2017中考二次函数专题分类训练

1、中考二次函数压轴题专题分类训练题型一：面积问题【例1】(2009湖南益阳)如图2,抛物线顶点坐标为点 C(1 , 4),交x轴于点A(3 , 0),交 y轴于点B(1)(2)求抛物线和直线 AB的解析式；求 CAB勺铅垂高CD及Sa cab ；(3)设点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，是否存在一点若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由P,使& PAB= Sa cab,821【变式练习】1. (2009广东省深圳市)如图，在直角坐标系中，点A的坐标为( 2, 0),连结OA将线段O砥原点O顺时针旋转120。，得到线段 OB(1)求点B的坐标；(2)求经过A O B三点的抛物

2、线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使 BOC勺周长最小？若存在，求出点 C的坐标；若不存在，请说明理由.(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点， 且在x轴的下方，那么 PAB是否有最大面积？ 若有，求出此时 P点的坐标及 PAB的最大面积；若没有，请说明理由.2. (2010绵阳)如图，抛物线 y = ax2+ bx + 4与x轴的两个交点分别为 A (4, 0)、B(2, 0),与y轴交于点 C,顶点为 D.E (1, 2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标;(2)在直线EF上求一点H,使4。口

3、U勺周长最小，并求出最小周长;(3)若点K在x轴上方的抛物线上运动，当 K运动到什么位置时， EFK的面积最大？并求出最大面积.3. (2012铜仁)如图，已知：直线y = x + 3交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线 y=ax2+bx+c经过A、R C (1, 0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点D的坐标为(-1 , 0),在直线y = x+3上有一点P,使AABO与AADP相似,求出点P的坐标；(3)在(2)的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E,使AADE的面积等于四边形APC目勺面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由.题型二：构造直角三角形【例2】(20

4、10山东聊城)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c (aw0)的对称轴为x=1,且抛物线经过 A(1, 0)、C (0, 3)两点，与x轴交于另一点 B.(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)在抛物线的对称轴 x=1上求一点 M使点M到点A的距离与到点 C的距离之和最小， 并求此时点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴 x=1上的一动点，求使/ PCB= 90o的点P的坐标.4 ml【变式练习】1. (2012广州)如图，抛物线y= W篮+3与x轴交于A、B两点(点 A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求点A、B的坐标；(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当4ACD的面积等

5、于 ACB的面积时，求点D的坐标；(3)若直线l过点E (4, 0), M为直线l上的动点，当以 A B M为顶点所作的直角三角 形有且只有三个时，求直线 l的解析式.2. (2009成者B)在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线 y=a(x+1)2+c(a>0)与x轴交于A B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,其顶点为 M,若直线MC的函数表达式为y =kx3,与x轴的交点为3.10N,且 CO5S/ BCO=10(1)求此抛物线的函数表达式；(2)在此抛物线上是否存在异于点 C的点巳 使以N P、C为顶点的三角形是以 NC为一条 直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若

6、不存在，请说明理由；(3)过点A作x轴的垂线，交直线 MQ点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线 与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？1 . I J 3 I 一O. 1x3.(2012杭州)在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k (x2+xT)的图象交于点A (1, k)和点 B (- 1, - k).(1)当k=-2时，求反比例函数的解析式；(2)要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求 k应满足的条件以及 x的取值范围；(3)设二次函数的图象的顶点为Q,当4ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求 k的值上述关b

7、;若不图(1)图(2)第26题4.如图(1),抛物线y =x2+x 4与y轴交于点A, E (0, b)为y轴上一动点，过点 E的直线y = x +b与抛物线交于点 B C(1)求点A的坐标；(2)当b=0时(如图(2), |_ABE与|_ACE的面积大小关系如何？当 b>4时, 系还成立吗，为什么？(3)是否存在这样的b,使得LBOC是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出 存在，说明理由.题型三：构造等腰三角形【例3】如图，已知抛物线 y=ax2 +bx+3 (aw0)与x轴交于点A(1, 0)和点B( 3, 0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上是否存在一点

8、Q使得 ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条 件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)设抛物线的对称轴与 x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点 巳使4CMP为等腰三 角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【变式练习】1 .如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(m, nj),点B的坐标为(n, - n),抛物线经过A O B三点，连接 OA OB AB,线段AB交y轴于点C.已知实数 m n (m< n)分别 是方程x2 - 2x - 3=0的两根.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为线段OB上的一个动点(不与点 。B重合)，直线PC与

9、抛物线交于 D E两点(点D在y轴右侧)，连接OD BD.当4OPC为等腰三角形时，求点 P的坐标；求ABOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标.2 .如图，抛物线 y =ax2 5ax+4经过4ABC的三个顶点，已知 BC / x轴，点A在x轴 上，点C在y轴上，且AC=BC(1)写出A,B,C三点的坐标并求抛物线的解析式; PAB是等腰三角(2)探究：若点 P是抛物线对称轴上且在 x轴下方的动点，是否存在形.若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由.3 . (2010黄冈)已知抛物线 y = ax2+bx+c(a¥0)顶点为C (1, 1)且过原点。.过抛物线5 .

10、一一. . .一上一点P (x, y)向直线y = 作垂线，垂足为 M,连FM (如图).6(1)求字母a, b, c的值；3(2)在直线x=1上有一点F(1-),求以PM为底边的等腰三角形 PFM勺P点的坐标，并证 4明此时 PFM为正三角形；(3)对抛物线上任意一点 P,是否总存在一点 N (1, t),使PM= PN恒成立，若存在请求出 t值，若不存在t#说明理由.题型四：构造相似三角形【例4】(2011临沂)如图，已知抛物线经过 A( - 2, 0), B ( - 3, 3)及原点O,顶点为C. (1)求抛物线的解析式；(2)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且 A、Q D E

11、为顶点的四边形是平行 四边形，求点D的坐标；(3) P是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P作PMLx轴，垂足为M,是否存在点P,使 得以P、M A为顶点的三角形 BOC相似？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理 由.【变式练习】1. (2012天水)如图，已知抛物线经过A (4, 0), B(1, 0), C (0, -2)三点.(1)求该抛物线的解析式；(2)在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D,使彳DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及 DCA0积的最大值；若不存在，请说明理由.(3) P是直线x=1右侧的该抛物线上一动点，过 P作PMLx轴，垂足为 M是否存在P点, 使

12、得以A、P、M为顶点的三角形与 OACf似？若存在，请求出符合条件的点 P的坐标；若 不存在，请说明理由.2.如图，二次函数的图象经过点D(0, 7J3),且顶点C的横坐标为4,该图象在x轴上截得的线段AB的长为6.(1)求二次函数的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PDt小，求出点P的坐标；(3)在抛物线上是否存在点 Q使 QA。4ABC相似？如果存在，求出点 Q的坐标；如果 不存在，请说明理由.【例5】(2012苏州)如图，已知抛物线y=错误！未找到引用源。x2 -错误！未找到引用源。(b+1)x+错误！未找到引用源。(b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交于点 A

13、、B (点A位于点B的左侧)，与y轴的正半轴交于点 C.(1)点B的坐标为，点C的坐标为 (用含b的代数式表示)；(2)请你探索在第一象限内是否存在点巳使得四边形PCOB勺面积等于2b,且4PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使彳QCO QOA和 QAB中的任意两个三角形均相似(全等可作相似的特殊情况)？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.【变式练习】1.(2012上海宝山)如图，平面直角坐标系 xOy中，已知点A (2, 3),线段AB垂直于y轴， 垂足为B,将线段AB绕点A逆

14、时针方向旋转90。，点B落在点C处，直线BC与x轴的交 于点D .(1)试求出点D的坐标；il y(2)试求经过 A、B、D三点的抛物线的表达式， 并写出其顶点E的坐标；(3)在(2)中所求抛物线的对称轴上找点F ,使得以点A、E、F为顶点的三角形与 4ACD相似.O I 1x（图7）12. (2012上海杨浦区)已知直线 y=x+1与x轴交于点 A 与y轴交于点B,将 AO就 2点O顺时针旋转90 s,使点A落在点C,点B落在点D,抛物线y=ax2+bx + c过点A DC,其对称轴与直线 AB交于点P,(1)求抛物线的表达式；(2)求/ POC勺正切值；y(3)点MF& x轴上，且

15、 ABM!APDK似，求点 M的坐标。13. (2012宁波)如图，二次函数 y=ax2+bx+c的图象交x轴于A ( 1, 0) , B (2, 0),交y 轴于C (0, - 2),过A, C画直线.(1)求二次函数的解析式；(2)点P在x轴正半轴上，且 PA=PC,求OP的长；(3)点M在二次函数图象上，以 M为圆心的圆与直线 AC相切，切点为 H.若M在y轴右侧，且CHMsaoc (点C与点A对应)，求点M的坐标;题型五：构造梯形【例6】已知，矩形OABCE平面直角坐标系中位置如图1所示，点A的坐标为(4,0),点C2的坐标为(0, 2),直线y = x与边BC相交于点D.3(1)求点

16、D的坐标；(2)抛物线y=ax2 +bx+c经过点A、D Q求此抛物线的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点 M,使Q H A M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点 M的坐标；若不存在，请说明理由.【变式练习】1 .已知平面直角坐标系 xOy中，抛物线y= ax2(a+1) x与直线y= kx的一个公共点为 A(4 ,8).(1)求此抛物线和直线的解析式；(2)若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交(1)中抛物线于点 Q求线段PQ长度 的最大值；(3)记(1)中抛物线的顶点为 M点N在此抛物线上，若四边形 AOM恰好是梯形，求点 N 的坐标及梯形AOMNJ面积.2. (

17、2011义乌)已知二次函数的图象经过A (2, 0)、C(0, 12)两点，且对称轴为直线x =4,设顶点为点P,与x轴的另一交点为点 B.(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标；(2)如图1,在直线y=2x上是否存在点 D,使四边形OPB时等腰梯形？若存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2,点M是线段OP上的一个动点(Q P两点除外)，以每秒吃个单位长度的速度 由点P向点O运动，过点 M作直线MN/x轴，交PB于点N.将PM的直线MN寸折，得 到RMN 在动点M的运动过程中，设 P1MN梯形OMNBJ重叠部分的面积为 S,运动时 间为t秒，求S关于t的函数关系式.3.如图

18、1,二次函数y=x2+px+q(p 。)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0, 1), ABC勺面积为-.4(1)求该二次函数的关系式；(2)过y轴上的一点 M (0, m彳y轴的垂线，若该垂线与 ABC勺外接圆有公共点，求 m 的取值范围；(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使以A、R C D为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由.题型六：构造平行四边形【例71 (2010陕西)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A (-1 , 0), B (3, 0), C(0, 1)三点。(1)求该抛物线的表达式；(2)点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以

19、点Q P、A B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点 P的坐标。【变式练习】1. (2012成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 产、工+口(m为常数)的图象与x轴交于点A ( -3, 0),与y轴交于点C.以直线x=1为对称轴的抛物线 y=ax2+bx+c ( a, b, c为常数，且a为)经过A, C两点，并与x轴的正半轴交于点 B.(1)求m的值及抛物线的函数表达式；(2)设E是y轴右侧抛物线上一点，过点 E作直线AC的平行线交x轴于点F.是否存在 这样的点E,使得以A, C, E, F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不

20、存在，请说明理由；(3)若P是抛物线对称轴上使 4ACP的周长取得最小值的点， 过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1 (x1，y)，M2 (x2, y2)两点，试探究2P是否为定值,并写出探究过程.2.如图1,在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4,0)、B(0, 4)、C(2,0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为 m AMAB勺面积为S,求S关于m的函数关系式，并求出 S的最大值；(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y = x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标

21、.3. (2011威海)如图，抛物线 y=ax2+bx+c交x轴于点A ( - 3, 0),点B (1, 0),交y轴于 点E (0, - 3).点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与 y轴平行.直线 y=-x+m过点C,交y轴于D点.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线 CD交于点H,与抛物线交于点 G 求线段HGK度的最大值；(3)在直线l上取点M,在抛物线上取点 N,使以点A, C, M, N为顶点的四边形是平行四【例8】已知平面直角坐标系 xOy (如图1), 一次函数y=9x+3的图像与y轴交于点A,4点M在正

22、比例函数 v_9X的图像上，且 MO= MA二次函数 y 2xy=x2+bx+c的图像经过点A、M(1)求线段AM勺长；'(2)求这个二次函数的解析式；'(3)如果点B在y轴上，且位于点 A下方，点C在上述二次函.".数的图像上，点 D在一次函数y=0x+3的图像上，且四边形° 14ABCD1菱形，求点C的坐标.【变式练习】1.将抛物线ci： y = -J3x2+T3沿x轴翻折，得到抛物线 C2,如图1所示.(1)请直接写出抛物线 C2的表达式；(2)现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M与x轴的交点从左到右依次为 A B；将抛物线

23、C2向右也平移 m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶 点为N,与x轴的交点从左到右依次为 D E.当R D是线段AE的三等分点时，求 m的值；在平移过程中，是否存在以点 A、M E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在， 请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.且A(1)(2)(3)题型七：线段最值问题【例9】(2011荷泽)如图，抛物线 y=lx2+bx- 2与x轴交于A, B两点，与y轴交于C点,2(-1, 0).求抛物线的解析式及顶点 D的坐标；判断 ABC的形状，证明你的结论；MC+M的值最小时，求 m的值.点M (m, 0)是x轴上的一个动点，当【变式练习】1. (2009山东省荷泽

24、市)如图，已知抛物线y=ax2 + bx+c与y轴交于点A(0 , 3),与x轴分别交于B(1 , 0)、C(5 , 0)两点.(1)求此抛物线的解析式；(2)若一个动点P自OA勺中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点 E),再到达抛物线 的对称轴上某点(设为点 F),最后运动到点 A求使点P运动的总路径最短的点 E、点F的 坐标，并求出这个最短总路径的长.2. (2011广东深圳)如图13,抛物线y=ax2+bx + c(a W0)的顶点为(1,4),交x轴于A、B,交y轴于D,其中B点的坐标为(3,0)(1)求抛物线的解析式(2)如图14,过点A的直线与抛物线交于点 E,交y轴于点F,其中E点的横坐标为2,若 直线PQ为抛物线的对称轴，点 G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点 H,使D> G F、H 四点围成的四边形周长最小 .若存在，求出这个最小值及 G H的坐标；若不存在，请说明理 由.(3)如图15,抛物线上是否存在一点 T,过点T作x的垂线，垂足为 M过点M作直线MN / BD,交线段AD于点N,连接MD使 DNMh BMD若存在，求出点 T的坐标；若不存在， 说明理由.【能力提升】1. (2011福州) 已知，如图11,二次函数y =ax2+2ax_3a (a=0)图象的顶点为 H,与x轴交于A、B两