空间直线平面位置关系

1、第7模块 第3节知能演练一、选择题1已知a，b是异面直线，直线c直线a，则c与b()A一定是异面直线 B一定是相交直线C不可能是平行直线 D不可能是相交直线解析：a，b是异面直线，直线c直线a.因而cb，否则，若cb，则ab与已知矛盾，因而cb.答案：C2四面体每相对两棱中点连一直线，则此三条直线()A互不相交 B至多有两条直线相交C三线相交于一点 D两两相交有三个交点解析：利用三角形的中位线定理可知三线交于一点答案：C3若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()A过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D过点P有且仅有

2、一条直线与l、m都异面解析：对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则lm，这与l，m异面矛盾；对于选项B，过点P与l、m都垂直的直线，即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C，过点P与l、m都相交的直线有一条或零条；对于选项D，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条答案：B4正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：连接D1C，AC，易证A1BD1C，AD1C即为异面直线A1B与AD1所成的角设AB1，则AA12，AD1D1C，AC，cosAD1C.异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.答案：D二、

3、填空题5如图所示，在三棱锥CABD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD2AB4，EFAB，则EF与CD所成的角是_解析：取CB中点G，连接EG、FG，EGAB，FGCD.EF与CD所成的角为EFG.又EFAB，EFEG.在RtEFG中，EGAB1，FGCD2，sinEFG，EFG30.EF与CD所成的角为30.答案：306在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是_(写出所有正确结论的编号)矩形不是矩形的平行四边形有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体每个面都是等边三角形的四面体每个面都是直角三角形的四面体解析：分两种情况：4个顶点共面时，

4、几何体一定是矩形；4个顶点不共面时，都有可能答案：三、解答题7有一矩形纸片ABCD，AB5，BC2，E，F分别是AB，CD上的点，且BECF1，如下图(1)现在把纸片沿EF折成图(2)形状，且CFD90.(1)求BD的距离；(2)求证：AC，BD交于一点且被该点平分(1)解：将平面BF折起后，补成长方体AEFDA1BCD1，则BD恰好是长方体的一条对角线因为AE，EF，EB两两垂直，所以BD恰好是以AE、EF、EB为长、宽、高的长方体的对角线所以BD.(2)证明：因为AD綊EF，EF綊BC，所以AD綊BC.所以点A、C、B、D在同一平面内，且四边形ABCD为平行四边形所以AC、BD交于一点且被

5、该点平分8如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60，并加以证明解：设APx(0x2)，利用PF与BC所成的角是60来构建以x为元的方程，再解x就确定了点P的位置如下图，ABCD是边长为的正方形，AC2.设APx(0x2)，作PQAB交AB于Q，则PQBC，相交直线PF与PQ所成的角是异面直线PF与BC所成的角平面ABCD平面ACEF，AFAC，AF平面ABCD，AFPQ.ABAFA，PQ平面ABF，PQFQ.要使PF与BC所成角是60，只需使FPQ60，即只需使PF2PQ，PQAPx，只需使PFx.又在RtAP

6、F中，PF，x.x1.当P点是线段AC的中点时PF与BC所成的角为60.高考模拟预测1(2009湖南高考)正方体ABCDA1B1C1D1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为()A2 B3C4 D5解析：由下图观察可知，正方体棱上到异面直线AB、CC1的距离相等的点为点D，B1，线段BC的中点E，线段A1D1中点F，总共4个，故选C.答案：C2(2009全国)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()A.B.C.D.解析：设棱长为2，BC的中点为D，由题意，得AD.在RtA1AD中，A1D1

7、.在RtA1BD中，A1B.AA1CC1，AB与AA1所成的角A1AB即为AB与CC1所成的角在A1AB中，由余弦定理，得cosA1AB.答案：D3(2009全国)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：如下图所示，连接A1B，因A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1BD1C，则异面直线BE与CD1所成的角即为BE与BA1所成的角不妨设AB1，则AA12，设ABE，ABA1，则sin，cos，sin，cos.cos()coscossinsin.故选C.答案：C4(2007上海高考

8、)在平面上，两条直线的位置关系有相交，平行，重合三种，已知，是两个相交平面，空间两条直线l1，l2在上的射影是直线s1，s2；l1，l2在上的射影是直线t1，t2，利用s1与s2，t1与t2的位置关系写出一个总能确定l1，l2是异面直线的充分条件_解析：当s1s2且t1与t2相交时，可推得l1与l2总是异面直线，当l1，l2在内的射影s1，s2平行时，我们可断定l1与l2一定不相交，同理当l1，l2在内的射影t1，t2相交时，也可推得l1，l2一定不平行，故l1与l2一定是异面直线同理当t1t2且s1与s2相交时，也符合题意答案：s1s2，且t1与t2相交；(t1t2，且s1与s2相交)5空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD1，则AC的取值范围是_解析：如下图所示，ABD与BCD均为边长为1的正三角形，当ABD与CBD重合时，AC0，将ABD以BD为轴转动，到A，B，C，D四点再共面时，AC，如下图，故AC的取值范围是0AC.答案：(0，)6在长方体ABCDA1B1C1D1的面A1C1上有一点P(如图所示，其中P点不在对角线B1D1上)(1)过P点在空间中作一直线l，使l直线BD，应该如何作图？并说明理由；(2)过P点在平面A1C1内作一直线m，使m与直线BD成角，其中(0，这样的直线有几条，应该如何作图？解：(1)连接B1D1，在平面A1C1内过P作直线l，使lB1D1，