数值计算方法ch—学习教案

1、数值数值(shz)计算方法计算方法ch第一页，共16页。其逆矩阵也是倍加矩阵矩阵倍加是特殊的初等矩阵称为矩阵通常记为行元素有关与变换后增广矩陈的第,./kiikkkikElkiaac ikcEki11111第1页/共16页第二页，共16页。它们都是单位下三角矩阵，即对角元全为1、对角线上方元素全为零的矩阵。因此不选主元的高斯消去法消去过程，实质是增广(zn un)矩陈 被左乘一系列倍加矩阵，变成上三角形矩阵 ，即ARRAEEEEEEnnnn12131232,1此式称为(chn wi)高斯消去法的矩阵形式。由此显然REEEEREEEAnnnn,1111311211213,1注意EEEELnn,1

2、1113112E1n是将单位矩阵 的第行倍数加于第 行， ，将第一行的倍数加于第 行、 、第二行，可见 是单位下三角矩阵。故nnLbLyLRA,LyLRyRLRLAbA这说明，高斯消去法的消去过程，实质上是把系数矩阵 分解为单位下三角矩阵 与上三角矩阵 的乘积，并且求解议程组 的过程。回代过程就是求解上三角形方程组ALRbLy yRx 第2页/共16页第三页，共16页。 矩阵 和 也可直接算出。事实上，比较等式 两边等 行、第 列元素可知LRRLA ij11,1,1njnirlankkjikij注意 是单位(dnwi)下三角矩阵， 便知L, 0, 1ikiilikl时11ikijkjikijr

3、rla从而(cng r)11221, 1,ikkjikijijniijrlar同样，因 为上三角阵， 知R, 0kjrik时nkikiijikijkkijkjirlrlrla111第3页/共16页第四页，共16页。可见(kjin)32, 2, 1,11niijrrlaliiikkijkjijiNoImage公式（2-2）和（2-3）就是计算 和 各元素的计算公式。 实际计算时 的对角元 不必存放， 和 中肯定为零的元素也不必存放，因此 的 可共同存放在增广矩阵 的位置：LRL1iilLRLRA 33333333333232313122222323222221211111131312121111

4、byararalalbyarararalbyararararnnnnijrjilALRRRLiRi此时公式（2-2）、（2-3）表明， 或 都是原始矩阵 对应元素，减去同行左边 的元素与同列上边 的元素乘积；只是(zhsh)对 的元素，然后需除以 的对角元。计算顺序，通常先算 的第 行，再算 的第 列；也可先算 的第 列，再算 的第 行， 如图21所示：Lni,2, 1iL第4页/共16页第五页，共16页。 ani, 2 , 1 b图21 计算(j sun)顺序例21 分解 ，并解方程组 ，其中LRAbAx 71052,139144301021312434321bA解 按计算公式（2-2）和（

5、2-3）第5页/共16页第六页，共16页。164234172332113232432171391441030102513124324321A详细计算(j sun)过程如下（下文不再写出）：16172)1(3)2(4742213)4(413;23)3(3349(17)1(3)2(210213)4(23, 3)3(3320; 32)2414(, 32)2210(1)2()3(5, 1)4()3(1333)3(12, 22)3(4;414, 212, 3132, 4, 3, 2, 145444433533433423225224232241312115114131211ryrlryrrllryrrr

6、lllryrrrr第6页/共16页第七页，共16页。从而(cng r)161712,4231324321,1234132131yRLTx4,3,2,1bLy yRx 回代（解方程组 ），得yRx 分解 且 为单位下三角阵、 为上三角阵，称为(chn wi)杜里特尔Dolittlse)分解。利用杜里特尔分解求解方程组 或 ，相当于解两个三角形方程组LRA LRbAx bRxL)(解下三角方程组 可以在分解 时同时完成（如例21），也可独立(dl)完成。这是因为，把 写成分量形式，就是bLy RLA bLy 第7页/共16页第八页，共16页。nnnnnnnbyylylylbyylylbyylby1

7、1,2211332321312212111由此可见，niylbybyikkikii,3,2,1111 用杜里特尔分解求解方程组（2-1），所需乘除次数与高斯消去法完全一样。其中分解 需 次，解 需 次，解 需 次，共计 次。LRA nn 331bLy nn 221yRx nn 221nnn313123第8页/共16页第九页，共16页。阵，即对角全为1、对角线上方元素全为零的矩阵。因此不选主元的高斯消去过程，实质是增广矩阵被左乘一系列倍加矩阵，变成上三角形矩阵,即此式称为高斯消去法的矩阵形式。由此显然注意是将单位矩阵NoImage三角分解法常用于求解系数矩阵(j zhn)都是 的若干方程式组mi

8、bAxii,2,1,这是因为，一旦完成(wn chng)分解 ，只需再解 个三角形方程组LRA m miyRxbLyiiii,2, 1,A解这种三角形方程组每组只需 次乘除(chngch)法，远比重复使用高斯消去法节省工作量。为保证三角分解顺序、稳定进行，与高斯消去法一样，也可选主元。常用列主元法。2n. 克洛特分解法当矩阵 可作杜里特尔分解 时,令 为 对角元构成的对角阵ARLA DR则NoImageRDLDRLArrrdiagDrrrdiagDnnnn1112211112211),(),(第9页/共16页第十页，共16页。再算第 行；或者先算第 行，再算第 列， 如图22所示。克洛特分解法

9、的用法(yn f)及运算量与杜里特尔分解法相同。 例22 用克洛特分解法求解方程组,2, 1niiii815531614255213243214314214321xxxxxxxxxxxxxx1161391596921012121312181515316114012505213121解135011613921121yRL得第10页/共16页第十一页，共16页。解 ，得解 。解毕。 为保证克洛特分解法顺利、稳定进行，也可采用列主元法。求解(qi ji) 步骤如下：yRx Tx1, 1, 1, 1bAx 对 做ni1niknkikninjikkjikijijjinjipii

10、kkijkjijiyRxaaaaniiaaaanijipipaaiaaaanij11,1,1,11111111,max)(解令对行算令对选主元行时交换当求列算令对 计算结束时 的第 列就是解 注意：例22中系数矩阵对称： ，此时 就是 各列除以对角元所得(su d)矩阵的转置矩阵。一般来说 对称且可作克洛特分解 ，记 的对角元构成的对角阵为 ， 各列除以对角元构成的单位下三角矩阵为 ，则A1nAATRL|WTBXLRA LDLL第11页/共16页第十二页，共16页。TTTTTTTTLDRLDRLDRDRLAADRL可见 ， ，说明 都是 各列除以对角元所得矩阵的转置矩阵；说明对称矩阵 可分解为

11、 或 。因此 可由 直接(zhji)求出，而不必再按公式（24）第二式重复计算。这样分解 可以节省 次乘法，即节约大约一半的运算量。 也可不存储。TLRDRRATRLADRRATTLDLRLAnnn236123R 2.2.3 追赶法 追赶法适于求解对角(du jio)方程组 ,这里bAx nnnnnnndbadcbadcbadcbadcbbAA111133332222111第12页/共16页第十三页，共16页。其实质是高斯消去法、三角分解(fnji)法的应用。事实上，将 作克特分解(fnji)AnnnnnnnyyryryryrlalalalalA11111113322111133221则易知1

12、1111,ldyblnilyadyrabllcriiiiiiiiiiii, 3, 2,11111回代得11,1nixryxyxiiiinn。按照这些公式次数(csh)求解 的方法就称追赶法，其中算 称追，回代称赶，共需乘除法次数(csh)为 ，远比一般方程组的高斯消去法或三角分解法节省运算量。实际问题提出的三对角方程组往往严格对角占优，因此不用选主元，就可保证顺利、稳定进行。bAx iiiylr,45 n第13页/共16页第十四页，共16页。2.2.4 平方根法 平方根法适于求解 对称(duchn)正定的方程组 。此时 的各阶顺序主子式 ，保证了主元大于零，保证了 可作克特分解 而且 的对角元

13、 （也就是主元）全为正数。所以令 ，则AbAx AA0kTLDLADidnddddiagD,2121TTDLDLLDDLADDD)()(,212121212121再记 为 ，则上式表明。对称正定(zhn dn)矩阵 可分解为 ，即下三角矩阵及其转置矩阵的乘积，利用比较法可得 元素计算公式：ninijlllallaliiikikjkjijiikikiiii1)62(1,)()(111121221DLLATLLA L利用这种分解方程组 称为平方根法或乔列斯基(cholesky)分解法。跟前种分解法一样，求解下三角方程组 可在分解 的同时(tngsh)进行。bAx bLy A第14页/共16页第十五页，共16页。例23 用平方根法求解(qi ji)例22方程组。解1121352321012121312181515316114012505213121A故