0l在这一端点，边界上的张力沿垂直于在这一端点，边界上的张力沿垂直于x轴的方向的轴的方向的分量为分量为0 0，因此在方程的推导中知，因此在方程的推导中知 0 xauTx n端点处为弹性支撑

6、端的情形根据Hooke 定律边界条件这里=k/T，k为弹性系数。1.2 初始条件与边界条件初始条件与边界条件胡克的弹性定律指出：在弹性限度内，弹簧的弹力T和弹簧的长度u成正比，即T= -ku。k是物质的弹性系数，它由材料的性质所决定，负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长（或压缩）的方向相反。第三类边界条件给出所研究的物理量及其沿外界外法向导数在边界上应满足线性组合值。输运问题的边界条件物体边界S的温度为已知函数f(x,y,z,t) ：1.2 初始条件与边界条件初始条件与边界条件例：长为l 的均质细杆，侧面绝热，一端放在0的水中，另一端按已知规律 变化。写出边界条件( )f t物体边界面各点在时刻t

7、所流过的热量已知：sun绝热时p包围物体的介质温度已知，物体内部通过其边界S与周围介质进行热量交换：在S上任取一小块dS,用u1表示与物体接触处的介质温度，dQ表示dt时间内流过dS的热量，根据牛顿冷却定律，我们有 k1为两个介质之间的热交换系数。在物体内部任取一个无限贴近边界S的封闭曲面，由于在S内侧热量不能积累，所以在上的热量流速应该等于边界S上的热量流速。而在上的热量流速为1.2 初始条件与边界条件初始条件与边界条件=k1/k为常数1.2 初始条件与边界条件初始条件与边界条件稳定场问题的边界条件n直接给出所研究的物理量在边界面上的变化规律000( , , )(,)u x y zxyz狄氏

8、条件n给出所研究的物理量沿边界面外法向的变化率000( , , )(,)u x y zxyzn牛曼条件n给出所研究的物理量及其沿边界面外法向的变化率洛平条件000( , , )( , , )(,)u x y zhu x y zxyzn边界条件的分类以S 表示物体的边界，则有：n第一类边界条件n第二类边界条件n第三类边界条件 如果边界条件中的f=0，则称其为齐次边界条件，否则称为非齐次边界条件。1.2 初始条件与边界条件初始条件与边界条件Suufn1.3 定解问题的提法二阶线性偏微分方程方程中出现的未知函数的偏导数的最高阶是二阶的、对于未知函数及其各阶偏导数来说都是线性的。线性方程示例：n一维波

9、动方程：n二维热传导方程：第一章第一章 一些典型方程和定解问题的推导一些典型方程和定解问题的推导n解（古典解）n定解条件：边界条件与初始条件的总称n定解问题：将某个偏微分方程和相应的定解条件合在一起，就构成了一个定解问题。始值问题（Cauchy问题）边值问题混合问题解的存在性、唯一性、稳定性(定解问题是否符合实际）1.3 定解问题的提法定解问题的提法 )(|)( )(|)0,( 0002xuxxutxuautttxxtt 弦振动的Cauchy问题 )( )(|)0,( 002xxutxuautxxt 只包含初值条件的定解问题称为初边值问题初边值问题（Cauchy Cauchy 问题）问题） )

10、, ,()(),( ),(0,),( 0)(02tzyxfunuzyxzyxutzyxuuuautzzyyxxt 包含初值条件和边界条件的定解问题称为混合问题混合问题 (初边值问题初边值问题) )热传导方程的混合问题热传导方程的混合问题波动方程的混合问题波动方程的混合问题 0, 0)0( )(),()0,0( 0002lxxxtttxxttuulxxuxutlxuau 只附加边界条件的定解问题称为边值问题边值问题. 初值条件、边界条件统称为定解条件定解条件初值问题、边值问题、混合问题统称为定解问题定解问题. .n微分方程的适定性定解问题的存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题的适定性。如果定解问

11、题的解是存在的、唯一的、并且是稳定的，我们就称这个问题是适定的。注：本课程所讨论的定解问题都是古典的（定解问题的解是古典解），并且假定其适定性都是经过数学证明了的。1.3 定解问题的提法定解问题的提法nN个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式 其中Aik，Bi，C，f 都是x1,x2,xn的已知函数。 举例：2个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式1.3 定解问题的提法定解问题的提法二阶线性偏微分方程的性质n设u1和u2都是齐次方程L(u)=0的解，则c1u1+c2u2也是齐次方程的解n若ui（i=1,2,3,)是方程L(u)=0的解，而且级数 收敛，并且对自变量能够逐项微分两次，其中Ci(i

12、 =1,2,)为任意常数，则u一定是方程L(u)=0的解。n设u1是齐次方程L(u)=0的解， u2是非齐次方程L(u)=f的解,则u1+u2也是非齐次方程的L(u)=f解例 非齐次波动方程的Cauchy问题 )(),()0,( ),(002xuxutxtxfuautttxxtt 的解等于问题(I)和问题(II)的解之和 )(),()0,( 0) I (002xuxutxuautttxxtt 0, 0)0,( ),()II(002tttxxttuutxtxfuau叠加原理叠加原理 2 2 若iu满足线性方程 iifuL ，, 2 , 1 i （或定解条件iiguB , 若函数级数 1iiiuc在 内收敛，并且L,B 可逐项作用, 则和函数 满足方程 1iiifcuL （或定解条件 1iiigcuB）。 1iiiuc u 第一章内容小结：n1.1.偏微分方程建立偏微分方程建立n2.2.初始条件初始条件 边界条件（三类边界条件）边界条件（三类边界条件）n3.3.定解问题及相关概