二次函数难题综合附复习资料

1、庞圣洁（二次函数难题）一 选择题（共22小题）21. （2015?陕西模拟）已知二次函数 y=ax +bx+c （a> 0）经过点M （- 1, 2）和点N （1, -2），交x轴于A, B两点，交y轴于C.则： b=- 2; 该二次函数图象与y轴交于负半轴； 存在这样一个a,使得M、A、C三点在同一条直线上；2 若 a=1，则 OA?OB=OC 以上说法正确的有（）A.B. C. D .2. （ 2013?泰安模拟）如图，抛物线 y=x2-2x-与直线y=x - 2交于A、B两点（点A在2| 2点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运

2、动到点 B .若使点P运动的总路径最短，则点 P运动的总路径的长为（）22 / 483. （2015?潍坊模拟）若函数y - 2y= 的自变量x的取值范围是全体实数，则c的取值t 2i+c范围是（）A . cv 1 B . c=1 C. c> 1 D. cE 4. （ 2015?天桥区一模）如图，直线 y=kx+b （ k老）与抛物线y=ax （a和）交于A , B两点, 且点A的横坐标是-2,点B的横坐标是3，则以下结论：2 抛物线y=ax2 （a老）的图象的顶点一定是原点； x> 0时，直线y=kx+b （k旳）与抛物线y=ax2 （ a旳）的函数值都随着 x的增大而增大； A

3、B的长度可以等于5； OAB有可能成为等边三角形； 当-3 v xv 2 时，ax2+kx v b,其中正确的结论是（）5. （2013?遵义）二次函数y=ax2+bx+c （a旳）的图象如图所示,右 M=a+b - c, N=4a - 2b+c,P=2a-b.贝U M , N, P中，值小于 0的数有（A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个6. （ 2015?杭州模拟）关于 x的方程2x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，且较小的根为 2, 则下列结论：2 . .2a+bv 0;abv 0;关于x的方程2x2+ax+b+2=0有两个不相等的实数根；抛物线y=2x2+ax+b - 2的顶点

4、在第四象限.其中正确的结论有（）A . 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. （2015?无锡校级三模）已知抛物线y= - x2+1的顶点为P,点A是第一象限内该二次函数 图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B,分别过点B、A作x轴的垂线,垂足分别为 C、D，连结PA、PD, PD交AB于点E, PAD与厶PEA相似吗?A .始终不相似B.始终相似C.只有AB=AD时相似D .无法确定& （ 2015?杭州模拟）下列关于函数 y= （m2- 1） x2-（3m- 1） x+2的图象与坐标轴的公共 点情况：当m耗时，有三个公共点；m=3时，只有两个公共点； 若只有两个公共

5、点，则m=3; 若有三个公共点，则 m总.其中描述正确的有（）个.A .一个B .两个C .三个D .四个9. （ 2011?黄石）设一元二次方程（x - 1） （x - 2） =m （ m >0）的两实根分别为a,伏且av 3,则a, B满足（）A . 1 Va<3< 2 B. 1 VaV 2< 3 C. aV 1 VV 2 D .aV 1 且 B> 210. （2013?盐城模拟）如图，分别过点Pi （i, 0） （i=1、2、n）作 x 轴的垂线,交)的图象于点Ai，交直线尸-韶于点Bi.则的值为（C.11. (2008?西湖区校级模拟)已知二次函数y=ax

6、2- 2ax+1 (aV 0)图象上三点A (- 1, y1),B (2, y2) C (4, y3),则 y1、y2、y3 的大小关系为()A . y1 Vy2V y3B. y2v y1 V y3C. y1 V y3V y2D . y3Vy1 V y212. （2008?乐山）已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图所示，令 M=|4a - 2b+c|+|a+b+c| -A . M > 0 B . M V 0C. M=0 D. M的符号不能确定213. （2007?包头）已知二次函数 y=ax +2x+c （a旳）有最大值，且 ac=4,则二次函数的顶点 在（ ）A .第一象限B

7、.第二象限C .第三象限D .第四象限214. （2012?蚌埠自主招生）二次函数y=ax +bx+c的图象如图所示，Q （n, 2）是图象上的一点，且AQ丄BQ，贝U a的值为（）kF 1XIV B .4 C.- 115. （2010?秀洲区一模）已知点 A （ xl,V 3）上，若 X1V X2, X1+X2=1 -玄，则（y1 ), B (x2, y2)均在抛物线 )2y=ax +2ax+4(0 V aA . y1> y2 B . y1 v y2C. y仁y2D. y1与y2大小不能确定216. （2013?天河区一模）如图，二次函数y1=ax+bx+c与一次函数 y2=kx+b的

8、交点 A , B的坐标分别为（1,- 3）, （6, 1）,当y1> y2时，x的取值范围是（）O7 丿17.已知关于 值范围（A . 1 Vx V 6 B . x V 1 或 x> 6 C. - 3v x V 1 D. x V- 3 或 x> 1a的取x的二次函数y=ax2+2ax+7a - 3在-2上的函数值始终是正的，则）18. （2012?荣县校级二模）已知直线经过点）A (0, 个.2), B (2, 0),点C在抛物线y=x2 的y=2x219. （2012?下城区校级模拟） 抛物线交x轴有交点； 不论m取何值，抛物线总经过点（1, 0）; 若m>6，抛物线

9、交x轴于A、B两点，贝U AB > 1; 抛物线的顶点在y= - 2 （x - 1） 2图象上.其中正确的序号是A .B.关于二次函数mx+m - 2，以下结论:C . D .A. a>B.av 0 或 a>C.a> D.211420. （2002?湖州）已知抛物线 三个交点为顶点的三角形面积为2y=x +bx+c （cv 0）经过点（c, 0）,以该抛物线与坐标轴的S,则S可表示为（）2C. (b+1)A .二|2+b|b+1| B.二c (1 - c)2 221. （2005?茂名）下列四个函数： y=kx （k为常数，k> 0） y=kx+b （ k, b

10、为常数，k> 0） y=_L（ k 为常数，k > 0, x> 0）I y=ax2 （a为常数，a> 0）其中，函数y的值随着x值得增大而减少的是（）A . B . C. D .22. （2013?碑林区校级一模）已知函数 y= -（x - m） （x - n） +3，并且a, b是方程（x - m） （x - n） =3的两个根，则实数 m, n, a, b的大小关系可能是（）A . mv av bv n B. mv av nv b C. av mv bv n D. av mv nv b二解答题（共8小题）I 223. （2014?本溪）如图，直线y=x - 4与x轴

11、、y轴分别交于 A、B两点，抛物线y*x +bx+c3经过A、B两点，与x轴的另一个交点为 C,连接BC .（1 ）求抛物线的解析式及点 C的坐标；（2） 点M在抛物线上，连接 MB，当/ MBA+ / CBO=45。时，求点 M的坐标；（3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒 1个单位长度，当 Q点到达C点时，P、Q同时停止 运动，试问在坐标平面内是否存在点 D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以 C、D、P、Q 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由.24. （2014?黔南州）如图，在平

12、面直角坐标系中，顶点为（4，- 1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B , C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0, 3）.（1 ）求此抛物线的解析式；(2) 过点B作线段AB的垂线交抛物线于点 D，如果以点C为圆心的圆与直线 BD相切, 请判断抛物线的对称轴I与OC有怎样的位置关系，并给出证明；(3) 已知点P是抛物线上的一个动点，且位于 A , C两点之间，问：当点 P运动到什么位P点的坐标和 PAC的最大面积.! 225. (2014?遵义)如图，二次函数 y=x +bx+c的图象与x轴交于A (3, 0), B (- 1, 0), 与y轴交于点C .若点P, Q同时从A点出发，都

13、以每秒1个单位长度的速度分别沿 AB , AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动.(1) 求该二次函数的解析式及点C的坐标；(2) 当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在 x轴上是否存在点 E,使得以A , E, Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由.(3) 当P, Q运动到t秒时， APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上 D点处，请判定 此时四边形APDQ的形状，并求出 D点坐标.”1C7226. (2014?兰州)如图，抛物线 y= - ；x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C, 抛物线的对称轴交 x轴于点D，已知A (-

14、 1 , 0), C (0, 2).(1) 求抛物线的表达式；(2) 在抛物线的对称轴上是否存在点P,使厶PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在， 直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；(3) 点E是线段BC上的一个动点，过点 E作x轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点E运 动到什么位置时，四边形 CDBF的面积最大？求出四边形 CDBF的最大面积及此时 E点的 坐标.27. (2014?义乌市)如图，直角梯形 ABCO的两边OA , OC在坐标轴的正半轴上，BC / x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过 A, B, C三点.(1) 求该抛物线的函数解析式；(2) 已知直

15、线I的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G,在梯形ABCO的一边上取点P. 当m=0时，如图1,点P是抛物线对称轴与 BC的交点，过点P作PH丄直线I于点H , 连结OP，试求 OPH的面积； 当m= - 3时，过点P分别作x轴、直线I的垂线，垂足为点E, F.是否存在这样的点 P,使以P, E, F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说图1圏2备用图228. (2015?黄冈模拟)已知：如图，抛物线 y=ax +bx+2与x轴的交点是 A ( 3, 0)、B ( 6, 0),与y轴的交点是 C.(1) 求抛物线的函数表达式；(2) 设P (x, y) (0vxv

16、6)是抛物线上的动点，过点P作PQ/ y轴交直线BC于点Q. 当x取何值时，线段 PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？ 是否存在这样的点 卩，使厶OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.29. (2014?武汉)如图，已知直线 AB : y=kx+2k+4与抛物线yx2交于A , B两点.%0OCffiS(1) 直线AB总经过一个定点 C,请直接出点C坐标；(2) 当k= -2时，在直线 AB下方的抛物线上求点 卩，使厶ABP的面积等于5;2(3) 若在抛物线上存在定点D使/ADB=90 °求点D到直线AB的最大距离.30. (2014?六盘水)如图，二次

17、函数2y=x +bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点,已知A点坐标是(2, 0), B点的坐标是(8, 6).(1 )求二次函数的解析式.(2) 求函数图象的顶点坐标及D点的坐标.(3) 该二次函数的对称轴交 x轴于C点.连接BC,并延长BC交抛物线于E点，连接BD , DE，求 BDE的面积.(4) 抛物线上有一个动点P,与A , D两点构成 ADP，是否存在adpSabcd ?若存ba在，请求出P点的坐标；若不存在.请说明理由.庞圣洁(二次函数难题)参考答案与试题解析一 选择题(共22小题)1.( 2015?陕西模拟)已知二次函数 y=ax2+bx+c( a> 0)经过点M

18、(- 1, 2)和点N (1, -2)，交x轴于A, B两点，交y轴于C.则： b=- 2; 该二次函数图象与y轴交于负半轴； 存在这样一个a,使得M、A、C三点在同一条直线上； 若 a=1，贝U OA?OB=OC2.以上说法正确的有()A.B. C. D .【考点】二次函数综合题.【专题】 压轴题；数形结合.【分析】二次函数y=ax2+bx+c (a> 0)经过点 M (- 1, 2)和点N (1,- 2),因而将 M、N两点坐标代入即可消去 a、c解得b值. 根据图象的特点及与直线 MN比较，可知当-1v xv 1时，二次函数图象在直线MN的下方. 同理. 当y=0时利用根与系数的关

19、系，可得到 OA?OB的值，当x=0时，可得到OC的值.通 过c建立等量关系求证.【解答】解：二次函数y=ax2+bx+c (a> 0)经过点M (- 1, 2)和点N (1,- 2),严卄-2= a+b+c解得b= - 2.故该选项正确.2 方法一：二次函数 y=ax +bx+c, a>0该二次函数图象开口向上点 M (- 1 , 2)和点 N (1, - 2),? ( - 2)直线MN的解析式为y - 2=Ex- -1),_ L _ 即 y= - 2x ,根据抛物线的图象的特点必然是当-1v xv 1时，二次函数图象在 y= - 2x的下方,该二次函数图象与 y轴交于负半轴；方

20、法二：由 可得b= - 2 , a+c=0 ,即c= - av 0 , 所以二次函数图象与 y轴交于负半轴.故该选项正确.根据抛物线图象的特点, 故该选项错误.M、 A、 C三点不可能在同一条直线上.当a=1时，c= - 1,该抛物线的解析式为 y=x2 -2x - 1当y=0时，0=x2- 2x+c，利用根与系数的关系可得xi?x2=c,即 OA?OB=|c|，当 x=0 时，y=c，即 OC=|c|=1=OC 2，2若 a=1，则 OA ?OB=OC ,故该选项正确.总上所述正确.故选C.【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的图象性质及特点、 元二次方程根与系数的关

21、系、直线解析式的确定.2. （ 2013?泰安模拟）如图，抛物线2y=x'与直线y=x - 2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点B 若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（D.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.【分析】首先根据题意求得点 A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A ；作点B关于x轴的对称点B',连接AB',则直线A'B'与直线4Z的交点是【解答】解:E,与x轴的交点是F，而且易得A B即是所求的长度.2

22、抛物线y=x2 x2如图x -2上=x 22x 2，月与直线y=x - 2交于 A、B两点,解得:x=1或X，时, 当&时，当x=1y=x - 2= - 1,y=x - 2=-二,点A的坐标为C瓠点B的坐标为（1，- 1），抛物线对称轴方程为:-j_12X1=4x=-作点A关于抛物线的对称轴x二的对称点A '，作点B关于x轴的对称点B，连接A B则直线A B 与对称轴（直线x=）的交点是 E,与x轴的交点是F，4 BF=B F, AE=A 'E,点P运动的最短总路径是 延长BB ', AA '相交于C, , .1- I：. A C+ （1 -丄）=1,A

23、E+EF+FB=A 'E+EF+FB =A B ,B C=1+产点P运动的总路径的长为P运动的最短路径是解【点评】此题考查了二次函数与一次函数的综合应用注意找到点 此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用.- 23. （2015?潍坊模拟）若函数 y=的自变量x的取值范围是全体实数，则 c的取值一 2i+c范围是（）A . cv 1 B . c=1 C. c> 1 D. cE【考点】二次函数的性质；分式有意义的条件；函数自变量的取值范围.【专题】 计算题；压轴题.【分析】先根据分式的意义， 分母不等于0，得出x2- 2x+c旳，再根据二次函数y=ax2+bx+c （a#）的图

24、象性质，可知当二次项系数 a> 0, v0时，有y> 0,此时自变量x的取值范 围是全体实数.【解答】解：由题意，得 = （- 2） 2- 4cv 0,解得c> 1.故选C.【点评】本题考查了函数自变量取值范围的求法.要使得本题函数式子有意义，必须满足分母不等于0 难点在于分母是关于自变量 x的二次函数，要使自变量 x的取值范围是全体实 数，必须满足< 0.4. （ 2015?天桥区一模）如图，直线 y=kx+b （ k老）与抛物线y=ax2 （a和）交于A , B两点, 且点A的横坐标是-2,点B的横坐标是3，则以下结论： 抛物线y=ax2 （a老）的图象的顶点一定是

25、原点； x> 0时，直线y=kx+b （k旳）与抛物线y=ax2 （ aMD）的函数值都随着 x的增大而增大； AB的长度可以等于5; OAB有可能成为等边三角形；2 当3 v xv 2 时，ax +kx v b,其中正确的结论是（）A . B . C . D .【考点】二次函数综合题.【专题】综合题；压轴题.【分析】由顶点坐标公式判断即可； 根据图象得到一次函数 y=kx+b为增函数，抛物线当 x大于0时为增函数，本选项正确； AB长不可能为5,由A、B的横坐标求出AB为5时，直线AB与x轴平行，即k=0, 与已知矛盾； 三角形OAB不可能为等边三角形，因为OA与OB不可能相等； 直线

26、y= - kx+b与y=kx+b关于y轴对称，作出对称后的图象，故y= - kx+b与抛物线交点横坐标分别为-3与2,找出一次函数图象在抛物线上方时x的范围判断即可.【解答】 解： 抛物线y=ax2,利用顶点坐标公式得：顶点坐标为（0, 0）,本选项正确；2 根据图象得：直线 y=kx+b （k旳）为增函数；抛物线 y=ax （a旳）当x> 0时为增函数,则x>0时，直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大，本选项正确； 由A、B横坐标分别为-2, 3，若AB=5，可得出直线 AB与x轴平行，即k=0 , 与已知k旳矛盾，故AB不可能为5,本选项错误； 若OA=OB，得到直线AB与x

27、轴平行，即k=0，与已知k用矛盾，OA MOB，即 AOB不可能为等边三角形，本选项错误； 直线y= - kx+b与y=kx+b关于y轴对称，如图所示：可得出直线y= - kx+b与抛物线交点 C、D横坐标分别为-3, 2, 由图象可得：当-3v x v 2 时，ax2v- kx+b，即 ax2+kx v b, 则正确的结论有.故选B .【点评】此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：抛物线顶点坐标公式，一次函数与二 次函数的增减性，关于y轴对称点的性质，利用了数形结合的思想，熟练对称性质及数形结合思想是判断命题的关键.25. (2013?遵义)二次函数 y=ax +bx+c (aMD)的图象

28、如图所示， 若 M=a+b - c, N=4a - 2b+c,P=2a-b.贝U M , N, P中，值小于 0的数有（【考点】二次函数图象与系数的关系.【专题】 计算题；压轴题.0,得到N=4a - 2b+c的值小于0,根据【分析】 根据图象得到x= - 2时对应的函数值小于对称轴在直线x= - 1右边，利用对称轴公式列出不等式，根据开口向下得到a小于0,变形即可对于P作出判断，根据a, b, c的符号判断得出a+b - c的符号.【解答】 解：图象开口向下， av 0, 对称轴在y轴左侧， a, b同号， av 0, bv 0,图象经过y轴正半轴， c> 0, M=a+b - cv

29、0当 x= - 2 时，y=4a - 2b+cv 0, N=4a - 2b+cv 0,2a1,b2av 1,/ av 0, b > 2a, 2a - bv 0, P=2a - b v 0,则M, N, P中，值小于0的数有M , N, P.故选：A.【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，根据图象判断出对称轴以及a, b, c的符号是解题关键.26. （ 2015?杭州模拟）关于 x的方程2x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，且较小的根为 2, 则下列结论：2 . . 2a+bv 0 ；abv 0；关于x的方程2x +ax+b+2=0有两个不相等的实数根；抛物线2y=2x +

30、ax+b - 2的顶点在第四象限.其中正确的结论有（）A . 1个B. 2个C. 3个D. 4个【考点】二次函数图象与系数的关系.【专题】压轴题.【分析】把方程的根x=2代入计算即可求出2a+b=- 8，判定 正确；利用根与系数的关系 求出av- 8, b > 8,从而判定 正确；根据二次函数y=2x2+ax+b与x轴有两个交点，且顶 点坐标在第四象限，向上平移 2个单位，与x轴不一定有交点，判定 错误，向下平移 2 个单位，顶点一定在第四象限，判定正确.【解答】解：T x=2是方程2x2+ax+b=0的根，/ 2 X4+2a+b=0, 2a+b= - 8v 0，故 正确；/x=2是方程

31、2x2+ax+b=0的两个根中较小的根， - -'-> 2+2，上2>2,2 2 av - 8, b> 8, abv 0,故正确；方程2x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，且较小的根为2,2二次函数y=2x +ax+b与x轴有两个交点，且对称轴在直线x=2的右边，2二次函数y=2x2+ax+b顶点坐标在第四象限，向上平移2个单位得到二次函数 y=2x2+ax+b+2，与x轴不一定有交点，2关于x的方程2x +ax+b+2=0有两个不相等的实数根错误，故错误；向下平移2个单位得到二次函数 y=2x2+ax+b - 2,顶点坐标一定在第四象限，故正确；综上所述，正确的

32、结论有 共3个.故选C.【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要利用了一元二次方程的根的定义，根与系数的关系，二次函数图象与几何变换，两题考虑用二次函数的平移求解是解题的关键.27. （2015?无锡校级三模）已知抛物线y= - x +1的顶点为P,点A是第一象限内该二次函数 图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B,分别过点B、A作x轴的垂线,PD交AB于点E, PAD与厶PEA相似吗?C.只有AB=AD时相似 D .无法确定【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.【分析】先求出点P的坐标，从而得到 OP的长，再设点A的横坐标为m,表示出AD，再 表示出OD、OF、PF、

33、AF，然后根据 PEF和厶PDO相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出EF，然后利用勾股定理表示出 PA 2 一& ( 2015?杭州模拟)下列关于函数 y= (m2- 1) x2-( 3m- 1) x+2的图象与坐标轴的公共 点情况：当m耗时，有三个公共点；m=3时，只有两个公共点； 若只有两个公共点，则m=3; 若有三个公共点，则 m总.其中描述正确的有()个.A .一个B .两个C .三个D .四个【考点】抛物线与x轴的交点.【专题】压轴题. 【分析】令y=0,可得出(m2- 1) x2-( 3m - 1) x+2=0 ,得出判别式的表达式，然后根据 m的取值进行判断，另外要注

34、意m的取值决定函数是一次函数还是二次函数，不要忘了考虑一次函数的情况.、PE、PD,从而得到丄=，再根据两边对应PD PA成比例且夹角相等，两三角形相似解答.【解答】 解：令x=0,则y=1 ,0P=1 ,设点A的横坐标为m,贝V AD= - m2+i,/ AB丄y轴，AD丄x轴，2 2 2 AF=OD=m , 0F= - m +1 , PF=1 -( - m +1) =m ,在 Rt PAF 中，PA2=pf2+AF2= ( m2) 2+m2=m【解答】 解：令y=0,可得出(m2- 1) x2-( 3m- 1) x+2=0 , - (3m - 1) 2 - 8 ( m2- 1) - ( m

35、 - 3) 2, 当m耗，m= ±1时，函数是一次函数，与坐标轴有两个交点，故错误；+m2,在 Rt Pod 中, PD= ；打 |f:二由 AB / x 轴得， PEFs PDO ,242 PA =PD?PE=m +m ,陛里 fd-pa，/ / ape- / dpa , padpea ,即， pad与 pea始终相似.故选B .【点评】本题是二次函数综合题, 主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，表示出两个三角形的公共角的夹边成比例是解题的关键. 当m=3时， =0，与x轴有一个公共点，与 y轴有一个公共点，总共两个，故正确； 若只有两个公

36、共点，m=3或m= ±，故错误； 若有三个公共点，则 m总且m 士，故正确； 综上可得只有 正确，共2个.故选B .【点评】此题考查了抛物线与 x轴交点的知识，同学们容易忽略m= ±1时，函数是一次函数的情况，这是我们要注意的地方.9. ( 2011?黄石)设一元二次方程(x - 1) (x - 2) =m ( m >0)的两实根分别为 a,伏且a V 3,则a, B满足()A . 1 V aV 3V 2 B. 1 V aV 2V 3 C. aV 1V2 D . aV 1 且 3> 2【考点】抛物线与x轴的交点；根与系数的关系.【专题】 压轴题；数形结合.【分析

37、】 先令m=0求出函数y= (x - 1) (x - 2)的图象与x轴的交点，画出函数图象，禾U 用数形结合即可求出a, 3的取值范围.【解答】解：令m=0 ,则函数y= (x - 1) (x - 2 )的图象与x轴的交点分别为(1, 0), (2, 0),故此函数的图象为：/ m>0,原顶点沿抛物线对称轴向下移动，两个根沿对称轴向两边逐步增大， I aV 1 ,3> 2.故选D .【点评】 本题考查的是抛物线与 x轴的交点，能根据 x轴上点的坐标特点求出函数 y= (x -1) (x-2)与x轴的交点，画出函数图象，禾U用数形结合解答是解答此题的关键.10. (2013?盐城模拟

38、)如图，分别过点Pi (i, 0) (i=1、2、n)作x轴的垂线，交的图象于点Ai,交直线尸首夏于点Bi.则的值为(c.2n (n+1)D.【考点】二次函数综合题.【专题】 压轴题；规律型.【分析】根据Ai的纵坐标与Bi纵坐标的绝对值之和为 AiBi的长，分别表示出所求式子的各 项，拆项后抵消即可得到结果.1解答1解：根据题意得：AiBi-x)冷(x+1)，二+二亠)亠而 1n+l故选A【点评1此题考查了二次函数综合题，属于规律型试题，找出题中的规律是解本题的关键.11. (2008?西湖区校级模拟) 已知二次函数y=ax2- 2ax+1 (av 0)图象上三点A (- 1, yi), B

39、(2, y2) C (4, y3)，则 yl、y2、y3 的大小关系为()A . yi vy2v y3B. y2v yi v y3C. yi v y3v y2D. y3vyi v y2【考点1二次函数图象上点的坐标特征.【专题1压轴题；推理填空题.【分析1求出抛物线的对称轴，求出A关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减性，即可求出答案.【解答1 解：y=ax 2 - 2ax+i (av 0),-对称轴是直线x= -' =i,| 2a |即二次函数的开口向下，对称轴是直线x=i ,即在对称轴的右侧 y随x的增大而减小，A点关于直线x=i的对称点是D (3, yi),/ 2

40、v 3 v 4,y2> yi > y3,故选D .【点评1本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目.212. (2008?乐山)已知二次函数 y=ax +bx+c的图象如图所示，令 M=|4a - 2b+c|+|a+b+c| - |2a+b|+|2a b|,则()A . M > 0 B . M v 0C. M=0 D. M的符号不能确定【考点】二次函数图象与系数的关系.【专题】压轴题.【分析】根据图象特征，首先判断出M中的各代数式的符号，然后去绝对值.【解答】 解：因为开口向下，故 av

41、 0;当 x= - 2 时，y > 0，则 4a- 2b+c> 0;当 x=1 时，y v 0,则 a+b+cv 0;因为对称轴为x=-Av 0,又 av 0,贝U bv 0，故 2a+bv 0；又因为对称轴x=-b > - i,贝y b>2a23 2a - bv 0；/ M=4a - 2b+c - a- b - c+2a+b+b - 2a=3a- b,因为 2a- bv 0, av 0, 3a- bv 0,即即 M v 0,故选B .【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定.213. （2007?包头）已知二次函数 y=ax +2x+c （a旳）有最大值

42、，且 ac=4,则二次函数的顶点 在（ ）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【考点】二次函数的性质.【专题】压轴题.【分析】已知二次函数y=ax2+2x+c （a刮 有最大值，即抛物线的开口向下，因而av 0.求2抛物线的顶点坐标利用公式法：y=ax2+bx+c的顶点坐标为（-厘，一 ）,对称轴是2a 4ax=;代入就可以求出顶点坐标，从而确定顶点所在象限.X=-= 2，纵坐标2 al2aa【解答】解：顶点横坐标IS- 4 12 3y4a4a 4a ?53 / 48二次函数有最大值，即抛物线的开口向下，av 0,-丄3<匕 即：横坐标x > 0,纵坐标y v

43、0，顶点在第四象限.【点评】考查求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值的方法:214. （2012?蚌埠自主招生）二次函数 y=ax +bx+c的图象如图所示，Q （n，2）是图象上的一点，且AQ丄BQ，贝U a的值为（）-1【考点】 抛物线与x轴的交点；勾股定理.【专题】压轴题.【分析】由勾股定理，及根与系数的关系可得.2【解答】解：设ax +bx+c=0的两根分别为xi与x2. 依题意有aq2+bq2=ab2.222(xi - n) +4+ (x2 - n) +4= (xi - x2),2化简得：n - n (xi+x2) +4+x 1x2=0.有 n2+n+4+=0,a |a/ an2+bn+

44、c= - 4a. (n, 2)是图象上的一点，2,小/ an +bn+c=2， - 4a=2， a=马2故选B .【点评】 此题考查了二次函数的性质和图象，解题的关键是注意数形结合思想.215. （2010?秀洲区一模）已知点 A （ x1，y1 ），B （x2，y2）均在抛物线 y=ax +2ax+4 （0 v a v 3）上，若 X1V x2， x1+x2=1 -玄，则（）A . y1 > y2B . y1 v y2C. y1=y2D. y1与y2大小不能确定【考点】二次函数图象上点的坐标特征.【专题】压轴题.2 2【分析】 将点 A （X1, y1），B （x2, y2）分别代入

45、y=ax +2ax+4 （0v av 3）中得 y1=ax1 +2ax1+4 ；y2=ax22+2ax2+4；利用作差法求出 y2 - y1 >0，即可得到 y1 > y2.【解答】 解：将点A （X1，y1）， B （ x2， y2 ）分别代入y=ax2+2ax+4 （0 v av 3 ）中，得：2y1=ax1 +2ax1+4，2y2=ax2 +2ax2+4，-得：y2- yi= （x2- xi） a （ 3- a）, 因为 xi v x2, 3 - a> 0, 贝y y2 - y1 > 0, 即 yi v y2.故选B.【点评】本题难度较大，要充分利用数据特点，进行

46、计算.216. （2013?天河区一模）如图，二次函数yi=ax+bx+c与一次函数 y2=kx+b的交点 A , B的坐标分别为（1，- 3）,（6, 1）,当yi>y2时，x的取值范围是（A . 1 vx v 6 B . x v 1 或 x> 6 C. - 3v x v 1 D. x v- 3 或 x> 1【考点】 二次函数的图象；一次函数的图象.【专题】 压轴题；数形结合.【分析】根据函数图象，找出抛物线在直线上方的部分的自变量x的取值范围即可.【解答】 解：由图可知，当x v 1或x > 6时，抛物线在直线的上方，所以，当y1 >y2时，x的取值范围是 x

47、v 1或x> 6.故选B.【点评】本题考查了二次函数的图象，禾U用数形结合的思想解答即可，比较简单.2a的取17.已知关于x的二次函数y=ax +2ax+7a - 3在-2夯上的函数值始终是正的，则 值范围（）a . a4 B.av 0 或 a> I C.14【考点】二次函数的性质.【专题】压轴题.【分析】 按照a> 0和av 0两种情况讨论：当 a> 0时，图象开口向上，只要顶点纵坐标为正即可；当av 0时，抛物线对称轴为 x= - 1,根据对称性，只要 x=5时，y> 0即可.【解答】 解：当a> 0时，图象开口向上，顶点纵坐标为一*一' 一八

48、=6a- 3，当4a,y>0;当av 0时，抛物线对称轴为x= - 1,根据对称性,-3> 0，解得a>亠，不符合题意，舍去.14只要x=5时，y>0即可，此时y=25a+10a+7a故选A .【点评】本题考查了二次函数开口方向，顶点坐标，对称轴在实际问题中的运用，还考查了分类讨论的数学思想.18. （2012?荣县校级二模）已知直线经过点A （0, 2）, B （2, 0）,点C在抛物线y=x2的图象上，则使得 Saabc=2的点有（）个.A . 4 B. 3C. 2 D. 1【考点】二次函数的性质.【专题】 计算题；压轴题.【分析】解：通过计算发现，当 O与C重合时

49、，Saabc=2，据此推断出以AB为底边的三 角形的高，从图上找到点 Ci、C2,再作CC3/ AB，使得C3与C到AB的距离相等，若求 出C的坐标，则存在C3点，使得以AB为底的三角形面积为 2.【解答】解：I Saabc= >2>2=2 , 可见，当O与C重合时，SaABC=2,作CD丄AB ,/ AO=BO=2 ,可见， ACB为等腰直角三角形，CD=2 ><Cos45由图易得，至U AB距离为 的点有C、Ci、C2,作 CC3 / AB ,则CC3的解析式为y= - x,将y= - x和y=x2组成方程组得，若-工泸0X=-l解得，lv=0尸1则C3坐标为（-1

50、, 1),可见，有四个点，使得 Saabc=2 . 故选A .【点评】本题考查了二次函数的性质，知道平行线间的距离相等以及知道同底等高的三角形 面积相等是解题的关键.19. (2012?下城区校级模拟)关于二次函数y=2x2-mx+m - 2，以下结论： 抛物线交x轴有交点； 不论m取何值，抛物线总经过点(1, 0); 若m>6，抛物线交x轴于A、B两点，贝U AB > 1; 抛物线的顶点在y= - 2 (x - 1)图象上其中正确的序号是()A.B. C. D .【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质.【专题】 计算题；压轴题.【分析】由二次函数的解析式，找出二次项系数a,

51、次项系数b及常数项c,将a, b及c的值代入b2- 4ac,利用完全平方公式化简后，根据完全平方式恒大于等于0,可得出b2-4ac大于等于0，进而确定出该抛物线与 x轴有交点，故正确；将x=1代入抛物线解析式， 求出y=0，可得出此抛物线恒过(1, 0)，故正确；令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，设方程的两个解分别为X1, X2,利用根与系数的关系表示出X1+X2, X1X2,AB的长可以用|X1- X2|表示，利用二次根式的化简根式=|a|变形后，再利用完全平方公式化简，将表示出的 X1+X2及X1X2代入，化简后根据 m大于6,可得出AB的长大于1,故 正确；利用顶点坐标公

52、式表示出抛物线的顶点坐标，代入y= - 2 (x- 1) 2中经验，可得出抛物线的顶点在 y= - 2 (x- 1) 2图象上，故正确，综上，得到正确的序号.【解答】 解：二次函数y=2x 2 - mx+m - 2,/a=2, b= - m, c=m - 2,b2- 4ac= (- m) 2 - 8 ( m- 2) = ( m - 4) 2为，则抛物线与x轴有交点，故 正确；/ 当 x=1 时，y=2 - m+m - 2=0,.不论m取何值，抛物线总经过点(1, 0),故正确；设 A 的坐标为(X1, 0) , B (x2, 0),令 y=0，得到 2x2 - mx+m - 2=0,lid m

53、 - 2X1+X2=, X1X2=.,2 2 AB=|x 1 - X2|=j J,：,=上 ； =： ：|,当m>6时，可得 m- 4>2,即> 1,2 AB > 1，故正确；r-2抛物线的顶点坐标为（卫，呂珀_口）,48将x=±代入得：y= - 2 (二-1) 2=2-2 (厂-+1)8皿-16 -441628r抛物线的顶点坐标在 y= - 2 （x - 1） 2图象上，故 正确， 综上，正确的序号有.故选A【点评】此题考查了抛物线与 x轴的交点，以及二次函数的性质，涉及的知识有：抛物线与x轴交点的判断方法，根与系数的关系，顶点坐标公式，以及判断一个点是否在抛物线上， 熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键.20. （2002?湖州）已知抛物线 y=x2+bx+c （cv 0）经过点（c, 0）,以该抛物线与坐标轴的 三个交点为顶点的三角形面积为S,则S可表示为（）-|2+b|b+1|BC（ 1-C）2C. (b+1)【考点】抛物线与x轴的交点.【专题】压轴题.【分析】把点（C, 0）代入抛物线中，可得 b、C的关系式，再设抛物线与 x轴的交点分别2为x1、x2，则x1、X2满足x +bx+c=0 ,根据根的判别式结合两点间的距离公式可求