函数的单调性第一课时

1、高一数学高一数学2.3 函数的单调性函数的单调性讲 授 人: 王 强课件制作:王 强1.请画出函数请画出函数y=x+2与与y= -x+2的图象，并观察函的图象，并观察函数图象的特征数图象的特征.(从左向右看从左向右看)y0 xy0 x2-222教学过程：教学过程：一、课题导入一、课题导入:2.请观察函数请观察函数y=x2和和y=x3的图象，并回答在下列情的图象，并回答在下列情 况下况下y的变化情况的变化情况:(1)在在y轴左侧当轴左侧当x逐渐增大时。逐渐增大时。 (2)在在y轴右侧当轴右侧当x逐渐增大时。逐渐增大时。 下面我们以二次函数下面我们以二次函数 为为例例进行研究进行研究 Oxy1x)

2、x(f12( )f xx,21xx在在给给定定区区间间上上任任取取21xx )f(x)f(x21 函数函数f (x)在给定区间在给定区间上为增函数。上为增函数。Oxy) x( fy如何用如何用x与与 f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？)x( f11x如何用如何用x与与 f(x)来描述下降的图象？来描述下降的图象？,21xx在在给给定定区区间间上上任任取取21xx 函数函数f (x)在给定区间在给定区间上为减函数。上为减函数。)f(x)f(x21 )x( f1)x ( f2) x ( fyOxy1x2x)x ( f22x 如果对于属于I内某个区间上的任意任意两个自变量的值 当 时，都有

3、都有 ， 那么就说在这个区间上是增函数增函数。21,xx21xx )()(21xfxf 定义：定义：一般的，设函数一般的，设函数 的定义域为的定义域为I：)( xf 如果对于属于I内某个区间上的任意任意两个自变量的值 当 时，都有都有 ，那么就说 在这个区间上是减减函数函数。21,xx21xx )()(21xfxf Oxy)x( f11x)x ( f22x)x ( f1)x ( f2) x ( fyOxy1x2x二、讲授新课：二、讲授新课：判断下列说法是否正确：判断下列说法是否正确：（1）对于二次函数f(x)=x2,因为-1,2 R且-12,此时有f(-1)0，都有f(x2)f(0),则函数y

4、=f(x)在 0， ）是上减函数。提问：你认为定义中的关键词语是什么？提问：你认为定义中的关键词语是什么？ 如果函数如果函数 在在某个区间某个区间是增函数或是减函是增函数或是减函数，那么就是说函数数，那么就是说函数 在这个区间在这个区间具有具有严格的严格的单调性单调性，这一区间这一区间叫做函数的叫做函数的单调区间单调区间。)(xfy )(xfy 答：定义域，区间，任意，都有。答：定义域，区间，任意，都有。例例1 如图，是定义在区间如图，是定义在区间-4，3上的函数上的函数 的图象，根据图象的图象，根据图象说出说出 的单调区间，以及在每个单调区间上，的单调区间，以及在每个单调区间上， 是增函数是

5、增函数还是减函数。还是减函数。)(xfy )(xfy )(xfy )(xfy 解：函数解：函数 的单调区间有的单调区间有-4，-2），），-2，1），）， 1，2），）， 2，3）)(xfy 其中其中 在区间在区间-4，-2），）， 1，2）上是减函数，上是减函数，在区间在区间-2，1），），2，3上上是增是增 函数函数 三、例题分析：三、例题分析：(3 )2f xx 证明函数在区间（，）上是增函数。例例2 212x ,( ,)x 设是 区 间内 任 意121212( )()(32) (32)3(x)f xf xxxx1212, x0 xxx0)()(21 xfxf)()(21xfxf 即即(

6、 )32(,)f xx 则函数在区间证明：证明：12x x两个实数，且。 是增函数。（条件）（条件）（论证结果）（论证结果）（结论）（结论）证明函数单调性的步骤：证明函数单调性的步骤：第一步：第一步：取值取值.即任取区间内的两个值，且即任取区间内的两个值，且x1x2第二步：第二步：作差变形作差变形.将将f(x1)f(x2)通过因式分解、通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。方向变形。第三步：第三步：定号定号.确定差的符号，适当的时候需要进确定差的符号，适当的时候需要进行讨论。行讨论。第四步：第四步：判断判断.根据定义作出结论

7、。根据定义作出结论。取值取值作差变形作差变形定号定号判断判断 例例3 证明函数证明函数 在在(0,+)上是减函数上是减函数.xxf1)( 证明证明：设 是（0，+）上的任意两个 实数，且 ，则 21,xx21xx 2112212111)()(xxxxxxxfxf 由 ， 得), 0 (,22 xx021 xx又由 ， 得21xx 012 xx于是于是 ， 即即0)()(21 xfxf)()(21xfxf 所以，所以， 在（在（0 0，+)+)上是减函数上是减函数. .xxf1)( 取值取值作差变形作差变形定号定号判断判断证明函数单调性的步骤：证明函数单调性的步骤： A A组组 P59.1P59.1 B B组组 P60P60。2 2 C C组组 p60p60。3 3 D D组组 p60p60。4 45、小结：、小结： 1 函数单调性的概念，注意其中的关键词函数单调性的概念，注意其中的关键词 2 定义法证明函数单调性的步骤。定义法证明函数单调性的步骤。 3 掌握数形结