《功率谱估计》ppt课件

1、五、功率谱估计内容n经典谱估计n基于参数模型的功率谱估计n基于特征分解法的谱估计5.1 概述n意义信号分析工具分析信号频域特征n确定性信号：Fourier变换频谱特性n绝对可积n周期信号nFourier级数n随机信号：不满足绝对可积条件n能量无限，平均功率有限n频域分析：功率谱密度5.1 概述n功率谱定义TTjwtTdtetxX)()(TXESTTx2)(lim)(2NNnnjjNenxeX)()(NeXEeSjNNjx2)(lim)(2延续随机信号离散随机信号5.1 概述n广义平稳随机信号的功率谱与其自相关函数的关系 ：维纳辛钦Wiener-Khinchin定理 mnjxemRS)()(5.

2、1 概述n定义n谱分析：利用有限的样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度。n从察看样本估计信号的功率分布情况n运用n寻觅数据的“隐周期性n语音处置n基音提取n估计声音语调共振峰n基于谱减法的语音加强算法 5.1 概述n运用n生物工程n功率谱密度的峰形和波形巓痫病的发作周期n无源声纳信号处置n功率谱密度位置目的的方向n雷达信号处置：回波信号的功率谱密度分析n功率谱密度峰值的宽度运动目的的位置n功率谱密度峰值的高度运动目的的强度n功率谱密度峰值的位置运动目的的速度运用例子运用例子1，脑电波分析脑电波信号1正常的脑电波脑电波信号2癫痫病人脑电波信号1两种不同方法的功率谱估计周期图AR模型信号2两种

3、不同方法的功率谱估计周期图AR模型2,人体磁场探测周期图BT不同方法得到的功率谱估计：不同方法得到的功率谱估计：AR模型MUSIC3,地震序列4,信道估计123456-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81123456-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8输入H(z)输出噪声)(zH真实值估计值0dB噪声10dB噪声)()()(2XHY5.1 概述n开展历史n19世纪末1899，舒斯特Schuster周期图n1930年，维纳：维纳辛钦定理n20世纪50年代，BT法n1967年，Burg最大熵谱法n1968年，ParzenAR谱估计法n1971年，Van Den Bos证

4、明最大熵谱法与AR谱估计等效n1969年，Capon提出最大似然谱估计法5.1 概述n分类n经典谱估计法、现代谱估计法n线性谱估计法、非线性谱估计法：线性、非线性运算n非参量方法、参量方法谱估计算法一览谱估计算法现代谱估计经典谱估计周期图PeriodogamBTAR,ARMA模型最大熵最大似然基于特征值分解Pisarenko谐波分解MUSIC5.1 概述n谱估计的质量n偏向n方差n谱分辨率5.1 概述n功率谱估计的问题n影响估计质量的要素n估计方法 n信号模型 n外推方法 5.2经典谱估计的根本方法n周期图法直接法n相关图法间接法周期图法n概念n定义PeriodogramNeXEeSjNNjx

5、2)(lim)(2对遍历信号：21)02)(1)(1)(limlimNnnjNjNNjwxenxNeXNeS22)()2() 1 (1)(NjjjeNxexexNS周期图法n有限的察看值2102)(1)(1)(NnnjjNxenxNeXNS1)1()()(NNmmjxemRS )1()1(1)1(101010)(10102)()()()(1)()(1)()(1)(1)(NNmjmxNNmNkjmNNNiNkkijNNNkjkNNijiNjxemRkimemkxkxNekikxkxNekxeixNeXNS10)()(1)(NnNNxmnxnxNmR其中)()();()(xxxSSmRmRN证明：

6、估计的质量n偏向n功率谱估计1)1()()(NNmmjxxemRESE1)1()()(NNmjmxxemRS估计的均值：)()(mREFSExx估计的偏向由3.2.2：)()()(|)(mRmwmRNmNmRExxx其中：NmNmNmNmw|01|0|)(估计的偏向dWSWSSExxx)()(21)()()()()()(mRmwFSExx所以：可见，功率谱估计的均值是真实功率谱与Bartlett窗的Fourier变换的卷积1)1(2)()2sin()2sin(1)(NNmmjemwNNW估计的偏向：W(),N=800.20.40.60.81-100-50050Magnitude (dB)Nor

7、malized Frequency估计的偏向n结论)()();()(ExxxSSEmRmRN渐近无偏估计实践中数据长度N有限，偏向总是存在：)()()(21)(xxxSdWSSbia例子)()*2sin()(nunfnx估计的质量n估计的方差n功率谱估计在两个频率处的协方差，定义为)()()()()(),(221121xxxxxSESSESESSCov220102201021)()()(21)()()(21)(),(dDDSNdDDSNSSCov估计的方差)(, 01|, 1)(00DotherNnndF其中：212200)()()()(21)(SEdDDSNSVar0)()(ar2xxSES

8、VN结论：不是一致估计，估计的方差比要大)(xS2| )(|xS窗函数的影响1，对估计方差的影响2200)()()()(21)(xxSEdDDSNSVar假设窗函数旁瓣为0，主瓣宽度为B)2(2BB当频率落在以下区间：有：0)()(00DD2)()(xxSESVar结论：方差在特定频率范围到达最小窗函数的影响2，对估计协方差的影响当频率满足以下关系：有：结论：主瓣宽度越小，谱估计起伏越大相关度为0意味估计值差别220102201021)()()(21)()()(21)(),(dDDSNdDDSNSSCovB|210)()(0)()(20102010DDDD0)(),(21SSCov21)(10

9、D)(20D(d)(c)(20D02B)(0D2B2B(b)(0D)(0D(a)21)(10D02B02B2B02B2B2B2B估计的方差n随着N的增大，周期图的谱估计起伏增大估计的分辨率n定义：n真实谱中两个靠得很近的谱峰能被分辨的才干dWSWSSExxx)()(21)()()(分辨率取决于W()的主瓣宽度例子相关图法n1958年由Blackman与Tukey提出n改善相关函数的估计方法，对周期图平滑处置改善方差性能n周期图中自相关函数的估计nm接近N时，估计出的自相关函数的偏向较大n根据维纳辛钦定理mnjemRS)()(mNnmnxnxNmR10|)|()(1)(相关图法n步骤n估计自相关

10、函数) 11(, |)|()(1)(|10NmNmnxnxNmRmNnMMmmjemvmRS)()()(q对自相关函数进展Fourier变换|M|=N-1窗函数相关图法n周期图法利用观测序列直接给出谱估计，又称直接法。与之比较，BT谱估计先估计出自相关函数，再估计功率谱，又称间接法。BT谱估计基于自相关函数，也称相关图法)()()(VSSPERBT周期图法和相关图法的比较n当M=N-1时，BT法与周期图法估计出的功率谱是一样 n当M快速算法nToeplitz矩阵的性质 nHermitian对称 n任一条对角线上的元素都相等 n利用Toeplitz矩阵性质，快速的递推算法) 0() 1()()

11、1() 0() 1 ()() 1 () 0(xxxxxxxxxRpRpRpRRRpRRRR5.3.2 AR参数谱估计与最正确线性预测器的关系n问题：n知k阶的参数，怎样用k阶的参数求出k+1阶的参数?nLevinson-Durbin算法n阶数递推 : 0p书上运用了线性预测模型的概念推导1 线性预测的根本概念利用x(n-p),x(n-p+1),x(n-1)的线性组合预测x(n)pkkfknxnx1)()(最正确线性预测器)()()(nxnxnef预测误差：212)()()(pkkknxnxEneE预测均方误差：正交性原理xe01xy2x投影最正确线性预测器，最小0mpmnxnxmnxEf, 2

12、, 1, 0)()()(pkxkxkmRmR1)()()() 0()()()(1minkRRnxnxnxExpkkxf最小预测均方误差：0)()(nemnxE最正确线性预测器n线性预测WienerHopf方程：ak和min001)0()1()()1()0()1()()1()0(1pxxxxxxxxxRpRpRpRRRpRRR与AR模型的YuleWalker方程类似线性预测与AR模型关系n对于同一个随机信号：min2, 2, 1,pkkk结论：p阶的AR模型可以构造一个p阶的最正确线性预测器对于p阶的AR过程信号x(n)，运用p阶线性预测器，预测误差为：)()()()()()(1nuknxnxn

13、xnxnepkkf预测误差是白噪声，预测过程又称为白化线性预测与AR模型关系)(2th)(nx)(1zA)(nu(a)(nx)(ne)(zA(b)(1zA)(ne)( nx)( nx)(nx(c)ppzaza1111ppzaza111ppzaza11前、后向线性预测的关系前向预测：利用p个n时辰之前的数据预测x(n)；后向预测：利用某时辰n-p之后p个数据预测x(n-p)；前、后向线性预测的关系21)()()()()()()(neEnxnxneknxkanxffffpkffForwardPrediction21)()()()()()()(neEpnxpnxnekpnxkapnxbbbbpkbb

14、BackwardPrediction前、后向线性预测的关系利用正交性原理，可以得到后向预测的WeinerHopf方程：0bmbpmkmRkamRkRkaRpkxbxpkxbxb,2,1, )()()()()()0(11min比较前、后向预测的WeinerHopf方程，利用Toeplitz矩阵 fbminmin)()(kakabf5.3.3 Levinson-Durbin算法n递推算法：n低阶AR参数 高阶AR模型参数nAR模型与线性预测模型的参数一致n递推线性预测系数 AR模型参数nm阶的线性预测系数：am1,am2,ammfbmminmin预测误差功率最小预测均方误差：5.3.3 Levin

15、son-Durbin算法后向零阶递推)(nx) 1( nx)(nx1阶递推前向) 2( nx) 1( nx)(nx前向前向后向后向002阶递推5.3.3 Levinson-Durbin算法p=1时，011aR01)0() 1 () 1 ()0(111aRRRR211021111111)0()0() 1 (aaRRRa解方程组)0()()()()(22000RnxEneEnxneff5.3.3 Levinson-Durbin算法定义前向预测误差和后向预测误差的相关系数m+1为：)1()(1neneEbmfmmmimimimRamR11)1()1(根据最正确预测的正交原理：证明：m阶=m+1阶00

16、1)0() 1()() 1()0() 1 ()() 1 ()0(1mmmmaaRmRmRmRRRmRRR0mmaRm阶要求m+1阶：0001)0() 1 ()() 1() 1 ()0() 1()()() 1()0() 1 () 1()() 1 ()0(11, 1, 11 , 1mmmmmmaaaRRmRmRRRmRmRmRmRRRmRmRRRM+1阶110001)0() 1 ()() 1() 1 ()0() 1()()() 1()0() 1 () 1()() 1 ()0(mmmmmaaRRmRmRRRmRmRmRmRRRmRmRRR对自相关矩阵进展行和列的扩展mimimimRamR11)1()

17、1(M+1阶颠倒方程组的行次序：mmmmmaamRmRRRmRmRRRRRmRmRRRmRmR0001) 1()() 1 ()0()() 1()0() 1 () 1 ()0() 1()()0() 1 ()() 1(11颠倒方程组的列次序：mmmmmaaRRmRmRRRmRmRmRmRRRmRmRRR0010)0() 1 ()() 1() 1 ()0() 1()()() 1()0() 1 () 1()() 1 ()0(11要求m+1阶：0001)0() 1 ()() 1() 1 ()0() 1()()() 1()0() 1 () 1()() 1 ()0(11, 1, 11 , 1mmmmmmaa

18、aRRmRmRRRmRmRmRmRRRmRmRRR引入反射系数km+1mmimkmmmimRamRK111)1() 1(M+1阶mmmmmmmmmmmmKaaKaaRRmRmRRRmRmRmRmRRRmRmRRR00001001)0() 1 ()() 1() 1 ()0() 1()()() 1()0() 1 () 1()() 1 ()0(111111对比m+1阶：0001)0() 1 ()() 1() 1 ()0() 1()()() 1()0() 1 () 1()() 1 ()0(11, 1, 11 , 1mmmmmmaaaRRmRmRRRmRmRmRmRRRmRmRRRmmkmkmmmmmm

19、kmmmmkkmmmmkmRamRkkmkakaaka1112111,1, 111, 1)1() 1()1 (, 1,5.4.1 AR谱估计的相关函数法)0()()(0)()(220000RnxEneEKnxneff5.4.1 AR谱估计的相关函数法)0()1 ()1 ()0() 1 () 1()()(210211111111RKKRRKanxanxnef5.4.1 AR谱估计的相关函数法1222111222112112112122212)1 () 1 ()2()1 ()()2() 1()()(KRaRKaaKaKananxanxanxnefLevinson-Durbin算法步骤由察看数据 x

20、(n)，选择适宜的模型阶数p，估计自相关函数R(m);利用Levinson-Durbin算法，递推求出ap1,ap2,app, p2 2121)(pkkjpkpAReaSmmkmkmmmmmmmmmkmmmmkkmkmRamRKKKamkaKaamKnxER11121111,11,1,1020)1()1()1(1p1,2,.,0)()0(结论n运算量n递推过程的每一步运算量为O(m)n一切递推过程的计算量为O(m2)n反射系数的性质：nm=m20n1 1-km20n| km | 1n当| km |=0时，递推算法停顿nm2 m-12 12 02n随着模型阶数的添加，预测误差功率逐渐减少n从最小

21、均方误差准那么的意义，算法收敛线性预测的格型滤波器构造前、后向预测误差的关系：初始条件为 )()()(00nxnenebf)() 1()() 1()()(1111nekneneneknenefmmbmbmbmmfmfmpmneEneneEneEneneEKbmbmfmfmbmfmm,.,2 , 1,) 1() 1()()() 1()(21112111线性预测的格型滤波器构造滤波器的系数仅是反射系数优点：模块化较小的舍入误差保证稳定性1k)(nebp)( nx1z)(nx2kpk1z1z)(nefp)(2nef)(1nef)(0nef)(0neb)(1neb)(2neb5.4.1 AR谱估计的相

22、关函数法nMATLAB函数nLevinson-Durbin递归算法 na,e,k=levinson(r,n) 5.3.4 Burg算法nBurg算法n自相关函数估计不准确不估计n经过前、后向线性预测系数之间的关系，由察看数据直接求反射系数n分辨率较自相关函数法好n缺陷：谱线分裂本来只需一个谱线的位置分裂为2条谱线，对于高阶模型能够产生虚伪峰值相关函数法的根本思绪：0m212)()()(pkkknxnxEneE预测均方误差最小x(n)(mR)(ARS0mk12)(1NmnbmbmnemNbmfmm2112)(1NmnfmfmnemNBurg算法的根本思绪：预测均方误差最小前、后向线性预测均方误差

23、之和最小)()1()()1()()(1111nekneneneknenefmmbmbmbmmfmfm0mkpmnenenenekNmnbmNmnfmNmnbmfmm, 2, 1,) 1()() 1()(21211211112121121| ) 1(| ) 1(| |1 Nemekbmfmmmmmkmm,21m)|1(1112, 1, 1,mmmmmmkmmmkmkmkkmkk步骤：0阶初始条件，求出和1阶AR参数递推计算m阶的线性预测误差和反射系数；计算m阶时的AR模型系数反复上述过程，直到m=p，求出一切阶次的AR参数计算功率谱1kn特点n不需估计自相关函数n分辨率比自相关函数法更好，但会出

24、现“谱线分裂，高阶产生虚伪峰值nN较小时，性能不亚于Levinson算法n满足|ki|1，AR模型总是稳定的n对于有噪声的正弦信号，Burg算法存在对正弦初相位的敏感问题修正协方差法谱估计)(21bffb121)()()(1NpnpkffknxkanxpNpNnpkbbknxkanxpN1021)()()(1)()(kakafb0)(iafbpiiaiaf, 2, 1),()( 不同0)()()()()()()()(110111pNnpkNpnpkinxknxkanxinxknxkanxpNpNnNpnpkpNnNpninxnxinxnxinxknxinxknxka1011101)()()()

25、()()()()()( pNnNpnxinxknxknxinxpNkic101)()()()()(21),()0 ,()0 , 2()0 , 1 ()( )2( ) 1 ( ),()2 ,() 1 ,(), 2()2 , 2() 1 , 2(), 1 ()2 , 1 () 1 , 1 (pcccpaaappcpcpcpcccpcccxxxxxxxxxxxxpNnpkNpnpknxknxkanxnxknxkanxpN10111min)()()( )()()()( )()(21pkxxkckac1min), 0()( )0, 0(不是Toeplitz矩阵协方差法的正那么方程5.3.5 AR谱估计的

26、性质nAR谱比经典谱平滑nAR谱分辨率比经典谱要高 n随着阶数的添加，谱与真实谱就越接近 n方差反比于N和信噪比 n假设自相关矩阵正定，那么由Yule-Walker方程求出的AR模型是稳定的AR谱估计的缺乏n信号的信噪比关系较大，信噪比低，那么方差大，分辨率低 n假设信号是含噪声的正弦信号，其谱峰易受信号初相位的影响，并且能够出现“谱线分裂的景象 n谱的质量受阶数p的影响大，p取值小，那么过于平滑，精度不够，p太大，那么能够会产生虚伪的谱峰 AR模型阶数的选择最终预测误差准那么FPEkkNkNkFPE)(AIC信息论准那么kNkAICx2ln)(CAT准那么kkiiNkCAT111)(1阶数太

27、小：过于平滑，分辨率缺乏阶数太大：产生虚伪谱峰，谱线分裂惩罚项5.3.6 MA模型及其正那么方程qkknukbnunx1)()()()(212)(1)(qkkjjekbeSqmqmmkbkbmkbkbmrmqkqmkx, 0, 1, 0, )()()()()(022qqmmjxjjMAjemreBePeS)()()()(22qqmmjxjBTemreS)()(非线性方程，很难直接求解MA模型nMA模型谱估计等效于经典谱估计的相关图法，分辨率较低n单纯为了谱估计，没有必要求解MA模型nMA模型参数的求解方法n谱分解法n高阶的AR模型近似MA模型n最大似然估计法最小二乘法5.7.2 MA模型参数求解方法1)(11)(1)(kkzkazAzH)()(1)()(1zBzkbzHzHqkkq1)()(zBzA)()()()(1mkmakbmaqkz反变换由柯尔莫可洛夫定理式中a(0)=1，m0实践上，e(m)不为0 )( mapMA模型参数求解步骤n由观测数据建立一个p阶的AR模型，pqn求p阶AR模型系数n利用AR模型参数建立一个q阶的线性预测，再次利用AR系数求解方法，求解b(k)n计算功率谱212)(1)(qkkjjekbeSAIC准那么用于阶次的判别：qNqAICMA2)ln()(5.7.3 ARMA谱估计qmkmrkaq