空间解析几何基础

1、北京理工大学数学系北京理工大学数学系A（下）授课教师：李保奎联系方式：北京理工大学数学系北京理工大学数学系注意： 谢绝拷贝课件，有需要上教学平台下载 上课不迟到，不早退，不旷课（10分） 按时交作业（10分） 有事课前请假，三次以内不记旷课 建议课前预习，五分钟走马观花 按照以前答疑安排，每周一下午北京理工大学数学系北京理工大学数学系第六章空间解析几何与向量代数6.1 空间直角坐标系空间直角坐标系6.2 向量及其线性运算向量及其线性运算北京理工大学数学系北京理工大学数学系给出了几何问题的统一笛卡儿笛卡儿(1596 1650)法国哲学家, 数学家, 物理学家, 解析几何奠基人之一 .1637年他

2、发表的几何学论文分析了几何学与 代数学的优缺点, 进而提出了 “ 另外 一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”, 从而提出了解析几何学的主要思想和方法, 恩格斯把它称为数学中的转折点.把几何问题化成代数问题 ,作图法,北京理工大学数学系北京理工大学数学系x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合三个坐标轴的正方向符合右手系右手系.一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系北京理工大学数学系北京理工大学数学系xyozxoy面面yoz面面zox面面一个中心、三个轴、一个中心、三个轴、三个面、三个面、 八个卦限八个卦限北京理工大学数学系北京理工大学数

3、学系空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊点的表示:)0 , 0 , 0(OM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C( , , )x y zxyz北京理工大学数学系北京理工大学数学系设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd,222212NMPNPMd 二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离北京理工大学数学系北京理工大学数学系,121xxPM ,

4、12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M北京理工大学数学系北京理工大学数学系例例 1 1 求求证证以以)1 , 3 , 4(1M、)2 , 1 , 7(2M、)3 , 2 , 5(3M三三点点为为顶顶点点的的三三角角形形是是一一个个等等腰腰三三角角形形.解解 221MM,14)12()31()47(222 232MM, 6)23()12()75(222 213MM, 6

5、)31()23()54(222 32MM,13MM 原结论成立原结论成立.121323M MM MM M又北京理工大学数学系北京理工大学数学系解解设设P点坐标为点坐标为),0 , 0 ,(x因因为为P在在x轴轴上上， 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求点为所求点为).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 北京理工大学数学系北京理工大学数学系思考题思考题在空间直角坐标系中，指出下列各在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？点在哪个卦限？, )3 , 2, 1( A, )4, 3 , 2( B, )

6、4, 3, 2( C. )1 , 3, 2( DA:; B:; C:; D:;北京理工大学数学系北京理工大学数学系6.2 向量及其线性运算向量及其线性运算一、向量的概念一、向量的概念二、向量的加减法二、向量的加减法三、数与向量的乘法三、数与向量的乘法四、向量的投影四、向量的投影五、向量的坐标表示五、向量的坐标表示六、向量的方向角与方向余弦六、向量的方向角与方向余弦北京理工大学数学系北京理工大学数学系向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M为为起起点点，2M为为终终点点的的有有向向线线段段.1M 2M a21MM模长为模长为1 1的向量的向量. .2

7、1MM00a零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .0|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：或或或或或或一、向量的概念一、向量的概念北京理工大学数学系北京理工大学数学系自由向量：自由向量：不考虑起点位置不考虑起点位置, ,只考虑大小方向的向量只考虑大小方向的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .记为：记为：a 向径：向径：aba a空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量. . OMM

8、平行向量：平行向量： 方向相同或相反的向量方向相同或相反的向量. .记为：记为：ab北京理工大学数学系北京理工大学数学系1 加法：加法：cba abc（平行四边形法则）（平行四边形法则）特殊地：若特殊地：若ababc|bac 分为同向和反向分为同向和反向bac|bac （有时也称为三角形法则）（有时也称为三角形法则）二、向量的加减法北京理工大学数学系北京理工大学数学系向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：.abba （2 2）结合律：）结合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa2 减法减法)( baba abb b cbabac

9、 )(ba ba ab北京理工大学数学系北京理工大学数学系设设 是是一一个个数数，向向量量a与与 的的乘乘积积a 规规定定为为, 0)1( a 与与a同同向向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反反向向，|aa aa2a21 三、数与向量的乘法三、数与向量的乘法北京理工大学数学系北京理工大学数学系数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(0.ababa定理设向量，那么向量平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数 ，使两个向量的平行关系两个向量的平行关系

10、北京理工大学数学系北京理工大学数学系同方向的单位向量，同方向的单位向量，表示与非零向量表示与非零向量设设aa0按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量.北京理工大学数学系北京理工大学数学系例例2 2 试用向量方法证明：对角线互相平分的试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形四边形必是平行四边形.证证AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC ADBC 结论得证结论得证.ABCDMab北京理工大学数学系

11、北京理工大学数学系空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：, 0 a, 0 bab 向向量量a与与向向量量b的的夹夹角角),(ba ),(ab 类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. 0() 四、向量的投影北京理工大学数学系北京理工大学数学系空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u AA 北京理工大学数学系北京理工大学数学系空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影uAA BB 0 uu设为轴的单位

12、向量0 A Bu ,使得 ()uAB 即：注注：投影的结果是一个数量值，可正可负可为零。：投影的结果是一个数量值，可正可负可为零。北京理工大学数学系北京理工大学数学系关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（1 1） 向量向量AB在轴在轴u上的投影等于向量的模乘以上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：轴与向量的夹角的余弦：uABA B B ()|cosuABAB u 北京理工大学数学系北京理工大学数学系定理定理1 1的说明：的说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；uabc(4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等； 0)1(,2 2)2(,

13、 )3(,2 北京理工大学数学系北京理工大学数学系关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（2 2）两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和. .AA BB CC （可推广到有限多个）（可推广到有限多个）u1a2a1212()()()uuuaaaa北京理工大学数学系北京理工大学数学系过过21, MM各作垂直于三个坐标轴的平面各作垂直于三个坐标轴的平面 ,五、向量的坐标表示五、向量的坐标表示xyzoPNQR 1M 2M北京理工大学数学系北京理工大学数学系xyzo 1MPNQR 2M以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正正向

14、向的的单单位位向向量量.ijkkajaiaazyx 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影x 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影y 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxMM)()()(12121221 北京理工大学数学系北京理工大学数学系kzzjyyixxMM)()()(12121221 按基本单位向量的按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式：在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：,kajaiazyx向量的向量的坐标坐标：,zyxaaa向量的向量的坐标表达式坐标表达式：,zyxaaaa ,12121221zzyyxxMM 特殊地：特

15、殊地：,zyxOM 北京理工大学数学系北京理工大学数学系向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 北京理工大学数学系北京理工大学数学系 /abba如何用向量的坐标来表示上述定理?111222 ,ax y zbxyz，；/abab212121,xx yy zz 111222 xyzxyz北京理工大学数学系北京理

16、工大学数学系解解,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 设设),(zyxM为直线上的点，为直线上的点，ABMxyzo北京理工大学数学系北京理工大学数学系由题意知：由题意知：MBAM ,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM为为有有向向线线段段AB的的定定比比分分点点.M为为中中点点时时，,221xxx ,221yyy .221zzz 北京理工大学数学系北京理工大学数学系非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的

17、正向的夹角称为方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 六、向量的方向角与方向余弦六、向量的方向角与方向余弦北京理工大学数学系北京理工大学数学系xyzo 1M 2M 由图分析可知由图分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .222|zyxaaaa PQR向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式21212121RMQMPMMM 北京理工大学数学系北京理工大学数学系0222 zyxaaa当当 时，时，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .co

18、s222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式北京理工大学数学系北京理工大学数学系1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为0,|cos, cos, cos .aaa aa 即，成立：北京理工大学数学系北京理工大学数学系1212(1, 2,3),(0,2, 1), MMM M例：已知求 的模和方向余弦12222120 1,2( 2), 1 3144 |( 1)4( 4)33M MijkM M 解：121cos,|33xM M124cos,|33yM M124cos|33xM M北京理工大学数学系北京理工大学数学系 5 , 60 .ax yza练习：已知向量的模为 ， 与轴正方向的夹角都是度，与轴正方向的夹角为钝角，求向量 |cos , cos,cos .aa分析：1coscoscos222 北京理工大学数学系北京理工大学数学系解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji 北京理工大学数学系北京理工大学数学系空间直角坐标系空间直角坐标系 空间