运筹学之多目标决策讲义

1、多多 目目 标标 决决 策策-Multi-criteria Decision Analysis第一节 多目标决策问题一、一、 管理决策中的多目标特性管理决策中的多目标特性 在许多决策问题中，都会遇到多个决策目标和对目在许多决策问题中，都会遇到多个决策目标和对目标的度量不一致的情况。标的度量不一致的情况。例例1 毕业生选择工作问题毕业生选择工作问题 这些目标可能是相互矛盾的这些目标可能是相互矛盾的。经济待遇专业发展机会工作性质地区目标例例2 排水系统规划设计排水系统规划设计 这些目标既相互矛盾，又不可公度这些目标既相互矛盾，又不可公度例例3 投资方案的选择投资方案的选择占用土地面积小投资小排水量

2、最大排水效果好目标)(既相互矛盾又不可公度经营成本最小还贷年限最短投资回收期最短投资最小净现值最大目标 由此总结出多目标决策问题的三个特点由此总结出多目标决策问题的三个特点 (1)决策问题有多个目标决策问题有多个目标 (2)目标之间相互矛盾目标之间相互矛盾 (3)目标的度量可能不一致目标的度量可能不一致 目标之间若相互一致，则不成为多目标决策问题。目标之间若相互一致，则不成为多目标决策问题。第二节第二节 目标规划目标规划(目的规划目的规划) -Goal Programming一、一、 目标规划问题及其基本概念目标规划问题及其基本概念1 目标规划问题目标规划问题 举例举例(P512) Nicol

3、o投资咨询公司面临的投资问题是投资咨询公司面临的投资问题是: 一个客户有一个客户有80000美元用于投资美元用于投资, 计划投资于两种股票计划投资于两种股票:股票股票价格价格(美元美元/股股) 年收益年收益(美元美元/股股) 风险指数风险指数/股股美国石油美国石油Hub Properties2550350.50.25现在客户要求现在客户要求: (1) 风险指数不大于风险指数不大于700; (2) 年收益不小于年收益不小于9000美元美元. 问题的数学描述如下问题的数学描述如下: 设设x1=购买美国石油的股票数购买美国石油的股票数; x2=购买购买Hub Properties的股票数的股票数;

4、则问题的目标为则问题的目标为: (1) Z1(X)=0.5x1+0.25x2 700 (2) Z2(X)=3x1+5x2 9000 约束条件为约束条件为: 25x1+50 x2 80000 这里这里 700 和和 9000只是决策者的理想值或者目标值只是决策者的理想值或者目标值, 一旦确定，决策者当然希望能达到所有目标一旦确定，决策者当然希望能达到所有目标. 但由但由于上述两各目标是相互矛盾的于上述两各目标是相互矛盾的, 满足一个可能满足满足一个可能满足不了另外一个不了另外一个, 这时我们可以说这个没有被满足的这时我们可以说这个没有被满足的目标发生了偏差目标发生了偏差. 对于多目标决策问题，每

5、个目标都应有个理想值或对于多目标决策问题，每个目标都应有个理想值或决策者对每个目标都有一个期望值，即目标值；对决策者对每个目标都有一个期望值，即目标值；对决策者来说，每个目标应尽可能的达到其目标值，决策者来说，每个目标应尽可能的达到其目标值，但由于目标之间的矛盾性，这些目标值很难都得到但由于目标之间的矛盾性，这些目标值很难都得到满足。但决策者希望它们能得到最大限度地满足，满足。但决策者希望它们能得到最大限度地满足，即即式中式中 Ti 为第为第 i个目标个目标 Zi(X) 的目的值或的目的值或“靶值靶值”。 实际上表示实际上表示 Zi(X) 偏离靶值偏离靶值Ti的大小，的大小，移之为偏差。移之为

6、偏差。piiiDXTXZ1|)(|min|)(|iiTXZ2 基本概念基本概念(1)(1)正、负偏差正、负偏差 令令 d+ = Zi(X) - -Ti Zi (X) Ti 正偏差，即超过靶正偏差，即超过靶值的部分。值的部分。 d- - = Ti Zi (X) Zi (X) p2p3， 更一般地有更一般地有 p1p2p3pm。 因此，要实现上述目标函数极小化，必须首先满足因此，要实现上述目标函数极小化，必须首先满足d - -1 1 最小最小，其次是其次是(d + +2 + + d - -2)，。 这里的这里的pi区别于权数，主要有两种考虑：区别于权数，主要有两种考虑：a：将目标划分成若干级，上一

7、级目标优先考虑；将目标划分成若干级，上一级目标优先考虑；b：不需要考虑各目标的单位是否统一。：不需要考虑各目标的单位是否统一。另外，在同一优先级内，可能有多个目标，而这些目标也有另外，在同一优先级内，可能有多个目标，而这些目标也有个相对重要性的问题，此时引入权系数个相对重要性的问题，此时引入权系数W 以示它们的相对以示它们的相对重要性重要性。3 目标规划数学模型目标规划数学模型 根据以上分析可将目标规划数学模描述如下：根据以上分析可将目标规划数学模描述如下： 式中式中 wij第第i优先级中第优先级中第j个目标的权数。个目标的权数。mjijijijijpiidwdwpZ11)(minmjpidd

8、DXTddXZijijijijijij, 1;10)(，二、二、 目标规划应用举例（生产计划问题）目标规划应用举例（生产计划问题） 某厂拟生产某厂拟生产，两种产品，有关资料如下。两种产品，有关资料如下。单位产品财会表单位产品财会表 产品产品项目项目产品产品1产品产品2资源限量资源限量原材料需求原材料需求1.05.072机器时间机器时间52.580装配时间装配时间2240直接材料成本直接材料成本0.250.75直接人工成本直接人工成本2.751.25销售价格销售价格4.05单位产品利单位产品利 润润13 另外，产品造成的污染为：单位产品另外，产品造成的污染为：单位产品为为3个单位，个单位，单位产

9、品单位产品为为2个单位。现工厂的主管部门考虑如个单位。现工厂的主管部门考虑如下目标下目标： P1：取得利润：取得利润33； P2：把污染限制在：把污染限制在36单位；单位； P3： 问工厂应如何制定生产计划。问工厂应如何制定生产计划。112II25I3231ww权系数件的销售量满足产品权系数件的销售量满足产品解：设：设x1，x2为品为品，的生产量的生产量(决策变量决策变量) 则各目标函数可表示为：则各目标函数可表示为： Z1(X) = x1 + 3x2 (利润利润) Z2(X) = 3x1 + 2x2 (污染量污染量) Z3(X) = x1 ，Z4(X) = x2 (销量销量) 约束条件为：约

10、束条件为： 5x1 + 2.5x2 8 2x1 + 2x2 4 x1 + 5x2 72 现要求：现要求： Z1(X) 33 Z2(X) 36 Z3(X) 5 Z4(X) 12 故该问题的目标规划数量模型为：故该问题的目标规划数量模型为： minZ = p1 d- -1 + p2 d+ +2 2 + p3( (2 d3- - + + d- -4) )4321072542285 . 2512536233332121212144233122211121，绝对约束目标约束iddxxxxxxxxddxddxddxxddxxii三、目标规划的解法三、目标规划的解法图解法图解法计算机求解计算机求解 显然，目

11、标规划是一类特殊形式的线性规划，显然，目标规划是一类特殊形式的线性规划，因此可用线性规划方法求解，但目标规划的计算机因此可用线性规划方法求解，但目标规划的计算机求解要先确定优先级求解要先确定优先级Pi；1. 上述案例的计算机求解；（考虑绝对约束不满足）上述案例的计算机求解；（考虑绝对约束不满足）3. 阳光海岸办公用品问题阳光海岸办公用品问题（1）问题描述）问题描述P518（2）基本数据：）基本数据： 计划联系的客户：老：计划联系的客户：老：200人；新：人；新：120人人 单位接洽所用时间：老：单位接洽所用时间：老：2h；新：；新：3h 每位客户接洽后利润：老：每位客户接洽后利润：老：$250

12、; 新新:$125 可用接洽时间可用接洽时间: 4 160=640h; 另加班时间另加班时间:40h.（3）公司目标）公司目标 第一级目标第一级目标P1： 目标目标1：销售时间不超过：销售时间不超过680h；目标；目标1：销售时间不小于：销售时间不小于600h；第二级目标第二级目标P2： 目标目标3：产生的销售额不少于：产生的销售额不少于70000美元美元 ；第三级目标第三级目标P2： 目标目标4：老客户不少于：老客户不少于200人；目标人；目标5：新客户不少于：新客户不少于120人人 ；（4）建立问题的目标规划模型）建立问题的目标规划模型 设接洽的老客户数为设接洽的老客户数为P，新顾客的人数

13、为，新顾客的人数为N，则问，则问题的目标规划数学模型为：题的目标规划数学模型为：minZ = p1 d 1+ + + p2 d2- - + p2 d3- - + p3( ( d4- - + 2 + 2d5- -) )432101202007000012525060032680325544332211，目标约束iddNPddNddPddNPddNPddNPii计算机求解计算机求解第三节第三节 层次分析法层次分析法 层次分析法层次分析法（The Analytic Hierarchy Process，AHP）是美国人是美国人T . L . Saaty于于20世纪世纪70年代中期创年代中期创立的一种评

14、价（多目标决策）方法立的一种评价（多目标决策）方法 基本思想基本思想使分析决策条理化、层次化，利用人使分析决策条理化、层次化，利用人的经验判断对决策方案排序。的经验判断对决策方案排序。 特点特点实用、简洁，定性分析于定量分析相结合。实用、简洁，定性分析于定量分析相结合。 应用范围应用范围社会、经济、技术相系统，特别是对社会、经济、技术相系统，特别是对缺乏必要的数据资料的情况，缺乏必要的数据资料的情况，AHP法尤为实用法尤为实用。一、一、AHP法原理与步骤法原理与步骤（1）建立问题的递阶层次结构模型（建模）；）建立问题的递阶层次结构模型（建模）；（2）构造两两比较矩阵；）构造两两比较矩阵；（3）

15、进行层次单排序，并进行一致性检验；）进行层次单排序，并进行一致性检验；（4）进行层次总排序，并进行总排序的一致性检验。）进行层次总排序，并进行总排序的一致性检验。（一）建立问题的递阶层次结构模型（一）建立问题的递阶层次结构模型 模型的一般形式如下：模型的一般形式如下：决策目标决策目标准则准则1准则准则2准则准则3子准则子准则1子准则子准则2子准则子准则3方案方案1方案方案2方案方案3目标层目标层准则层准则层子准则层子准则层方案层方案层 例如例如：对某学校发展计划（方案）进行评价：对某学校发展计划（方案）进行评价 （以下模型为一假设以下模型为一假设）增强学校综合实力增强学校综合实力加强师资队伍建

16、设加强师资队伍建设提高教学质量提高教学质量提高科研水平提高科研水平教教师师进进修修师师资资结结构构稳稳定定师师资资课课程程建建设设教教材材建建设设教教学学获获奖奖纵纵向向课课题题横横向向课课题题科科研研获获奖奖方案方案1方案方案2方案方案3目标层目标层A准则层准则层B子子准准则则层层C方案层方案层B1B2B3C11C12C13C21C22C23C31C32C33P1P2P3（二）构造两两比较矩阵（二）构造两两比较矩阵 比较矩阵是下层指标对上层指标的相对重要性的比比较矩阵是下层指标对上层指标的相对重要性的比较，或各方案对某指标的效用矩阵。较，或各方案对某指标的效用矩阵。 以上例为例，具体形式为：

17、以上例为例，具体形式为： C11P1P2P3B1C11C12C13P1P2P31P2/P1P3/P1P1/P21P3/P2P1/P3P2/P31C11C12C131C12/C11C13/C11C11/C121C13/C12C11/C13C12/C131 C33P1P2P3AB1B2B3P1P2P31P2/P1P3/P1P1/P21P3/P2P1/P3P2/P31B1B2B31B2/B1B3/B1B1/B21B3/B2B1/B3B2/B31等等等等为量化比较矩阵，为量化比较矩阵，Saaty给出了如下标度：给出了如下标度：标度标度含义含义Bi/Bj=1Bi/Bj=3Bi/Bj=5Bi/Bj=7Bi

18、/Bj=92、4、6、8倒数（倒数（1/3）i元素与元素与j元素相同重要元素相同重要i元素比元素比j元素略重要元素略重要i元素比元素比j元素较重要元素较重要i元素比元素比j元素非常重要元素非常重要i元素比元素比j元素绝对重要元素绝对重要以上相邻判断之间的中间状态对以上相邻判断之间的中间状态对应标度应标度意义相反意义相反（三）进行层次单排序，并进行一致性检验（三）进行层次单排序，并进行一致性检验 （方根法、特征向量法）（方根法、特征向量法） 方根法方根法（1）计算判断矩阵每行元素的乘积，即：）计算判断矩阵每行元素的乘积，即：（2）计算：）计算： （3）归一化：）归一化： W=（W1，W2，Wn）

19、T即为判断矩阵的特征向量的近似值，即为判断矩阵的特征向量的近似值，也是各元素的相对权重值（下层准则（或目标）对上层准则的也是各元素的相对权重值（下层准则（或目标）对上层准则的相对重要性）相对重要性）njijiniaM1, 1 niiMWnjiiiWWW1（4）计算判断矩阵的最大特征根）计算判断矩阵的最大特征根AW判断矩阵判断矩阵A与向量与向量W的乘积；的乘积；（AW）i向量向量AW的第的第i个元素；个元素；（5）一致性检验）一致性检验 当当CR0.1时，判断矩阵时，判断矩阵A的一致性是可以接受的。其中，的一致性是可以接受的。其中，RI按下表取值：按下表取值：niiinWAW1max)(RICI

20、CRnnCI1maxN3456789RI0.580.9021.411.45 所谓一致性：所谓一致性： 当当max=n时，这时矩阵称为一致性矩阵。然而，时，这时矩阵称为一致性矩阵。然而，人们在进行两两比较时，不可能做到完全一致，人们在进行两两比较时，不可能做到完全一致，从而存在着估计误差。如从而存在着估计误差。如I与与j比：标度为比：标度为3，j与与k比：标度为比：标度为5，若，若I与与k比，标度为比，标度为6，则不太一，则不太一致。因此要进行一致性检验。上面指标中，致。因此要进行一致性检验。上面指标中，CR越大，一致性越差，相反则越好。越大，一致性越差，相反则越好。n=2

21、时，则完时，则完全一致。全一致。 如上例中：如上例中： 归一化得：归一化得： 教师教师进修进修C11P1P2P3WC11P1P2P311/31/7311/57510.6490.2780.073306. 035/ 1186. 13/5759. 22135/ 1; 3/5;21333231321WWWMMMTCW)073. 0 ,278. 0 ,649. 0(11221. 0859. 0994. 1073. 0278. 0649. 015/17/1513/1731AW063. 3073. 0221. 0278. 0859. 0649. 0994. 131max1.0054.058.00316.00

22、316.0133063.3RICICRCI同理有：同理有： C11P1P2P3WC11结构结构C12P1P2P3WC12P1P2P311/31/7311/57510.6490.2780.073P1P2P3 稳定稳定C13P1P2P3WC13课程课程C21P1P2P3WC21P1P2P3 5P1P2P3 0.250.450.3 C22P1P2P3WC22C23P1P2P3WC23P1P2P3 P1P2P3 C31P1P2P3WC22C32P1P2P3WC33P1P2P3 P1P2P3 0.50.30.

23、2 C33P1P2P3WC33师资师资B1C11C12C13WB1P1P2P3 C11C12C13 教学教学B2C21C22C23WB2科研科研B3C31C32C33WB3C21C22C23 C31C32C33 综合综合AB1B2B3WAB1B2B3 （四）进行层次总排序，并进行总排序的一致性检验（四）进行层次总排序，并进行总排序的一致性检验 过程是从下向上进行。过程是从下向上进行。 例如：在上例中：例如：在上例中： 令：令：65. 04 . 0073. 025. 04 . 0278. 01 . 02

24、 . 0645. 0),(1312111CCCCWWWA3 . 03 . 03 . 05 . 03 . 045. 02 . 04 . 025. 0),(2322212CCCCWWWA3 . 02 . 01 . 03 . 03 . 07 . 04 . 05 . 02 . 0),(3332313CCCCWWWA 则方案层对准则则方案层对准则B1的权向量（各方案对准则的权向量（各方案对准则B1的相对重要性、或的相对重要性、或者说用准则者说用准则B1对各方案进行评价时各方案的相对重要性）为：对各方案进行评价时各方案的相对重要性）为： 则方案层对准则则方案层对准则B2的权向量（各方案对准则的权向量（各方

25、案对准则B2的相对重要性、或的相对重要性、或者说用准则者说用准则B2对各方案进行评价时各方案的相对重要性）为：对各方案进行评价时各方案的相对重要性）为： 则方案层对准则则方案层对准则B3的权向量（各方案对准则的权向量（各方案对准则B3的相对重要性、或的相对重要性、或者说用准则者说用准则B3对各方案进行评价时各方案的相对重要性）为：对各方案进行评价时各方案的相对重要性）为：3596. 03606. 0279. 01 . 07 . 02 . 065. 04 . 0073. 025. 04 . 0278. 01 . 02 . 0645. 0111BCPBWAW3 . 043. 027. 02 . 0

26、2 . 06 . 03 . 03 . 03 . 05 . 03 . 045. 02 . 04 . 025. 0222BCPBWAW21. 042. 037. 04 . 03 . 03 . 03 . 02 . 01 . 03 . 03 . 07 . 04 . 05 . 02 . 0333BCPBWAW 令：令： 则方案层对总准则则方案层对总准则A的权向量（各方案对总准则的权向量（各方案对总准则A的相对重要性、或的相对重要性、或者说用总准则者说用总准则A对各方案进行评价时各方案的相对重要性）为：对各方案进行评价时各方案的相对重要性）为： 即方案即方案2为相对较好方案。为相对较好方案。21. 03

27、. 03596. 042. 043. 03606. 037. 027. 0279. 0),(321PBPBPBPBWWWA2909. 04018. 03027. 03 . 04 . 03 . 021. 03 . 03596. 042. 043. 03606. 037. 027. 0279. 0APBPAWAW 总排序的一致性检验总排序的一致性检验：njBjjPAnjjCjPBnjjCjPBnjjCjPBGCIWCIWCIWCIWCI1133122111njBjjPAnjjCjPBnjjCjPBnjjCjPBGRIWRIWRIWRIWRI1133122111，总排序一致若1 .0GGGGCRCR

28、CICR数据模型与决策案例数据模型与决策案例(P525) Diane 遇到购买轿车的问题遇到购买轿车的问题. 经过多次调查分析，经过多次调查分析，Diane锁定如下三种品牌的二手车进行选择锁定如下三种品牌的二手车进行选择 车型车型特点特点雅阁雅阁土星土星雪佛兰雪佛兰价格价格颜色颜色油耗油耗内部内部型号型号音响系统音响系统$13000Black19Luxurious4DoorsAM/FM,CD$11200Red23Common2DoorsAM/FM$9500Blue28Standard2DoorsAM/FMDiane的选车准则有四个的选车准则有四个: (1) 价格价格; (2) 油耗油耗 (3)

29、 舒适性舒适性; (4) 式样式样1.建立问题的递阶层次结构模型建立问题的递阶层次结构模型选最好的车选最好的车价格价格油耗油耗舒适性舒适性式样式样雅雅 阁阁土土 星星雪佛兰雪佛兰雅雅 阁阁土土 星星雪佛兰雪佛兰雅雅 阁阁土土 星星雪佛兰雪佛兰雅雅 阁阁土土 星星雪佛兰雪佛兰2. 构造两两比较矩阵及单排序构造两两比较矩阵及单排序 各准则之间相对重要性的比较各准则之间相对重要性的比较价格价格油耗油耗舒适舒适式样式样价格价格油耗油耗舒适舒适式样式样11/31/21/2314421/41221/41/21总和总和2.333125.253.75 准则之间相对重要性排序准则之间相对重要性排序价格价格油耗油

30、耗舒适舒适式样式样优先级优先级方根法方根法价格价格油耗油耗舒适舒适式样式样0.4290.1430.2140.2140.250.0830.3330.3330.3810.0480.1900.3810.5330.0670.1330.2670.3980.0850.2180.2990.3990.0820.2150.304价格排序价格排序雅阁雅阁土星土星雪佛兰雪佛兰排序排序雅阁雅阁土星土星雪佛兰雪佛兰1341/3121/41/210.1230.3200.557油耗排序油耗排序雅阁雅阁土星土星雪佛兰雪佛兰排序排序雅阁雅阁土星土星雪佛兰雪佛兰1461/4131/61/310.0870.2740.639舒适性排

31、序舒适性排序雅阁雅阁土星土星雪佛兰雪佛兰排序排序雅阁雅阁土星土星雪佛兰雪佛兰11/21/8211/68610.5930.3410.065式样排序式样排序雅阁雅阁土星土星雪佛兰雪佛兰排序排序雅阁雅阁土星土星雪佛兰雪佛兰131/41/311/71/4710.2650.6560.0803. 层次总排序层次总排序080. 0065. 0639. 0557. 0656. 0341. 0274. 0320. 0265. 0593. 0087. 0123. 0299. 0218. 0085. 0398. 0W314. 0421. 0265. 0土星是土星是Diane的最佳选择的最佳选择例例 某企业需要就先进

32、制造系统的开发应用作投资决策。有三种某企业需要就先进制造系统的开发应用作投资决策。有三种被选方案，方案综合效益评价的指标体系如下图所示。假定被选方案，方案综合效益评价的指标体系如下图所示。假定各被选方案的实施费用现值、直接财务收益现值以及对应于各被选方案的实施费用现值、直接财务收益现值以及对应于各战略效益指标的无量纲效用值如下表所示，试对各方案进各战略效益指标的无量纲效用值如下表所示，试对各方案进行综合评价比选。行综合评价比选。 评价指标体系：评价指标体系：信息处理能力增强产品质量提高生产柔性提高设计制造周期缩短战略效益）直接财务效益（净现值综合效益 各被选方案的效益值表项目项目符号符号方案方案1方案方案2方案方案3财务净现值财务净现值B-1000-600100设计制造周期缩短设计制造周期缩短C10.830.610.35生产柔性提高生产柔性提高C20.680.900.55产品质量提高产品质量提高C30.720.660.54信心处理能力增强信心处理能力增强C40.480.920.321建立递阶结构层次模型建立递阶结构层次模型综合效益最大综合效益最大战略效益战略效益直接财务效益直接财务效益设计设计制造制造周期周期