八年级全等三角形专题练习(解析版)

1、一、八年级数学全等三角形解做题压轴题难1. 1如图1,：在ABC中,NBAC=90.,AB二AC,直线m经过点A,8口,直线m,CEJ_直线m,垂足分别为点D、E.证实:DE=BD+CE.2如图2,将1中的条件改为：在ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有NBDA=ZAEC=ZBAC=.,其中.为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证实;假设不成立,请说明理由.3拓展与应用：如图3,D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点D、A、E三点互不重合,点F为NBAC平分线上的一点,且ABF和ACF均为等边三角形,连接BD、CE,假设NBDA=ZAEC

2、=ZBAC,试判断DEF的形状.【答案】(1)见解析(2)成立(3)4DEF为等边三角形【解析】解：(1)证实：BDL直线m,CEJ_直线m,NBDA=NCEA=900.:ZBAC=90,/.ZBAD+ZCAE=90./ZBAD+ZABD=90,/.ZCAE=ZABD.又AB二“AC,ADB合CEA(AAS)./.AE=BD,AD=CE./.DE=,AE+AD=HBD+CE.(2)成立.证实如下：:ZBDA=ZBAC=a,/.ZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=180-Or./.ZDBA=ZCAE.ZBDA=ZAEC=.,AB=AC,AD於CEA(AAS)./.AE=BD,AD=CE.DE

3、二AE+AD=BD+CE.(3) DEF为等边三角形.理由如下：由(2)知,ADB合CEA,BD=AE,ZDBA=ZCAE,:ABF和ACF均为等边三角形,JZABF=ZCAF=60. ,ZDBA+ZABF=ZCAE+ZCAF./.ZDBF=ZFAE.;BF=AF,丛DBF合EAF(AAS)./.DF=EF,ZBFD=ZAFE. ,ZDFE=ZDFA+zAFE=ZDFA+ZBFD=60. .ADEF为等边三角形.(1)由于DE=DA+AE,故由AAS证ADB合4CEA,得出DA=EC,AE=BD,从而证得DE=BD+CE.(2)成立,仍然通过证实ADB2JCEA,得出BD=AE,AD=CE,所

4、以DE=DA+AE=EC+BD.(3)由ADB2CEA得BD=AE,NDBA=NCAE,由ABF和ACF均等边三角形,得ZABF=ZCAF=60,FB=FA,所以NDBA+NABF=NCAE+NCAF,即NDBF二NFAE,所以DBFEAF,所以FD=FE,ZBFD=ZAFE,再根据NDFE=ZDFA+ZAFE=ZDFA+ZBFD=60得到DEF是等边三角形.2.如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F1证实：PC=PE；2求NCPE的度数：3如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当NABC=12T时,连接【答案】

5、(1)证实见解析(2)90(3)AP=CE【解析】【分析】(1)、根据正方形得出AB=BC,ZABP=ZCBP=45%结合PB=PB得出aABPgCBP,从而得出结论：、根据全等得出NBAP=NBCP,ZDAP=ZDCP,根据PA=PE得出NDAP=NE,即ZDCP=ZE,易得答案；(3)、首先证实4ABP和CBP全等,然后得出PA=PC,NBAP=NBCP,然后得出NDCP二NE,从而得出NCPF=NEDF=60,然后得出AEPC是等边三角形,从而得出AP=CE.【详解】、在正方形ABCD中,AB=BC,ZABP=ZCBP=45%在ZkABP和4CBP中,XVPB=PBAAABPACBP(S

6、AS),PA=PC,VPA=PE:.PC=PE；、由(1)知,aABPACBP,.zbap=zbcp,jndap=ndcp,VPA=PE,.ZDAP=ZE/.ZDCP=ZE.VZCFP=ZEFD(对顶角相等),A180-ZPFC-ZPCF=1800-ZDFE-NE,BPZCPF=ZEDF=90：、AP=CE理由是：在菱形ABCD中,AB=BC,NABP二NCBP,在2ABPlACBP中,XVPB=PB/.ABPACBP(SAS),PA二PC,NBAP=NDCP,VPA=PE,PC=PE,NDAP=NDCP,VPA=PC,/DAP=NE,AZDCP=ZEVZCFP=ZEFD(对顶角相等),A18

7、0-ZPFC-ZPCF=180-ZDFE-NE,RPZCPF=ZEDF=180-ZADC=180-120=60,AAEPC是等边三角形,PC=CE,AAP=CE考点：三角形全等的证实3.如图,在AA8C中,NAC8为锐角,点为射线8C上一动点,连接AO.以AO为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF.图图图1假设A3=AC,ABAC=90当点.在线段BC上时与点3不重合,试探讨CF与8.的数量关系和位置关系：当点O在线段C的延长线上时,中的结论是否仍然成立,请在图2中而出相应的图形并说明理由；2如图3,假设ABwAC,ABAC90,ZBC4=45,点.在线段8C上运动,试探究CF与8.的位

8、置关系.【答案】1CF_LBD,证实见解析：成立,理由见解析：2CF1BD,证实见解析.【解析】【分析】1根据同角的余角相等求出NCAF=NBAD,然后利用边角边证实4ACF和4ABD全等,先求出NCAF=NBAD,然后与的思路相同求解即可：2过点A作AE_LAC交BC于E,可得4ACE是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE,NAED=45.,再根据同角的余角相等求出NCAF=NEAD,然后利用“边角边证实4ACF和4AED全等,根据全等三角形对应角相等可得NACF=NAED,然后求出ZBCF=90,从而得到CFJ_BD.【详解】解：1NBAC=90,4ADF是等腰直角三角形

9、,.ZCAF+ZCAD=90%ZBAD+ZACD=90,.ZCAF=ZBAD,在4ACF和4ABD中,VAB=AC,ZCAF=ZBAD,AD=AF,.,.ACFAABDSAS,.CF=BD,ZACF=ZABD=45,ZACB=45,AZFCB=90,.-.CFBD：成立,理由如下：如图2：VZCAB=ZDAF=90%,ZCAB+ZCAD=ZDAF+ZCAD,即NCAF=NBAD,在aACF和AABD中,VAB=AC,ZCAF=ZBAD,AD=AF,AAACFAABD(SAS),ACF=BD,NACF=NB,VAB=AC,ZBAC=90%AZB=ZACB=45%/.ZBCF=ZACF+ZACB=

10、45o+45o=90,ACF1BD：(2)如图3,过点A作AE_LAC交BC于E,/ZBCA=45,.ACE是等腰直角三角形,AC=AE,NAED=45,VZCAF+ZCAD=90,ZEAD+ZCAD=90%,NCAF=NEAD,在4ACF和4AED中,VAC=AE,NCAF=NEAD,AD=AF,.ACFAAED(SAS),/.ZACF=ZAED=45,ZBCF=ZACF+ZBCA=45o+45=90,ACF1BD.【点睛】此题考查全等三角形的动点问题,综合性较强,有一定难度,需要熟练掌握全等三角形的判定和性质进行综合运用.4.如图1,在A3C中,ZA=90,A3=AC,点.是斜边8C的中点

11、,点E,产分别在线段A3,4c上,且NEDF=90.1求证：.所为等腰直角三角形：2假设ABC的面积为7,求四边形AEDF的面积：3如图2,如果点E运动到A8的延长线上时,点尸在射线C4上且保持ZEDF=90,.石尸还是等腰直角三角形吗.请说明理由.【答案】1证实见解析；23.5：3是,理由见解析.【解析】【分析】1由题意连接AD,并利用全等三角形的判定判定BD年ADFASA,进而分析证得.瓦为等腰直角三角形；2由题意分析可得S网边形aedf=Smdf+Saade=Sabde+Sacdf,以此进行分析计算求出四边形AEDF的面积即可；3根据题意连接AD,运用全等三角形的判定判定BDEADFAS

12、A,进而分析证得.所为等腰直角三角形.【详解】解：1证实：如图,连接AD.NBAC=90,AB=AC,点D是斜边BC的中点,/.ADBC,AD=BD, ,Z1=ZB=45,ZEDF=90%Z2+Z3=90%又,Z3+Z4=90,/.Z2=Z4,在BDE和ADF中,Z1=ZB,AD=BD,Z2=Z4,/.BDE合,ADF(ASA), ,DE二DF,又；ZEDF=90 ADEF为等腰直角三角形.(2)由(1)可知DE=DF,NON6=45.,又N2+N3=90,Z2+Z5=90%JZ3=Z5,aADE级CDF, Sn边h,aedf=Saadf+Scade二Sabde+Scdf,Smbc=2S网边毛

13、aedf,Swijn；aedf=3.5.(3)是,如图,连接AD./ZBAC=90AB=AC,D是斜边BC的中点,/.ADBCZAD=BD,Z1=45,ZDAF=180-Zl=180-45=135%ZDBE=180-ZABC=180-45=135%/.ZDAF=ZDBE,ZEDF=90/.Z3+Z4=90%又；Z2+Z3=90,Z2=Z4,在仆BDE和aADF中,ZDAF=ZDBE,AD=BD,N2=Z4,BDE合ADF(ASA),.DE=DB又：ZEDF=90.aDEF为等腰直角三角形.【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质,根据题意作辅助线构造出全等三角形是解题的关

14、键.5.如图,在MBC中,ZC=90,AC=3,BC=7,点.是8c边上的动点,连接AD,以AO为斜边在A.的下方作等腰直角三角形AO石.(1)填空：AABC的面积等于；(2)连接CE,求证：CE是NAC3的平分线；(3)点.在6C边上,且CO=1,当.从点.出发运动至点3停止时,求点E相应的运动路程.王O1_【答案】I：2证实见解析：33点【解析】【分析】1根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得：2如下图作出辅助线,证实AEM名ADENAAS,得至IME=NE,即可利用角平分线的判定证实：3由2可知点E在NACB的平分线上,当点D向点B运动时,点E的路径为一条直线,再根据全等三角形的性质得

15、出CN=!AC+C.,根据CD的长度计算出CE的长度即可.【详解】解：1ZC=90,AC=BC=7=-ACxBC=-x3x7=,故答案为：22连接CE,过点E作EMLAC于点M,作EN_LBC于点N,AZEMA=ZEND=90,XVZACB=90SAZMEN=90%AZMED+ZDEN=90,ADE是等腰直角三角形AZAED=90AE=DEAZAEM+ZMED=90%,ZAEM=ZDEN,在AEM与ZkDEN中,ZEMA=ZEND=90%ZAEM=ZDEN,AE=DEAAAEMADENAAS/.ME=NE,点E在NACB的平分线上,即CE是NAC3的平分线工(3)由(2)可知,点E在NACB的

16、平分线上,当点D向点B运动时,点E的路径为一条直线,VAAEMADEN,AM=DN,即AC-CM=CN-CD在RtZiCME与RtZkCNE中,CE=CE,ME=NE,ARtACMERtACNE(HL)ACM=CN.,.CN=；(AC+CO),又YNMCE二NNCE=45,ZCME=90,.CE=y/2CN=(AC+CD).2当AC=3,CD=CO=1时,CE=(3+1)=2&当AC=3,CD=CB=7时,5CE=r(3+7)=5虚,点E的运动路程为：50-20=30,【点睛】此题考查了全等三角形的综合证实题,涉及角平分线的判定,几何中动点问题,全等三角形的性质与判定,解题的关键是综合运用上述

17、知识点.6.如图1,在长方形ABCD中,AB=CD=5cm,BC=12cm,点P从点B出发,以2cm/s的速度沿BC向点C运动,设点P的运动时间为ts.II)I)(1) PC=cm：(用含t的式子表示)(2)当t为何值时,ABPgDCP?.(3)如图2,当点P从点B开始运动,此时点Q从点C出发,以vcm/s的速度沿CD向点D运动,是否存在这样的v值,使得某时刻4ABP与以P,Q,C为顶点的直角三角形全等？假设存在,请求出v的值：假设不存在,请说明理由.【答案】(1)(12-2/)；(2)1=3;(3)存在,P=2或忏1【解析】【分析】(1)根据P点的运动速度可得BP的长,再利用BC的长减去BP

18、的长即可得到PC的长：(2)先根据三角形全等的条件得出当BP=CP,列方程求解即得；(3)先分两种情况：当BP=CQ,AB=PC时,ABPgZPCQ：或当BA=CQ,PB=PC时,ABPgaQCP,然后分别列方程计算出t的值,进而计算出v的值.【详解】解：(1)当点P以2cm/s的速度沿BC向点C运动时间为ts时3P=2/57BC=2cin：.PC=BC-BP=(n-2i)cm故答案为：(1227)(2) MBP=DCP.BP=CP2/=12-2/解得1=3.(3)存在,理由如下：当BP=CQ,AB=PC时,ZiABP名PCQ,1. PC=AB=5.BP=BC-PC=12-5=7BP=Item

19、：.2t=7解得t=3.5.CQ=BP=7,那么3.5v=7解得y=2.当B4=C.,PB=PC时,MBP=QCP,:BC=ncm,BP=CP=-BC=6c72VBP=Item:.2t=6解得/=3CQ=3vcm,:AB=CQ=5cm,3v=5解得U3综上所述,当u=2或i,=,时,A48尸与以P,Q,C为顶点的直角三角形全等.【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质和矩形的性质,解题关键是将动态情况化为某一状态情况,并以这一状态为等量关系建立方程求解.7.：在MBC中,AB=AC,ZBAC=90,尸Q为过点4的一条直线,分别过B、C两点作8M_LP0,CN_L尸.,垂足分别为M、N.(1)如图

20、所示,当P.与BC边有交点时,求证：MN=CNBM；(2)如图所示,当与6C边不相交时,请写出线段8M、CN和MN之间的数量关系,并说明理由.【答案】(1)见解析：(2)MN=BM+CN(或BM=MNCN或CN=MN-BM),理由见解析【解析】【分析】(1)根据条件先证AAA/i运ACN4,得到AM=CN,BM=AN,即可证得MN=CNBM：(2)由(1)知AAMBYACNA,得到4M=CN,8M=AN,即可确定MN=BM+CN.【详解】证实：BM_LPQ,CN_LP0,.ZAMB=ZCAN=90,VZBAC=90,AZCAN+ZACN=90,ZCAN+ZBAM=90(或NCW+NAC/V=N

21、C4N+NMM).ZBAM=ZACN,在AAMB和ACN4中,ZAMB=4CNA.ZBAM=AACN,AB=CA:.AAM“ACN4(A4S),.AM=CN,BM=AN,:MN=AM-AN,:.MN=CNBM.(2)MN=BM+CN(或BM=MN-CN或CN=MN-BM).理由：.BM_LPQ,CN_LP.,ZAMB=ZCAN=90,VZBAC=90,.ZCAN+ZACN=90,ZCAN+ZBAM=90(或NCW+NAC/V=NC4N+NBAM),:.ZBAM=ZACN,在AAMB和ACNA中,AAMB=ZCNAZ.BM=ZACN,AB=CA：.AAM*ACNA(AAS),.AM=CN,BM=

22、AN,:.MN=AN+AM=BM+CN.【点睛】此题考察三角形全等的应用,正确确定全等三角形是解题关键,由此得到对应相等的线段,确定它们之间的和差关系得到80、CN和MN之间的关系式.8.操作发现：如图,己知配和DE均为等腰三角形,AB=AC,AD=AE,将这两个三角形放置在一起,使点8,D,E在同一直线上,连接CE.(1)如图1,ZABC=ZACB=ZADE=ZAED=55Q,求证：BADgZkCAE；(2)在(1)的条件下,求N8EC的度数：拓广探索：(3)如图2,假设NC48=NEAD=120.,8D=4,CF为aBCE中8E边上的高,请直接写出讦的长度.【答案】(1)见解析：(2)70

23、；(3)2【解析】【分析】(1)根据SAS证实BADg/kCAE即可.(2)利用全等三角形的性质解决问题即可.(3)同法可证4BAD丝ZkCAE,推出EC=BD=4,由NBEC=NBAC=12O0,推出NFCE=30即可解决问题.【详解】(1)证实：如图1中,图1ZABC=ACB=ZADE=NAED,/.ZEAD=ZCAB,：.ZEAC=ADAB,AE=AD.AC=AB9：.BAD&CAE(SAS).(2)解：如图1中,设AC交8E于O.NA8C=N4C8=55,/.Z84c=180-110=70,BADCAE,ZABO=ZECO,ZEOC=ZAOB,ZCEO=Z840=70,即NBEC=70

24、.(3)解：如图2中,A图2ZC48=NEAD=120.ZBAD=ACAE,：AB=AC,AD=AE.BAD4CAESAS,.ZBAD=AACE.8D=EC=4,同理可证NBEC-8AC=120,ZFC=60%CFLEF,ZF=90,.ZFCE=301.EF=-EC=2.2【点睛】此题属于三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.9.在等边aABC中,点.是边8C上一点.作射线AO,点3关于射线AO的对称点为点E.连接CE并延长,交射线AO于点1如图,连接AE,AE与AC的数量关系是；设NBA尸=a,用.表示NBCF的大小；2如

25、图,用等式表示线段A尸,CF.所之间的数量关系,并证实.【答案】AB二AE；NBCF=.：(2)AF-EF=CF,理由见详解.【解析】【分析】(1)根据轴对称性,即可得到答案；由釉对称性,得：AE二AB,NBAF=NEAF=.,由A3C是等边三角形,得AB=AC,ZBAC=ZACB=60,再根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180,即可求解：(2)作NFCG=60交AD于点G,连接BF,易证AFCG是等边三角形,得GF=FC,再证ACG会ABCF(SAS),从而得AG=BF,进而可得至lj结论.【详解】(1)点4关于射线的对称点为点E,AAB和AE关于射线AD的对称,AAB=AE.故答案是

26、:AB=AE;.点3关于射线的对称点为点E,AE二AB,NBAF=NEAF=.,二A3c是等边三角形,AAB=AC,ZBAC=ZACB=60,：.ZEAC=60-2a,AE=AC,ZACE=1180-(60-2a)=60+6?,AZBCF=ZACE-ZACB=60+a-60=a.(2)AF-EF=CF,理由如下：作NFCG=60.交AD于点G,连接BF,NBAF=NBCF=a,NADB=NCDF,AZABC=ZAFC=60c,.FCG是等边三角形,AGF=FC,二A3c是等边三角形,ABC=AC,ZACB=60,AZACG=ZBCF=.在AACG和ABCF中,CA=CBZACG=ABCF,CG

27、=CF,AACG仝ABCF(SAS),.,.AG=BF,点4关于射线AO的对称点为点E,.AG=BF=EF,VAF-AG=GF,.AF-EF=CE【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理,添加辅助线,构造全等三角形,是解题的关键.10.如图,AA8C是等边三角形,点.在边4c上“点D不与A,C重合,点石是射线5c上的一个动点点E不与点8,C重合,连接OE,以OE为边作作等边三角形hDEF,连接CF.1如图1,当.石的延长线与A3的延长线相交,且CF在直线OE的同侧时,过点D作DG/AB,DG交BC于点、G,求证：CF=EG；2如图2,当.石反向延长线与A8的反向延长线相交,且.,尸在直线OE的同侧时,求证：CD=CE+CF；3如图3,当OE反向延长线与线段A8相交