二次函数易错题汇编附答案解析

1、二次函数易错题汇编附答案解析一、选择题1.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)经过点M(- 1, 2)和点N(1, -2),则下列说法错误的 是()A. a+c= 0B.无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点，且函数图象截x轴所得的线段长度必大于2C.当函数在x< L时，y随x的增大而减小102D.当一1vmvnv0 时，m+nv 一a【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可.【详解】解：.函数经过点 M(T, 2)和点N(1, -2),a b+c= 2, a+b+c= 2,a+c= 0, b= 2,，A正确；. c= - a, b= -

2、 2, . y= ax2 - 2x - a,4+4a2> 0,，无论a为何值，函数图象与 x轴必有两个交点，.2 .- x1+x2= , x1x2= 一 1 ,a | x1 - x2| = 21-2- >2,.B正确;b 1一次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴 x=- =一，2a a当a>0时，不能判定xv1时，y随x的增大而减小;10.C错误;.,一 1 v m< n< 0, a> 0,m+n<0, 2 >0, a2 m+nv ; aD正确，故选：C.【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.2

3、.要将抛物线y=x2平移后得到抛物线 y x2 2x 3 ,下列平移方法正确的是（）A.向左平移1个单位，再向上平移 2个单位B.向左平移1个单位，再向下平移 2个单位C.向右平移1个单位，再向上平移 2个单位D.向右平移1个单位，再向下平移 2个单位 【答案】A【解析】【分析】原抛物线顶点坐标为（0, 0）,平移后抛物线顶点坐标为（-1,2）,由此确定平移办法. 【详解】y=x2+2x+3= （x+1） 2+2,该抛物线的顶点坐标是（-1,2）,抛物线y=X2的顶点坐标是（0, 0）,则平移的方法可以是：将抛物线y=x2向左平移1个单位长度，再向上平移 2个单位长度.故选：A.【点睛】此题考

4、查二次函数图象与几何变换.解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移， 寻找平移方法.3 .如图是抛物线y=ax2+bx+c （a*Q的部分图象，其顶点坐标为（1, m）,且与x铀的 一个交点在点（3, 0）和（4, 0）之间，则下列结论：abc>0;a - b+c>0;b2 =4a （c- m）;一元二次方程ax2+bx+c= m+1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个 数是（）Ft孙A. 1B, 2C, 3D, 4【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a, b, c的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在 x轴上另一个交点；根据抛物线与直

5、线 y=m的交点可判定方程的解.【详解】.函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴a>0,c<0抛物线的对称轴为直线 x= -b =12a.b<0，abc>0;正确；.抛物线与x轴的一个交点在点（3, 0）和（4, 0）之间，而抛物线的对称轴为直线 x=1,，抛物线与x轴的另一个交点在点（-2, 0）和（-1, 0）之间.，当 x=-1 时，y<0,即a-b+c<0,所以不正确；;抛物线的顶点坐标为（1, m）,4ac b24a=m,b2=4ac-4am=4a （c-m）,所以 正确；;抛物线与直线y=m有一个公共点，抛物线与直线y=m+1有2个公共点，. 一元

6、二次方程 ax2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根，所以 正确.故选:C.【点睛】 考核知识点：抛物线与一元二次方程.理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的 关系是关键.4.如图是抛物线 y=ax2+bx+c （aw夕的部分图象，其顶点是（1, n）,且与x的一个交点 在点（3, 0）和（4, 0）之间，则下列结论： a -b+c> 0;3a+b=0 ;b 2=4a （c-n）;次方程ax2+bx+c=n-1有两个不等的实数根.其中正确结论的个数是（A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（-2, 0）和（-1

7、, 0）之间，则当x=-1时，y>0,于是可对进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-b =1 ,即b=-2a2a,则可对进行判断；利用抛物线白顶点的纵坐标为n得到 Mb丑，则可对进行判断；由于抛物线与直线 y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对进行判断.【详解】,抛物线与x轴的一个交点在点（3, 0）和（4, 0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1,，抛物线与X轴的另一个交点在点（-2, 0）和（-1, 0）之间. 当 x=-1 时，y>0,即a-b+c>0,所以 正确；抛物线的对称轴为直线x=-2=i,即b=-2a,2a3a+b=3a-2a=a

8、,所以错误；;抛物线的顶点坐标为（1, n）,4ac b24a二n,b2=4ac-4an=4a （c-n）,所以正确；;抛物线与直线y=n有一个公共点，抛物线与直线y=n-1有2个公共点， 一元二次方程 ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以 正确.故选C.【点睛】 本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键5.已知二次函数 y=ax2+bx+c （aQ的图象如图所示，则下列结论：（1） 4a+2b+c< 0；（2）方程ax2+bx+c= 0两根都大于零；（3） y随x的增大而增大；（4） 一次函数y=x+bc的图象一定不过第二象限.其中正确的个数是

9、（【答案】CB. 2个C. 3个D. 4个由图可知，x=2时函数值小于0,故（1）正确，函数与x轴的交点为x=1.x=3,都大于0, 故（2）正确，由图像知（3）错误，由图象开口向上， a>0,与y轴交于正半轴，c>0,对称轴x=1,故b< 0, bc< 0,即可判断一次函数 y=x+bc的图象.2 a 由x=2时，y=4a+2b+c,由图象知：y=4a+2b+cv 0,故正确； 方程ax2+bx+c=0两根分别为1,3,都大于0,故正确；当x<2时，由图象知：y随x的增大而减小，故错误；-,_ b 由图象开口向上，a>0,与y轴父于正半轴， o0, x=-

10、 = 1>0,b<0,2a.bcv0, 一次函数y=x+bc的图象一定过第一、三、四象限，故正确；故正确的共有3个，故选：C.【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知各系数所代表的含义6.抛物线yi=ax2+bx+c与直线y2=mx+n的图象如图所示，下列判断中： abcv0;1a+b+c>0;5 a-c=0;当xv9或x>6时，yi>y2,其中正确的个数有（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y轴的交点可知：a 0, b 0, c 0,则abc 0,则正确；根据图形可得：当

11、 x=1时函数值为零，则 a+b+c=0,则错误；根据函数对称轴可得：-&-=3,贝U b=-6a,根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0, -5a+c=0,贝U 5a-2ac=0,则正确；根据函数的交点以及函数图像的位置可得正确.点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目，如果函数开口向上，则a大于零，如果函数开口向下，则a小于零；如果函数的对称轴在y轴左边，则b的符号与a相同，如果函数的对称轴在y轴右边，则b的符号与a相反；如果函数与 x轴交于正半轴，则 c大于零，如果函数与 x轴交于负半轴，则 c小于零；对于出现 a+b+c、a- b+c、4a+2b+c、4

12、a-2b+c等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个 函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论7,若二次函数y=x2- 2x+2在自变量x满足mexWm+1 寸的最小值为6,则m的值为（ ）a. 75, 75,1 舟 2ib.瓜遥 iC. 1D.V5,1 55【答案】B【解析】【分析】由抛物线解析式确定出其对称轴为x=1,分m>1或m+1 <1两种情况，分别确定出其最小值，由最小值为 6,则可得到关于 m的方程，可求得 m的值.【详解】. y = x2- 2x+2= （x- 1） 2+1 ,，抛物线开口向上，对称轴为x= 1,当m >

13、; 1时，可知当自变量 x满足m<xWm+1 寸，y随x的增大而增大， 当x= m时，y有最小值，.-.m2- 2m+2 = 6,解得 m= 1 +指或 m= 1 - 75 （舍去），当m+1 <1时，可知当自变量 x满足mexWm+1寸，y随x的增大而减小，当x= m+1时，y有最小值，（m+1） 2-2 （m+1） +2=6,解得 m= J5 （舍去）或 m=- J5 ,综上可知m的值为1+J5或-55 .故选B.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，用m表示出其最小值是解题的关键.8.若二次函数y ax2 2ax c的图象经过点（-1,0）,则方程ax2 2ax c 0的解 为

14、（）A.x13,x21 B.x11 , x2 3 C. x 1 ,x23D.x13,x21【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】二次函数y ax2 2ax c的图象经过点（-1, 0） , 方程ax2 2ax c 0一定有 一个解为：x=T, ,抛物线的对称轴为：直线 x=1, ,二次函数y ax2 2ax c的图象 与x轴的另一个交点为：（3,0）,方程ax22ax c 0的解为：X 1 ,x23 .故选C.考点：抛物线与x轴的交点.9.如图，矩形 ABCD的周长是28cm,且AB比BC长2cm.若点P从点A出发，以1cm/s的速度沿 A D C方向匀速运动, A B C方向匀速运动，当一

15、个点到达点时间为t(s), VAPQ的面积为S cm2 ,则同时点 Q从点A出发，以2cm/s的速度沿C时，另一个点也随之停止运动.若设运动2S cm 与t(s)之间的函数图象大致是()先根据条件求出 AR AD的长，当 与t的关系式，分析图像可排除选项 图2,计算S与t的关系式，【详解】解：由题意得2AB 2BC可解得AB 8, BC 6,0wt w附，B、C;当4vtw4寸, 分析图像即可排除选项Q在边AB上，P在边AD上，如图1,计算SQ在边BC上，P在边AD上，如 D,从而得结论.28, AB BC 2 ,即 AD 6,当0Wt司寸,Q在边AB上，P在边AD上，如图1 ,图111 .,

16、2SMPQ=APgAQ 5tg2t t2, 图像是开口向上的抛物线，故选项B、C不正确； 当4vtw时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2,图像是一条线段，故选项 D不正确；故选：A.P和Q的位置的不同确定三角形面积的不同, S与t的函数关系式.【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据动点 解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出一 .210.已知二次函数y ax 2ax 3a（a 0）,关于此函数的图象及性质，下列结论中不 一定成立的是（）A.该图象的顶点坐标为 1, 4aB.该图象与x轴的交点为 1,0 , 3,0C.若该图象经过点2,5 ,则一定经过点 4,5 D.当X 1时，y随x的增

17、大而增大【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.【详解】解：y=a （x2-2x-3）=a （x-3） （x+1） 令 y=0,x=3 或 x=-1,，抛物线与x轴的交点坐标为（3, 0）与（-1, 0）,故B成立；，抛物线的对称轴为：x=1,令 x=1 代入 y=ax2-2ax-3a, . y=a2a3a=-4a,，顶点坐标为（1, -4a）,故A成立；由于点（-2, 5）与（4, 5）关于直线x=1对称，若该图象经过点（-2, 5）,则一定经过点（4, 5）,故C成立；当x>1, a>0时，y随着x的增大而增大，当 x>1, a<0时，y随着

18、x的增大而减少，故 D不一定成立； 故选：D.【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型.11.如图，四边形 ABCD是正方形， AB 8, AC BD交于点。，点P、Q分别是AB、BD 上的动点，点P的运动路径是 AB BC,点Q的运动路径是 BD,两点的运动速度相同并 且同时结束.若点P的行程为x, APBQ的面积为v,则y关于x的函数图象大致为（）区A.【答案】A【解析】【分析】分点P在AB边和BC边上两种情况画出图形，分别求出y关于x的函数关系式，再结合其取值范围和图象的性质判断即可 .【详解】解：当点P在AB边上，即X 8 时，如图 1,由题

19、意得：AP=BQ=X, /ABD=45°,BP=8-x,过点Q作QFLAB于点F,qf=-2bq 二22x2 2J2x,此段抛物线的开口向下;4DEP至1P在BC边上，即88J2时，如图 2,由题意得：BQ=x, BP=x_ 8, /CBD=45°,过点Q作QELBC于点E,则X,故选1二(x 8)2A.x2 2，2x ,此段抛物线的开口向上【点睛】本题以正方形为依托，考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、等腰直角三角形的性质和二次函数的图象等知识，分情况讨论、正确列出二次函数的关系式是解题的关键12 .抛物线y=4+bx+c上部分点的横坐标 x、纵坐标y的对应值如下表所

20、示:x2T012y04664从上表可知，下列说法错误的是A.抛物线与x轴的一个交点坐标为（N, 0） B.抛物线与y轴的交点坐标为（0, 6）C.抛物线的对称轴是直线 x=0D.抛物线在对称轴左侧部分是上升的【答案】C【解析】【分析】【详解】解：当 x=-2 时，y=0,，抛物线过（-2, 0）,，抛物线与x轴的一个交点坐标为（-2, 0）,故A正确；当 x=0 时，y=6,，抛物线与y轴的交点坐标为（0, 6）,故B正确；当 x=0 和 x=1 时，y=6,，对称轴为x=1 ,故C错误；2当xv 1时，y随x的增大而增大，2，抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D正确；故选C.13 .二次函数

21、y=-x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2,若关于x的一元二次方程-5<t <4【解析】【分析】先根据对称轴x=2求得m的值，然后求得 x=1和x=5时y的值，最后根据图形的特点，得 出直线y=t在直线y=-5和直线y=4之间包括直线 y=4.【详解】.抛物线的对称轴为 x= 2,如图，关于x的一兀二次方程-x2+mx - t=0的解就是抛物线 y=-x2+mx与直线y=t的交点 的横坐标当 x=1 时，y=3,当 x=5 时，y= - 5,由图象可知关于 x的一元二次方程-x2+mx- t=0 （t为实数）在1vxv 5的范围内有解,则直线y=t在直线y=-5和直线y=4之间

22、包括直线 y=4,- 5<t<4故选：D.本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程有解，反映在图象上即图象与x轴（或某直线）有交点.14.已知二次函数y= ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（）A. ac>0B. b>0C. a+cv0D, a+b+c=0【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.【详解】A.由图象可知：a< 0, c>0, .ac<0,故A错误；B.由对称轴可知：x= < 0, 2a .b<0,故B错误；C.由对称轴可知：x= = - 1 2ab= 2a,.x=1 时，y=0,a

23、+b+c= 0,c= - 3a,a+c= a-3a= - 2a>0,故 C错误；故选D.【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型.21.15.抛物线y ax bx c （ a,b,c是吊数），a 0 ,顶点坐标为（一,m）.给出下列结23 1一论：右点（n, y1）与点（一2n, y）在该抛物线上，当 n 时，则y 於;关于x22的一兀二次方程ax2 bx c m 1 0无实数解，那么（）A.正确，正确B.正确，错误 C.错误，正确 D.错误，错误 【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的增减性进行判断便可；先把顶点坐标代入抛物线的解析式，求得

24、 m ,再把m代入一元二次方程 ax2-bx+c-m+1=0 的根的判别式中计算，判断其正负便可判断正误.【详解】1 1解：,一顶点坐标为 一，m ,n 2 2，点（n, y1）关于抛物线的对称轴 x=1的对称点为（1-n, y1）,23，点（1-n, y1）与 2n, y2在该抛物线的对称轴的右侧图像上，2-31Q （1 n） 2n n 02 231 n - 2n2, a>0,.当x>1时，y随x的增大而增大，2，yivy2,故此小题结论正确；1011把 一，m 代入 y=ax2+bx+c 中，得 m a b c, 2421b c2，、2-4a (a b) 4a 0 一兀二次方程

25、 ax2-bx+c-m+1=0 中，A , 221 一=b2-4ac+4am-4a b 4ac 4a a4，一兀二次方程 ax2-bx+c-m+1=0无实数解，故此小题正确；故选A.【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，第 小题，关键是通过抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来，再通过二次函数的增减性进行比较，第 小题关键是判断一元二次方程根的判别式的正负.16 .已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（）c>0;b2- 4ac< 0;a- b+ c>0;当x> 1时，y随x的增大而减小.A. 4个B. 3个C.

26、 2个D. 1个【答案】C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断 a与0的关系，由抛物线与 y轴的交点判断c与0的关系，然后 根据抛物线与x轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判 断.【详解】解：由图象可知，av 0, c> 0,故 正确；抛物线与x轴有两个交点，则 b24ac>0,故 错误；:当x=-1时，y>0,即a-b+c>0,故 正确；由图象可知，图象开口向下，对称轴 x>-1,在对称轴右侧，y随x的增大而减小，而在对 称轴左侧和-1之间，是y随x的增大而减小，故 错误.故选：C.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次

27、项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时，抛物线向上开口；当 a<0时，抛物线向下开口； 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在 y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右.常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与 y轴交于(0, c).抛物线与x轴交点 个数由判别式确定： =b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；=b2-4ac=0时，抛物线 与x轴有1个交点； tb2-4acv 0时，抛物线与x轴没有交点.17 .如图1, AABC中，/ A=30。，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线 A-C-B运动， 点Q从点A出发以vcm/s

28、的速度沿AB运动，P, Q两点同时出发，当某一点运动到点 B 时，两点同时停止运动.设运动时间为 x (s) , BPQ的面积为y (cm2) , y关于x的函1数图象由C1, C2两段组成，如图2所不，有下列结论：v= 1;sinB= ； 图象C23段的函数表达式为 y= - -x2+ x;AAPQ面积的最大值为 8,其中正确有()33> y(cnf)A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】 根据题意列出y= - AP?AQ?sinA,即可解答2根据图像可知 PQ同时到达B,则AB= 5, AC+CB= 10,再代入即可1把sinB= -，代入解析式即可3525金时，y最大=行-b

29、根据题意可知当x=- 2a当点P在AC上运动时,y= - AP?AQ?sinA=工 xy?vx= vx2,22，1 m ，当 x= 1, y=-时，得 v= 1,2故此选项正确； 由图象可知，PQ同时到达B,则AB=5, AC+CB= 10,当 P 在 BC上时 y=？x? (10-2x) ?sinB,24 1当x=4, y=-时，代入解得 sinB= ,33故此选项正确；当P在BC上时y= l?x2,、1(10 2x) X-=-3-x2+5x,，图象C2段的函数表达式为1 2.5 y= - - x + x,33故此选项不正确;3) -1 y=1 2 5x+ X,25.当 x=- 2a故此选项

30、不正确;故选A.【点睛】 此题考查了二次函数的运用，解题关键在于看图理解18.已知抛物线y=x2-2mx-4 (m>0)的顶点M关于坐标原点。的对称点为M',若点M'在这条抛物线上，则点 M的坐标为()A. (1, -5)B. (3, -13)C. (2, -8)D. (4, -20)【答案】C【解析】【分析】【详解】解：y x2 2mx 4=( x m)2 m2 4 ,点 M (m, m24)，点 M (m, m2+4) , /. m2+2m2-4=m2+4 解得 m=±2. ; m>0, /. m=2, /. M (2, 8).故选C.【点睛】本题考查二次函数的性质.19.平移抛物线L:y x2得到抛物线L ,使得抛物线L的顶点关于原点对称的点仍在抛物线L上，下列的平移中，不能得到满足条件的抛物线L的是()A.向右平移1个单位，再向下平移 2个单位B.向左平移1个