高一数学函数的概念和性质ppt课件

1、【数学】函数的概念和性质精品课件（湘教版必修1）1 函数的概念与性质函数的概念与性质1、函数的连续性、函数的连续性2、函数的间断点、函数的间断点3、 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质21.概念概念.,),(000的的增增量量称称为为自自变变量量在在点点 xxxxxUx .)(),()(0的增量的增量相应于相应于称为函数称为函数xxfxfxfy 一、函数的连续性一、函数的连续性xy00 xxx 0)(xfy x y xy00 xxx 0 x y )(xfy 曲线不断曲线不断曲线断开曲线断开.),()(0内有定义内有定义在在设函数设函数 xUxf函数函数f(x)随随x的改变而的改变而逐

2、渐改变逐渐改变 有突变现象有突变现象32.连续的定义连续的定义 P50定义定义 1 1 设函数设函数)(xf在在)(0 xU 内有定义内有定义, ,如如果当自变量的增量果当自变量的增量x 趋向于零时趋向于零时, ,对应的函对应的函数的增量数的增量y 也趋向于零也趋向于零, ,即即0lim0 yx 或或0)()(lim000 xfxxfx, ,那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点 x0 0连续连续, ,x0 0称为称为)(xf的连续点的连续点. .,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就是就是4注：注：1) 函数函数 f(x) 在在

3、x0 连续的等价写法连续的等价写法(满足定义满足定义1的条件的条件):. )()(lim000 xfxxfx . )()(lim00 xfxfxx 2) 若若 y = f (x) 在在 x0 处不连续，则称处不连续，则称 y = f(x)在在 x0 处间断。处间断。.)()(, 0, 0:00 xfxfxx恒有恒有时时使当使当即即3) 极限与连续的关系极限与连续的关系: 极限极限 连续连续 连续函数必有极限连续函数必有极限, 有极限不一定是连续函数有极限不一定是连续函数. 例如例如.0/sin, 1/sinlim0处处不不连连续续在在但但函函数数 xxxxxx;)(lim0Axfxx . )(

4、)(lim00 xfxfxx 5例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf),0()(lim0fxfx 63.单侧连续单侧连续;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在

5、若函数若函数xxfxfxfbxxf 7例例2 2.0, 0, 0, 0,)(/1处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxexfx解解0lim)(lim/100 xxxexf),0(f ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf xxxexf/100lim)(lim84.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续

6、在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如, 基本初等函数在其定义域上连续基本初等函数在其定义域上连续,初等函数在其初等函数在其定义区间上连续定义区间上连续.9例例3 3.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证证),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 则则,0,时时当当对对任任意意的的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0

7、 yx时时当当.),(sin都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 xxy10例例4. 设设 0,sin0,)(2xxbxxbxaxfbxbxx sinlim0abxax )(lim20解解：. ba 在在x=0处连续，求常数处连续，求常数a与与b应满足的关系。应满足的关系。11:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或间断点或间断点的不连续点的不连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点

8、函数函数则称则称要有一个不满足要有一个不满足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只xfxxxf二、函数的间断点二、函数的间断点121.跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但存在存在右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果xfxxfxfxxf 例例4 4.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy132.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点

9、的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例5 5.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0为为函函数数的的可可去去间间断断点点 x14如例如例5中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxf跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .

10、特点特点.0处的左、右极限都存在处的左、右极限都存在函数在点函数在点 xoxy112注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.153.第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在右极限至少有一个不存右极限至少有一个不存处的左、处的左、在点在点如果如果xfxxxf例例6 6.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x.断点断点这

11、种情况称为无穷间这种情况称为无穷间16例例7 7.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x.断断点点这这种种情情况况称称为为的的振振荡荡间间注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.17 , 0, 1)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间且都是第二类间断点断点. ,)(是无理数时是无理数时当当是

12、有理数时是有理数时当当xxxxxf仅在仅在x=0处连续处连续, 在定义域在定义域 R内其余各点处处间内其余各点处处间断断. 但其绝对值处处连续但其绝对值处处连续.18例例8 研究下列函数在研究下列函数在x=0的连续性，若是间断的，指出间的连续性，若是间断的，指出间断点类型。断点类型。.0,10,sin)()1 xxxxxf（a为任意实数）为任意实数）.0,10,sin)()2 xxxxxf.0,0,1sin)()3 xaxxxf.0,0,1sin)()4 xaxxxxf1sinlim)(lim00 xxxfxx.0),0()(lim0是是连连续续点点 xfxfx解：解：1)191|sinlim

13、)(lim0000 xxxfxxx=0为第一类间断点。为第一类间断点。xx1sinlim0不存在，不存在，x=0为第二类间断点。为第二类间断点。4）01sinlim0 xxx当当a=0时时f4(x)在在x=0处连续。处连续。a0时时 x=0为为f(x)的可去间断点。的可去间断点。1sinlim|sinlim)(lim000000 xxxxxfxxx2)3）20小结小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:

14、无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)21可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x22思考题思考题 2、若若)(xf在在0 x连连续续，则则| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否连连续续？又又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x连连续续，)(xf在在0 x是是否否连连续续？1 1、 指出指出)1(22 xxxxy在在0 x是第是第_类间断点；在类间断点；在1 x是第是第_类间断点；在类间断点；在1 x是第是第_类间断点类间断点 . .23思考题解答思考题解答)(xf在在

15、0 x连续，连续，)()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都连续都连续.1、一类；一类；二类。、一类；一类；二类。2、24但反之不成立但反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不连连续续但但| )(|xf、)(2xf在在00 x连连续续251.3.3 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质0最大值和最小值定理最大值和最小值定理0介值定理介值定理26一、最大值和最小值定理一、最大值和

16、最小值定理 定义定义: :).()()()()()()(,)(0000最小值最小值上的最大值上的最大值在在是函数是函数则称则称或或都有都有且对于且对于如果有如果有上有定义上有定义在集合在集合设函数设函数XxfxfxfxfxfxfXxXxXxf 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y27定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在闭区间上连续在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值. .ab xyo)(xf

17、y ).()(),()(,)(xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得则则若若注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.28xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 推论推论( (有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在该区间上有界. .证证,)(上连续上连续在在设函数设函数baxf,bax ,)()()(Mfxffm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 则有则有.,)(上上有有界界在在函函数数baxf29证：证：Axfx

18、 )(lim取取, 0, 10 X当当|x|X时时, | f (x)-A|1又又|f (x)|-|A| f (x)-A|1, 即即: | f (x)|0, x X, 都有都有| f (x)|M0取取M=max|A|+1, M0,.| )(|),(Mxfx 例例1 设设 f (x) 在在(-, +)上连续，且上连续，且 存在存在,)(limxfx 证明证明 f (x) 在在(-, +)上有界。上有界。有渐近线有渐近线30二、介值定理二、介值定理定定理理 2 2( (零零点点定定理理) ) 设设函函数数)(xf在在闭闭区区间间 ba,上上连连续续，且且)(af与与)(bf异异号号( (即即0)()

19、( bfaf) ), ,那那末末至至少少有有一一点点 )(ba ，使使0)( f. .定义定义: :.)(, 0)(000的零点的零点称为函数称为函数则则使使如果如果xfxxfx .),(0)(内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在即方程即方程baxf 31ab3 2 1 几何解释几何解释:.,)(轴至少有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两个的两个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy 定理定理 3 3( (介值定理介值定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba,上连续，且在这区间的端点取不同的函数值上连续，且在这区间的端点取不同的函数值

20、 Aaf )( 及及 Bbf )(, ,那末，对于那末，对于A与与B之间的任意一个数之间的任意一个数C，在开区间，在开区间 ba,内至少有一点内至少有一点 ，使得，使得Cf )( )(ba . .xyo)(xfy 32几何解释几何解释:MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 证证,)()(Cxfx 设设,)(上连续上连续在在则则bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf .)(至少有一个交点至少有一个交点直线直线与水平与水平连续曲线弧连续曲线弧Cyx

21、fy 33推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值. .例例1 1.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根内内在区间在区间证明方程证明方程 xx证证, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上连续上连续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 内至少有一根内至少有一根在在方程方程 xxMm34例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续

22、在区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即35例例 4 4)(xf在在,ba上连续，上连续，bdca , ,试证明：试证明：对任意正数对任意正数qp和和, , 至少有一点至少有一点,dc , ,使使 )()()()( fqpdqfcpf . .),()(dcdfcf 或或取取证：若证：若),()(dfcf 否则，不妨设否则，不妨设 上连续。上连续。上连续，则在上连续，则在在在dcbaxf,)(),()()()(cfqpdqfcpfdf 又又.)()()(),qpdqfcpffdc 使使（由介值定理由介值定理36例例5 设设f(x)在在(a,