数学向量代数空间解析几何学习教案

1、会计学1数学向量代数空间数学向量代数空间(kngjin)解析几何解析几何第一页，共67页。1 1、向量、向量(xingling)(xingling)的概念的概念定义定义: :既有大小既有大小(dxio)(dxio)又有方向的量称为又有方向的量称为向量向量. .自由自由(zyu)(zyu)向量、向量、相等向量、相等向量、负向量、负向量、向径向径. .重要概念重要概念: :零向量、零向量、向量的模、向量的模、 单位向量、单位向量、平行向量、平行向量、第2页/共67页第二页，共67页。(1) (1) 加法加法(jif)(jif)：cba 2 2、向量、向量(xingling)(xingling)的线

2、性运算的线性运算dba ab(2) (2) 减法减法(jinf)(jinf)：cba dba (3) (3) 向量与数的乘法：向量与数的乘法：, 0)1( a 与与a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反向，反向，|aa 第3页/共67页第三页，共67页。向量向量(xingling)(xingling)的的分解式：分解式：,zyxaaaa .,轴上的投影轴上的投影分别为向量在分别为向量在其中其中zyxaaazyxkajaiaazyx 在三个坐标轴上的分向量在三个坐标轴上的分向量(xingling)(xingling)：kajaiazyx,向量的坐标向量的坐标(zu

3、bio)(zubio)表示式：表示式：向量的坐标：向量的坐标：zyxaaa,3 3、向量的表示法、向量的表示法第4页/共67页第四页，共67页。向量向量(xingling)的加减法、向量的加减法、向量(xingling)与数的乘与数的乘积等的坐标表达式积等的坐标表达式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa kbajbaibazzyyxx)()()( kbajbaibazzyyxx)()()( kajaiazyx)()()( 第5页/共67页第五页，共67页。222|zyxaaaa 向量模长的坐标向量模长的坐标(zub

4、io)表示式表示式222coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa 向量方向余弦的坐标向量方向余弦的坐标(zubio)表表示式示式)1coscoscos(222 第6页/共67页第六页，共67页。4 4、数量、数量(shling)(shling)积积 cos|baba 其其中中 为为a与与b的的夹夹角角( (点积、内积点积、内积) )zzyyxxbabababa 数量数量(shling)(shling)积的坐积的坐标表达式标表达式ba 0 zzyyxxbababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角两向量夹角(j

5、i jio)(ji jio)余弦的坐标表余弦的坐标表示式示式第7页/共67页第七页，共67页。5 5、向量、向量(xingling)(xingling)积积 sin|bac 其其中中 为为a与与b的的夹夹角角( (叉积、外积叉积、外积(wi j)(wi j)kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量向量(xingling)(xingling)积积的坐标表达式的坐标表达式ba 第8页/共67页第八页，共67页。zyxzyxbbbaaakjiba ba/ / /zzyyxxbababa cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa 6 6、混合、混合(hnh

6、)(hnh)积积3 3向量向量(xingling)(xingling)共面的充要条件是混共面的充要条件是混合积为合积为0 0。第9页/共67页第九页，共67页。直直 线线曲面曲面(qmin)(qmin)曲线曲线(qxin)(qxin)平平 面面参数参数(cnsh)(cnsh)方程方程旋转曲面旋转曲面柱柱 面面二次曲面二次曲面一般方程一般方程参数方程参数方程一般方程一般方程对称式方程对称式方程点法式方程点法式方程一般方程一般方程空间直角坐标系空间直角坐标系（二）空间解析几何（二）空间解析几何第10页/共67页第十页，共67页。x横轴横轴y纵纵轴轴z竖轴竖轴 定定点点o1 1、空间、空间(kngj

7、in)(kngjin)直角坐标系直角坐标系空间空间(kngji(kngjin)n)的点的点有序数组有序数组),(zyx第11页/共67页第十一页，共67页。 21221221221zzyyxxMM 它们它们(t men)距离为距离为设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点两点间距离两点间距离(jl)(jl)公式公式: :第12页/共67页第十二页，共67页。曲面曲面(qmin)(qmin)方程的定义：方程的定义：如果曲面如果曲面S与三元方程与三元方程0),( zyxF有下述关系：有下述关系：(1) 曲面曲面S上任一点的坐标都满足方程；上任一点的坐标都满足方程；那那

8、么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的图图形形.2 2、曲面、曲面(qmin)(qmin)(2) 不在曲面不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；上的点的坐标都不满足方程；第13页/共67页第十三页，共67页。研究研究(ynji)(ynji)空间曲面的两个基本问题：空间曲面的两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究）已知坐标间的关系式，研究(ynji)(ynji)曲面形曲面形状状. .（1 1）已知曲面作为点的轨迹）已知曲面作为点的轨迹(guj)(guj)时，求曲面方程时，求曲面方程. .1 1 旋转曲面旋转曲面定义：以一

9、条平面曲线绕其定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称之所成的曲面称之. .这条定直线叫旋转曲面的轴这条定直线叫旋转曲面的轴. .第14页/共67页第十四页，共67页。方程方程(fngchng)(fngchng)特点特点: :0),()2(0),()1(00),(:2222 yzxfyLzyxfxLzyxfL方程为方程为轴旋转所成的旋转曲面轴旋转所成的旋转曲面绕绕曲线曲线方程为方程为轴旋转所成的旋转曲面轴旋转所成的旋转曲面绕绕曲线曲线设有平面曲线设有平面曲线第15页/共67页第十五页，共67页。（2 2）圆锥）圆锥(yunzhu)(yunzhu)面面

10、222zyx （1 1）球面）球面(qimin)(qimin)（3 3）旋转）旋转(xunzhun)(xunzhun)双曲双曲面面1222222 czayax1222 zyx第16页/共67页第十六页，共67页。2 2 柱面柱面定义定义(dngy(dngy) )：平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C C移动的直线移动的直线L L所形所形成成(xngchng)(xngchng)的曲面称之的曲面称之. .这条定曲线叫柱面的这条定曲线叫柱面的准线准线(zhn xin)(zhn xin)，动，动直线叫柱面的母线直线叫柱面的母线. .第17页/共67页第十七页，共67页。从柱面方程从柱面方程(

11、fngchng)(fngchng)看柱面看柱面的特征：的特征：(1) (1) 平面平面(pngmin) (pngmin) xy 第18页/共67页第十八页，共67页。(3) (3) 抛物柱面抛物柱面 )0(22 ppyx(4) (4) 椭圆柱面椭圆柱面 12222 byax(2) (2) 圆柱面圆柱面 222Ryx 第19页/共67页第十九页，共67页。3 3 二次曲面二次曲面定义定义: :三元二次方程所表示三元二次方程所表示(biosh)(biosh)的曲面称为二次的曲面称为二次曲面曲面. .（1 1）椭球面）椭球面1222222 czbyaxzqypx 2222（2 2）椭圆）椭圆(tuy

12、un)(tuyun)抛物面抛物面)(同号同号与与qp第20页/共67页第二十页，共67页。zqypx 2222（3 3）马鞍）马鞍(m (m n)n)面面)(同号同号与与qp（4 4）单叶双曲面）单叶双曲面1222222 czbyax（5 5）圆锥）圆锥(yunzhu)(yunzhu)面面222zyx 第21页/共67页第二十一页，共67页。3 3、空间、空间(kngjin)(kngjin)曲线曲线 0),(0),(zyxGzyxF1 1 空间空间(kngjin)(kngjin)曲线的一般方曲线的一般方程程 )()()(tzztyytxx2 2 空间空间(kngjin)(kngjin)曲线的曲

13、线的参数方程参数方程第22页/共67页第二十二页，共67页。 22222)21()21(1yxyxz 2sinsin2121cos21tztytx如图空间如图空间(kngjin)曲线曲线一般方程为一般方程为参数参数(cnsh)方程为方程为第23页/共67页第二十三页，共67页。3 3 空间曲线空间曲线(qxin)(qxin)在坐标面上的投在坐标面上的投影影 0),(0),(zyxGzyxF消去变量消去变量(binling)z(binling)z后得：后得：0),( yxH设空间设空间(kngjin)(kngjin)曲线的一般方程：曲线的一般方程： 00),(zyxH曲线在曲线在 面上的投影曲线

14、为面上的投影曲线为xoy 00),(xzyR 00),(yzxT面上的投影曲线面上的投影曲线yoz面上的投影曲线面上的投影曲线xoz第24页/共67页第二十四页，共67页。4 4 空间立体或曲面空间立体或曲面(qmin)(qmin)在坐标面上的投在坐标面上的投影影空间空间(kngjin)(kngjin)立体立体曲面曲面(qmi(qmin)n)第25页/共67页第二十五页，共67页。4 4、平面、平面(pngmin)(pngmin),CBAn ),(0000zyxMxyzon0MM1 1 平面平面(pngmin)(pngmin)的点的点法式方程法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA2

15、2 平面平面(pngmin)(pngmin)的一般的一般方程方程0 DCzByAx1 czbyax3 3 平面的截距式方程平面的截距式方程xyzoabc第26页/共67页第二十六页，共67页。0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA4 4 平面平面(pngmin)(pngmin)的的夹角夹角222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 5 5 两平面两平面(pngmin)(pngmin)位位置特征：置特征：21)1( 0212121 CCBBAA21)2( /212121CCBBAA 1 1n2 2n 第27页/共67页第二十七页，共67页。5 5、

16、空间、空间(kngjin)(kngjin)直线直线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 00:22221111DzCyBxADzCyBxAL1 1 空间空间(kngjin)(kngjin)直线的一般方程直线的一般方程xyzo1 2 L第28页/共67页第二十八页，共67页。xyzosL0M M 3 3 空 间 直 线 的 参 数空 间 直 线 的 参 数( c n s h )( c n s h ) 方 程方 程pzznyymxx000 2 2 空间直线的对称空间直线的对称(duchn)(duchn)式方程式方程 ptzzntyymtxx000),(0000zyxM,pn

17、ms 第29页/共67页第二十九页，共67页。直线直线:1L111111pzznyymxx 直线直线:2L222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的夹角两直线的夹角(ji jio)(ji jio)公式公式4 4 两直线两直线(zhxin)(zhxin)的夹角的夹角第30页/共67页第三十页，共67页。5 5 两直线两直线(zhxin)(zhxin)的位置关系：的位置关系：21)1(LL 0212121 ppnnmm21)2(LL/212121ppnnmm 0222111121212 pnmpnmzzyyxx.),

18、( ,),(22221111LzyxLzyx (3) (3) 两直线两直线(zhxin)(zhxin)共面共面第31页/共67页第三十一页，共67页。pzznyymxxL000: 0: DCzByAx6 6 直线与平面直线与平面(pngmin)(pngmin)的的夹角夹角222222|sinpnmCBACpBnAm 直线直线(zhxin)与平面的夹角公式与平面的夹角公式)20( 第32页/共67页第三十二页，共67页。7 7 直线与平面的位置直线与平面的位置(wi zhi)(wi zhi)关系关系 L)1(pCnBmA L)2(/0 CpBnAm第33页/共67页第三十三页，共67页。成立的条

19、件；成立的条件；为任意实数，并指出其为任意实数，并指出其其中其中应用向量证明不等式：应用向量证明不等式：3 , 2 , 1,|. 1332211232221232221 ibababababbbaaaii证明证明(zhngmng)：，则，则令令,321321bbbbaaaa bababa,cos|，即，即|ba |332211bababa 232221232221bbbaaa 成比例时，成比例时，与与当当321321,bbbaaa.1|cos|/等号成立等号成立，此时，此时有有 ba第34页/共67页第三十四页，共67页。平分线方向的向量；平分线方向的向量；夹角夹角与与是表示向量是表示向量证明

20、向量证明向量babaabbac|. 2 证明证明(zhngmng)：同方向的单位向量，则同方向的单位向量，则表示与表示与分别设分别设baeeba,|aaea |bbeb 形为菱形，形为菱形，为边所构成的平行四边为边所构成的平行四边由以由以baee,于是于是知其对角线平分顶角，知其对角线平分顶角，dbaee |bbaa |babaab 第35页/共67页第三十五页，共67页。，又，又夹角平分线平行的向量夹角平分线平行的向量这是与这是与ba,c|babaab d |baabbabaab 方向的向量。方向的向量。夹角平分线夹角平分线与与是表示是表示，故，故其中其中bacbaba0| 第36页/共67

21、页第三十六页，共67页。|;|, 0, 5| , 4| , 3|. 3accbbacbacba 求求且且设设解：解：0 cba由由组成一个三角形，组成一个三角形，cba,可知可知三角形，又由向量定义三角形，又由向量定义由模长知这是一个直角由模长知这是一个直角,2,ABCSaccbba 的方向相同，大小等于的方向相同，大小等于,accbba |3|baaccbba ABCS 2336 ABCabc第37页/共67页第三十七页，共67页。；试求试求已知向量已知向量| )22()3( |4| ,3| ,. 4babababa Answer:48Answer:48第38页/共67页第三十八页，共67页

22、。;110011,. 5cbacba，试求向量，试求向量，若若且两两所成的角相等，且两两所成的角相等，具有相等的模具有相等的模向量向量 解：解：由已知条件由已知条件设设,zyxc , 2| ba21,cos1 baba,112| cbcac由题意知由题意知 112222zyyxzyx即即.3/1, 3/4 , 3/11 , 0 , 1 或或故故 c第39页/共67页第三十九页，共67页。；垂直，求此平面的方程垂直，求此平面的方程且与平面且与平面的垂线，的垂线，到直线到直线设一平面通过从点设一平面通过从点0001)1 , 1, 1(. 6 zxzy解：解：,001)1 , 1, 1(110 xz

23、yLP：垂直于直线垂直于直线做平面做平面先过点先过点:1的参数方程的参数方程写出直线写出直线 L 10tztyx的方程为的方程为故故的法向量，的法向量，即为，即为的方向向量的方向向量直线直线111)1 , 1 , 0( L第40页/共67页第四十页，共67页。0 zy的方程得的方程得的方程代入的方程代入的交点，把的交点，把与与再求再求1111 LL012 t21 t).2/1 , 2/1, 0(111 PL 的交点为的交点为与与即得即得所确定的直线为所确定的直线为与与由此求得由此求得10PP12/1112/11101 zyx 012zyyx即即程为：程为：设过该直线的平面束方设过该直线的平面束

24、方0)(12 zyyx 第41页/共67页第四十一页，共67页。01)2( zyx 即即垂直的平面，故垂直的平面，故现要求其中与平面现要求其中与平面0 z01 , 0 , 0,2 , 1 0 . 012 yx即所求平面方程为：即所求平面方程为：:,0的直线的方向向量为的直线的方向向量为或确定或确定PP1 , 1, 2 s则则同时垂直于同时垂直于所求平面的法向量所求平面的法向量,ksnksn 0 , 2 , 1 . 0)1(2)1( yx所所求求平平面面方方程程为为：第42页/共67页第四十二页，共67页。；相交，求此直线的方程相交，求此直线的方程和和且与两直线且与两直线设直线过点设直线过点 0

25、105074:032053:),9, 5 , 3(. 721zxyxLzxyxLA解：解：.)9, 5 , 3(11 所确定的平面所确定的平面及及先求由点先求由点LA),3, 5 , 0(2 , 3 , 111 PsL，过点，过点方向向量为方向向量为，则，则的法向量为的法向量为设设11n sPAn 11231603kji 9018， 第43页/共67页第四十三页，共67页。0)9()3(21 zx为为故故032 zx为：为：所确定的平面所确定的平面及及同理，可求得由同理，可求得由22 LA053634 zyx.053634032 zyxzx所求直线为：所求直线为：第44页/共67页第四十四页，

26、共67页。上求两直线间的距离；上求两直线间的距离；同一平面同一平面一平面上求交点，不在一平面上求交点，不在在同一平面上，若在同在同一平面上，若在同是否是否与与判断直线判断直线42311:21111:. 821 zyxLzyxL解：解：),1 , 0 , 1(,2 , 1 , 1111 PsL过点过点的方向向量为的方向向量为),2 , 1, 0(4 , 3 , 1222 PsL，过点，过点的方向向量为的方向向量为，它们的混合积，它们的混合积1 , 1, 121 PP111431211 02 现求它们之间的距离现求它们之间的距离为异面直线，为异面直线，与与21LL第45页/共67页第四十五页，共6

27、7页。21ss 431211kji ，222 d|Prj|21s21PPs |)(212221ssPPss 33 第46页/共67页第四十六页，共67页。的距离；的距离；线线到直到直由此计算点由此计算点距离为距离为的的到直线到直线点点，证明，证明的方向向量为的方向向量为且直线且直线上的任意一点，上的任意一点，是直线是直线外的一点外的一点是直线是直线设设122524:)4, 4 , 3(,|:,. 9000 zyxLMssMMdLMsLLMLM证明证明(zhn(zhngmngmng)g)：。用向量的几何意义证明用向量的几何意义证明则面积则面积记记,NMs sMMSMNPM |00|0ssMMd

28、即得即得ds |第47页/共67页第四十七页，共67页。则则此处此处,1 , 2, 2),2 , 5 , 4( sM|0ssMMd . 25 第48页/共67页第四十八页，共67页。;22:.102221面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程和在和在面的投影柱面面的投影柱面对对求曲线求曲线xoyxoyxzyxzL 解：解：投影柱面方程为：投影柱面方程为：平面的平面的得曲线关于得曲线关于消去消去由由xoyzxzyxzL,22:2221 平面上的投影曲线为：平面上的投影曲线为：于是得曲线在于是得曲线在 xoyyx, 122 0122zyx第49页/共67页第四十九页，共67页。影区域，并会出图形；影

29、区域，并会出图形；面上的投面上的投在在之间的部分之间的部分与平面与平面面面夹在平夹在平轴旋转一周而成的曲面轴旋转一周而成的曲面绕绕求曲线求曲线xoyzzzxzy 8202.112解：解：易知旋转曲面的方程为易知旋转曲面的方程为zyx222 ,82所截所截与与平面平面它是旋转抛物面，被两它是旋转抛物面，被两 zz两个平面上的园：两个平面上的园：与与抛物面的交线是抛物面的交线是显然这两个平面与旋转显然这两个平面与旋转82 zz 416242222zyxzyx与与第50页/共67页第五十页，共67页。个圆：个圆：面上的两面上的两面的投影曲线分别是面的投影曲线分别是这两条交线在这两条交线在xoyxoy

30、 016042222zyxzyx与与环形区域：环形区域：面上为这两个圆所界的面上为这两个圆所界的平平是是平面上的投影区域平面上的投影区域在在故所求曲面故所求曲面xoyDxoy .16422 yx第51页/共67页第五十一页，共67页。，试求此柱面的方程；，试求此柱面的方程；向向量为向向量为为准线，而母线的方为准线，而母线的方设柱面以设柱面以)1 , 1 , 1(01.12222 zyxzyx解：解：，相交于点相交于点点所在母线与点所在母线与为为设所求柱面上任一动点设所求柱面上任一动点),(),(1111zyxMMzyxM ,)1 , 1 , 1(1平行平行与与则则MM111111zzyyxx

31、:1上，故有上，故有在在又又 M 01111212121zyxzyx直线的方程为：直线的方程为：故故1MM第52页/共67页第五十二页，共67页。代入上述方程组，解得代入上述方程组，解得将将tzztyytxx 111,2223.2xyzxyyzxz )2(31)2(31)2(31111zyxzzyxyzyxx)(31zyxt 第53页/共67页第五十三页，共67页。的方程；的方程；轴旋转而得的旋转曲面轴旋转而得的旋转曲面绕绕：空间曲线空间曲线zIttztytx , )(),(),(.13 解：解：),(),(),(tttMt 上一点上一点，得，得固定一个固定一个 轴的距离为轴的距离为该点到该点

32、到 zIttzttyxzM ,)()()(2222 轴得一空间圆周轴得一空间圆周绕绕.即可即可去去消消有点所满足的关系式，有点所满足的关系式，上式即为旋转曲面上所上式即为旋转曲面上所t)()(22ttd 第54页/共67页第五十四页，共67页。曲面的方程；曲面的方程；轴旋转所得的旋转轴旋转所得的旋转绕绕：求直线求直线zzyxL21101.14 解：解：,21, 1tztyxL 写成：写成：直线直线旋转曲面的参数方程为旋转曲面的参数方程为:得得消去消去 t., 121222为单叶双曲面为单叶双曲面 zyx ttztyx,121222第55页/共67页第五十五页，共67页。.01.15222化为参

33、数方程化为参数方程将曲线将曲线 yxzyx解：解：面上的投影为：面上的投影为：曲线在曲线在 yoz即即,01)(222 xzyytyxcos21 从而从而.sincos21cos21 tztytx)20(sin,cos21 ttzty令令第56页/共67页第五十六页，共67页。的圆心与半径；的圆心与半径；求园求园 0192210.16222zyxyzyx解：解：25)5(222 zyx将球面化为标准方程：将球面化为标准方程：且与平面且与平面过球心过球心)0 , 5 , 0(A直线方程为：直线方程为：垂直的垂直的01922 zyx2251zyx 解方程组：解方程组：BA35r第57页/共67页第

34、五十七页，共67页。 01922225zyxzyx)2 , 7 , 1(B为所求圆心，为所求圆心，即即为平面与直线的交点为平面与直线的交点BB,，故，故，球半径球半径35 ABR所求圆的半径为：所求圆的半径为：22ABRr . 4 BA35r第58页/共67页第五十八页，共67页。001117.:210111,.xyzlxyzlly 求求直直线线在在平平面面上上上上的的投投影影直直线线的的方方程程 并并求求绕绕周周旋旋转转一一周周所所成成曲曲面面的的方方程程解：解：其法向量其法向量的平面的平面做一垂直于做一垂直于过直线过直线解法解法,. 11 l，可得：，可得：向量向量的法的法又垂直于又垂直于的方向向量的方向向量即垂直于即垂直于2 , 1, 1,11 , 1 nsl nsn 1211111 kji231 ，第59页/共67页第五十九页，共67页。上，则上，则平面