华东师大版八年级上册知识点总结

1、第一章数的开方1>平方根：1、（1）定义：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根，a叫做被开方数（2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。（3）平方根的性质：A 个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数B零有一个平方根，它是零本身C负数没有平方根（4）算术平方根：一个正数的正的平方根叫做它的算术平方根，O的算术 平方根为0.注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）平方根等于本身的 数只有0,算术平方根等于本身的数有0、1.2、平方根说明：平方根有三种表示形式：±亦，需，一需，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方

2、根。要特别注意：4a ± y（l o3、算术平方根性质：算术平方根亦具有双重非负性： 被开方数a是非负数，即a>0. 算术平方根需本身是非负数，即需$0。2、立方根：（1）定义：如果一个数的立方等于"那么这个数叫做a的立方根，a叫做被开 方数（2）开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方。（3）立方根的性质：A正数有一个正立方根B负数有一个负立方根C零的立 方根是零（4）立方根的表示：数a的立方根我们用符号亦来表示，读作“三次根号a”，其中a叫做被开方数，3叫做根指数，且3不能省略，否则与平方根混淆。注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两

3、数的 立方根相等；2）立方根等于本身的数有0、1、-1.4、儿个重要的公式3=a(a为任何数)= a(a为任何数)-亦= Py(G为任何数)、="(为任何数)(V)2 = ( 0)5、实数1、概念：有理数和无理数统称为实数。2、分类按定义；按大小常见的无理数类型(1) 一般的无限不循环小数,如：1.41421356(2) 看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001(相邻两个1之间 0的个数逐次加l)o(3) 有特定意义的数,如： =3.14159265 (4) .开方开不尽的数。如：3,5o3、实数的有关性质(Da与b互为相反数<=> a+b=O(2)a与b互

4、为倒数=ab=l任何实数的绝对值都是非负数，即o互为相反数的两个数的绝对值相等，即H = I-正数的倒数是正数;负数的倒数是负数;零没有倒数.实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点是一一对应的关系4、在实数范围内，正数和零统称为非负数，我们已经学过的非负数有如下三种形式任何一个实数a的绝对值是非负数，即 $0任何一个实数的平方是非负数，即/±0；任何一个非负数a的算术平方根是非负数，即需05、非负数有以下性质非负数有最小值零有限个非负数之和仍然是非负数儿个非负数之和等于0,则每个非负数都等于Oo第二章整式的乘除（一）幕的运算同底数幕相乘、幕的乘方、积的乘方这三个幕运算，特别是同

5、底数幕相乘的 法则是学习整式乘法的基础，其他的如：后面的多项式乘以多项式是转化变成单 项式乘以多项式，再转化为单项式乘以单项式，最后转化为同底数幕相乘，所以 我们要熟练掌握其法则：1. 回底数赛的相乘的法则是:底数不变，指数相加.即ha=an+務的乘方法则是:底数不变，指数相乘.即y=d",积的乘方法则是:积的乘方等于乘方的积.即（a b）n=an b%同底数幕的相餘的法则是：底数不变，指数相减即a1÷aa=a="n2. 其中m、n为正整数，底数a不仅代表具体的数，也可以代表单项式、多项 式或其他代数式.3. 幕的乘方法则与同底数幕的相乘的法则有共同之处，即运算中

6、底数不变， 但不同之处一个是指数相乘，一个是指数相加4. 这三个幕运算相互容易混淆，出现错误，在初学时要注意辨明“同底数幕”、 “幕的乘方”、“积的乘方”等基本概念，对公式的记忆要联系相应的文字表述, 运用法则计算时，要注意识别是同底数幕的相乘、幕的乘方还是积的乘方，法则 中各字母分别代表什么？再对照法则运算.（二）整式的乘法1. 单项式与单项式相乘：由单项式与单项式法则可知，单项式与单项式相乘实为完成三项工作：（1） 系数相乘的积作为积的系数；（2）同字母的指数相加的和作为积中这个字母的指 数；（3）只在一个单项式中出现的字母连同它的指数一起作为积中的一个因式.单项式乘法法则对两个以上单项式

7、相乘同样成立.2. 单项式与多项式相乘:单项式与多项式相乘，实际上是转化为单项式与单项式相乘：用单项式去乘 以多项式中的每一项，再把所得的积相加，即m(a÷b + c) ma+m b÷mc单项式与多项式相乘,结果是多项式,积的项数与因式中多项式的项数相同.3. 多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，实际上是先转化为单项式与多项式相乘，即将一个多 项式看成一个整体，即(m÷n) (a÷b) =a(m÷n) +b(m+n),再用一次单项式与多 项式相乘，得(m+n) (a+b) =ma+n a+m b+b n.多项式乘以多项式其积仍是多项式，积的

8、次数等于两个多项式的次数之和， 积的项数在末合并同类项之前等于两个多项式项数之和.(三) 乘法公式1. “两数和乘以它们的差等于这两个数的平方差”即(a+b) (a-b)=a2-b2, 应用这个乘法公式计算时，应掌握公式的特征：公式的左边是两个二项式相 乘；并且这两个二项式中有一项是完全相同的项另一项是相反数项b：公 式的右边是相同项的平方云减去相反数项的平方b2.公式中的a和b,可以是单项式，也可以是多项式或具体数字.2. “两数和的平方等于它们的平方和加上它们乘积的2倍”.即(a÷b)2=a2 +2ab+b2.要理解公式的特征：公式的左边是一个二项式的平方，右边是一 个二次三项式

9、.公式的适用范围：公式中的。和b可以是具体的数，也可以是单 项式或多项式；任何形式的两数和(或差)的平方都可以运用这个公式计算.(四) 整式的除法整式的除法关键是掌握好同底数幕的除法和单项式与单项式相除的法则。1、单项式除以单项式的一般步骤是：将单项式的系数相除作为商的系数， 同底数幕相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母连同它的指数一起作 为商的因式。2、多项式除以单项式应转化为单项式除以单项式，运算时要注意确定商的 符号和杜绝漏项现象。(五) 因式分解1、定义把一个多项式化为儿个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。(1) 一般，因式分解后括号内的第一项为正号，所以要提出负号。例：一

10、丄/Z? - 0.5/，(2) 每个因式中不能有同类项，也不能带括号。例：2x(x + F _(x + y)3 = (x + y)22x-(x+ y) = (x+ y)2(X- y)因式分解与多项式的乘法互逆。2、提公因式法如果一个多项式中各项都含有一个公共的因式，则我们把这个因式叫做这个 多项式的公因式。公因式的系数：应取各项系数的最大公约数公因式的字母：取各项中的相同字母公因式中各字母的指数：相同字母，取最低次数例：IanI-3n = m(2a 3)30x2y2 + 6x)'3 = 6xy2(5 + y)步骤：(1) 确定公因式 公因式是单项式：按照系数、相同字母、字母的指数三个层

11、次逐个考察多 项式的各项。 公因式是多项式：看作一个整体，按单项式因式的原则进行。 公因式隐含时，要把多项式中的某些项改变符号，或进行适当的变形，直 到可确定公因式为止。(2) 确定提走公因式后的因式要去括号，合并同类项。3、公式法16-/Z2l-47 + 47和我们学过的一些特殊形式的多项式的乘法的结果挂上钩。乘法公式：("+)("-b) = /-庆(a + /?)' =a2 +2ab + b (a-h)2 =a2 -2ab + b2乘法公式的结构特点：两个因式的积=一个多项式多项式的因式分解是乘法公式的反向运算。把乘法公式反过来，就可以用来 对某些多项式分解因式

12、。这种运用公式分解因式的方法，称为运用公式法。（1）平方差公式的运用思路：养成思维习惯，对二项式，首先看是不是（）-（）的形式。 如果是，再看是不是（）2-（ ）2两数或两式平方的差。 具备（）2-（ ）2形式的，就可以用平方差公式分解因式。例：（5?）'-"'6-nr25（a-b）2-%a + b）2-a3-Sa2（2）完全平方式的应用要求两平方项前系数同号，若同为负号，就先把负号提出来。思路：项数：三项式项数、指数、系数满足：（）2±2（）（） + （）2形式的。例：1一4? + 4总结：用公式法分解因式，应注意：一看有无公因式：对于给出的多项式的各项，

13、也要注意观察结构特点，一般应先看有无公因式。二看项数：（对没有公因式的或提走公因式以后的多项式。）对二项式，看能否变形为（）2-（ F的形式，用平方差公式。对三项式，先找两项符号相同的，看能否凑成（）2+（ F的形式，再对第三项，先提出2,看剩下的是否为（）（）两数的积。三看a,b：对于整理成公式所需的标准形式后，要准确确定公式中的a,b分别表示多项 式中的哪个数或式。四看结果：要检查用公式分解后的结果，能否合并同类项，或去括号。如果还能继续分解，就要再往下进行因式分解。等腰三角形一、等腰三角形的概念1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形2、等腰三角形中的多解需注意：含糊其词时分类讨论思想不要

14、忽视“三角形三边关系”和“三角形内角和为180° ”这两个隐含条件典例：1、若一个等腰三角形的底为4cm,腰为7cm,那么这个等腰三角形的周长 是（）2、若一个等腰三角形的两边分别为4cm和6cm,那么这个等腰三角形的 周长是（）4、已知等腰三角形有一个内角为80° ,则它的顶角度数是5、已知等腰三角形有一个内角为110° ,求其它两个内角的度数6、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60。，则这个等腰三角形的顶角是（）A. 30oB. 60°C. 150oD. 30°或 150°二、等腰三角形的性质1、“轴对称图形”：对应点连线

15、被对称轴垂直平分，对称轴为底边上的高2、“等边对等角”：等腰三角形两底角相等3、“三线合一”：等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线相互重合（1）“三线合一”的理解：“知一得二”知一把其它两个条件标记在题上 已知底边上的中线，则它平分顶角且垂直于底边 已知顶角的平分线，则它垂直平分底边 已知底边上的高，则它平分底边且平分顶角（2）“三线合一”推论 两腰上的中线和高分别相等 两底角的平分线相等 “三线合一”上的任意一点到两腰的距离相等 底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高（3）“三线合一”的应用 证明角相等、线段相等和线段垂直 遇到等腰三角形问题常常需要添加辅助线三、等边三角形的性质三

16、条边都相等的三角形叫做等边三角形。注意：等腰三角形包含等边三角形，等边三角形是等腰三角形的一个特例, 等边三角形有三条对称轴，即三条角平分线所在的直线。等边三角形的各个角都相等，并且每个角都是60°例：（2009攀枝花）如图所示，在等边ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE, AD与CE交于点F,则0DFC的度数为（）A. 60oB. 45oC. 40oD. 30°考 等边三角形的性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质。菁优 点：网版权所有四、等腰三角形的判定（1）、定义法：在同一个三角形中两边相等的三角形是等腰三角形。（2）、如果一个三角形有两个角相

17、等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”），即在同一个三角形中两角相等的三角形是等腰三角形。（3）拓展：如果一个三角形一边上的高、中线和这条边所对角的平分线中有任意两条线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形。五、等边三角形的判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）.三个角都相等的三角形是等边三角形（或者有两个角是60°的三角形是等边三角形）（3）.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。尺规作图一、基本概念1尺规作图：在儿何里，用没有刻度的直尺和圆规来画图，叫做尺规作图.2. 基本作图：最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图.3. 五种常用的基本作

18、图：(1) 作一条线段等于已知线段；(2) 作一个角等于已知角；(3) 作已知角的平分线；(4) 作线段的垂直平分线；(5) 经过一点作已知直线的垂线4. 掌握以下几何作图语句：(1) 过点X、点X作直线××或作直线××,或作射线××(2) 连结两点X、X；或连结××(3) 在 ××± 截取 ×× = ××(4) 以点X为圆心，XX为半径作圆(或弧)；(5) 以点X为圆心，XX为半径作弧，交XX于点X ；(6) 分别以点X、点X为圆心，以XX、X

19、X为半径作弧，两弧相交于点X×(7) 延长XX到点X,或延长XX到点X,使×× = ××.5. 学过基本作图后，在以后的作图中，遇到属于基本作图的地方，只须用一 句话概括叙述就可以了，如：(1) 作线段×× = ××(2) 作Z× × × = Z× × X；(3) 作XX (射线)平分Z×××(4) 过点X作XX丄XX,垂足为X；(5) 作线段XX的垂直平分线× × .逆命题与逆定理1. 互逆命题互逆命题：

20、一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题 的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命 题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。任何一个命题都有逆命题。对“如果那么”的命题，只需将：如果” 连接的部分与“那么”连接的部分互换，即可得到此命题的逆命题。显然，原命 题的真假性与其逆命题的真假性不一定是一致的。2. 互逆定理互逆定理：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理。 注意：（1）互逆定理是一种特殊的互逆命题，其特殊的地方就是原命题与其 逆命题都是真命题，且是定理。互逆的定理，其条件与结论互换，说明问题时，其

21、推理的方向正好相反。（2） 一 个定理不一定有逆定理。3. 线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。注意：（1）使用线段垂直平分线的性质定理时直线要满足条件：经过线段 的中占垂直于这条线段。（2）有时也称线段的垂直平分线为线段的中垂线。拓展：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三角形三个顶点的距 离相等该交点为三角形的外心（外接圆的圆心）。例：AB = AC, ZDBC=ZDCB,连接A D, E为AD上任一点，试判断 BE与CE的数量关系，并说明理山。 精析：只要能说明线段AD所在的直 线为线段BC的垂直平分

22、线，即可得出BE=CE4. 角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。注意：（1）运用角平分线的性质定理时应满足：角平分线；两个垂直。（2）能用角平分线的性质定理解答的题Lh利用三角形全等的知识也 可以解答，但实质上用全等解答的过程就是对角平分线性质定理的进行证明的过 程，所以应注意利用角平分线的性质定理简化解题过程。逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，此定理也称为角平 分线的判定定理。注意：（1）运用角平分线的判定定理时应满足：两个垂直 距离相等。 （2）角平分线的判定定理是证明两个角相等的重要依据。拓展：三角形的三个角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等，该

23、交 点为三角形的内心（内切圆的圆心）勾股定理本章常用知识点：1、勾股定理：直角三角形两直角边的等于斜边的O如果用字母a,b,c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示 为：-2、勾股数：满足a2+b2=c2的三个,称为勾股数。常见勾股数如下:3,4,56,8,109,12,1512,16,2015,20,255,12,137,24,259,40,4110,24,268,15,173、常见平方数：Il2 =121;122 =144;132 =169；142 =196： 152 =225； 162 =256172 =289；182 =324；192 =361；202 =400； 2

24、12 =441： 222 = 484232 = 529 ；242 =576；252 = 625 ；262 =676： 272 = 729专题归类：专题一、勾股定理与面积1、在 Rt ABC 中，ZC=90o,a=5,c=3.,则 Rt ABC 的面积 S=。2、直线I上有三个正方形a、b、c,若a和C的面积分别为5和11,则b的面积为3、在直线上依次摆放着七个正方形（如图所示）。已知斜放置的三个正方形的 面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是Si、S2、S3、S4, 则 S1 + S2 + S3 + S4 等于O4、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c且满a2+b2+c2+50

25、=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为5、如下图，在ABC 中，ZABC= 90o, AB=8cm, BC=15cm, P 是到ZXABC 三边距 离相等的点，求点P至IJAABC三边的距离。JA6、有一块土地形状如图所示，ZB = Zr） = 90o, AB=20 米，BC=15米，CD=7米，请计算这块土地的面积。（添 加辅助线构造直角三角形）专题二、勾股定理与折叠1、有一个直角三角形纸片，两直角边的长 AC=6cm,BC=8cmz现将直角边AC沿AD对折，使 它落在斜边AB ±,且与AE重合，求CD的长？2、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=33 , BC=6, 沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D 落在Q点处，AD与PQ相交于点H, ZBPE= 30°(1) 求BE、QF的长(2) 求四边形QEFH的面积。专题三.利用股沟定理列方程求线段的长度且AD丄AC,求BD的长1、ABC 中，AB二AO20, Be二32, D 是 Be 上一点,专题四.勾股数的应用1、下列是勾股数的一组是()A 4,5,6, B 5,7,12 C 12,13,15 D 14,48,502、一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数，则它的周长是3、下列是勾股数的一组是()A 2,3,4, B 5,6,7, C 9,40,41 D 1024254、