以L为周期的函数的傅氏级数PPT学习教案

1、会计学1以以L为周期的函数的傅氏级数为周期的函数的傅氏级数2022年4月19日星期二2一、以一、以2L为周期为周期的傅氏级数的傅氏级数 本节讨论以2L为周期的函数的傅里叶级数展开式及偶函数和奇函数的傅里叶级数展开式ltxtlx或第1页/共23页2022年4月19日星期二3)sincos(2)(10nnnntbntaatF(1) 其中 , 2 , 1 , 0,cos)(1nntdttFan, 2 , 1 , 0,sin)(1nntdttFbn(2) 第2页/共23页2022年4月19日星期二4于是由(1)与(2)式分别得 )sincos(2)(10nnnlxnblxnaatFxf(3) llnn

2、dxlxnxfa, 2 , 1 , 0,cos)(llnndxlxnxfb, 2 , 1 , 0,sin)( (4) 第3页/共23页2022年4月19日星期二5 5.sincos22)0()0(10nnnlxnblxnaaxfxf式式为为则则它它的的傅傅里里叶叶级级数数展展开开定定理理的的条条件件满满足足收收敛敛的的周周期期函函数数设设周周期期为为,)(2xfl定理定理),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 第4页/共23页2022年4月19日星期二6为为其中系数其中系数nnba ,), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln), 2 , 1(,si

3、n)(1 ndxlxnxflblln,)()1(为奇函数为奇函数如果如果xf则有则有,sin)(1 nnlxnbxf,sin)(20dxlxnxflbblnn 为为其中系数其中系数), 2 , 1( n第5页/共23页2022年4月19日星期二7,)()2(为偶函数为偶函数如果如果xf则有则有,cos2)(10 nnlxnaaxfdxlxnxflaalnn 0cos)(2为为其中系数其中系数), 2 , 1 , 0( n证明证明,lxz 令令lxl , z),()()(zFlzfxf 设设.2)(为周期为周期以以 zF),sincos(2)(10nzbnzaazFnnn 第6页/共23页202

4、2年4月19日星期二8)sincos(2)(10 xlnbxlnaaxfnnn .sin)(1,cos)(1 nzdzzFbnzdzzFann其中其中.sin)(1,cos)(1 llnllnxdxlnxflbxdxlnxfla其中其中)()(xfzFlxz 第7页/共23页2022年4月19日星期二9k2 xy2044 例例 1 1 设设)(xf是周期为是周期为 4 的周期函数的周期函数,它在它在)2 , 2 上的表达式为上的表达式为 20020)(xkxxf, 将其展将其展成傅氏级数成傅氏级数.解解., 2 满足狄氏充分条件满足狄氏充分条件 l 2002021021kdxdxa,k 第8页

5、/共23页2022年4月19日星期二10 202cos21xdxnk, 0 202sin21xdxnkbn)cos1( nnk, 6 , 4 , 20, 5 , 3 , 12 nnnk当当当当)25sin5123sin312(sin22)( xxxkkxf), 4, 2, 0;( xx na), 2 , 1( n第9页/共23页2022年4月19日星期二11例例 2 2 将函数将函数 15510)( xxxf展开成傅展开成傅氏级数氏级数.解解,10 xz作变量代换作变量代换155 x, 55 z)10()( zfxf),(zFz ,)55()(的定义的定义补充函数补充函数 zzzF, 5)5(

6、 F令令)10()( TzF作周期延拓作周期延拓然后将然后将,收收敛敛定定理理的的条条件件这这拓拓广广的的周周期期函函数数满满足足).()5, 5(zF内收敛于内收敛于且展开式在且展开式在 第10页/共23页2022年4月19日星期二12x)(zFy5 501510), 2 , 1 , 0(, 0 nan 502sin)(52dzznzbn,10)1( nn), 2 , 1( n,5sin)1(10)(1 nnznnzF)55( z 1)10(5sin)1(1010nnxnnx.5sin)1(101 nnxnn)155( x第11页/共23页2022年4月19日星期二13另解另解 1555co

7、s)10(51dxxnxan 1555sin)10(51dxxnxbn 1551555cos515cos2dxxnxdxxn, 0 1550)10(51dxxa, 0 ,10)1( nn ), 2 , 1( n 15sin)1(1010)(nnxnnxxf故故)155( x), 2 , 1( n第12页/共23页2022年4月19日星期二14:. 1定义、 设设 是以是以 为周期的偶函数为周期的偶函数,或是定义在或是定义在fl 2 上的偶函数上的偶函数,则称则称,ll 10cos2 nnlxnaaf为为 的余弦级数的余弦级数,其中其中lnndxlxnxfla0., 2, 1 , 0,cos)(

8、2二二 偶函数与奇函数的傅立叶级数偶函数与奇函数的傅立叶级数第13页/共23页2022年4月19日星期二15 若若 是以是以 为周期的奇函数为周期的奇函数,或是定义在或是定义在 ,ll fl 2 上的奇函数上的奇函数,则称则称1sin nnlxnb为为 的正弦级数的正弦级数,其中其中flnndxlxnxflb0., 2 , 1,sin)(2第14页/共23页2022年4月19日星期二16第15页/共23页2022年4月19日星期二17:2奇偶延拓、 若将定义在若将定义在 (或或 )上的函数上的函数 展成余弦展成余弦级数或正弦级数级数或正弦级数,先把定义在先把定义在 (或或 )上的函数作上的函数

9、作偶式延拓或作奇式延拓至偶式延拓或作奇式延拓至 (或或 )f, 0 , 0 l, 0 , 0 l,ll yxoyxo偶式延拓奇式延拓第16页/共23页2022年4月19日星期二18:3例,sin)(xxxf 设函数设函数f 求求 的的Fourier级数展开式级数展开式.:解f 是是 上的偶函级上的偶函级,其周期延拓后其周期延拓后(如下图如下图),23xyo23f 由于由于 是按段光滑函数是按段光滑函数,故可展开成余弦级数故可展开成余弦级数.第17页/共23页2022年4月19日星期二19因为因为002sin,4axdx102sin cos0,axxdx020,3,5,2sincos41,2,4

10、,.1nnaxnxdxnn所以所以21214sincos241mxmxm212cos21 2,.41mmxxm 第18页/共23页2022年4月19日星期二20把把 在在 内展成内展成 xxf)() 2 , 0 (:4例(i) 正弦级数正弦级数; (ii) 余弦级数余弦级数.:解(i) 为了把为了把 展成正弦级数展成正弦级数,对对 作奇式周期延拓作奇式周期延拓ffxyo22第19页/共23页2022年4月19日星期二21则则., 2 , 1,) 1(42sin22b 120nnndxxnxn所以当所以当 时时,由收敛定理由收敛定理 得得) 2 , 0 (x114( )( 1)sin2nnn xf xxn (ii) 为了把为了把 展成余弦级数展成余弦级数,对对 作作 偶式偶式 周期延拓如下图周期延拓如下图:ff第20页/共23页2022年4月19日星期二22xyo26624848则则, 2a 200 xdx, 2 , 1,1) 1(42cos22a 2220nnndxxnxn)., 2 , 1(0,) 12(8a 2221 -2kkakk第21页/共23页2022年4月19日星期二23利用变量代