人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.2任意角的三角函数教案(3)

1、1.2.1任意角的三角函数（一）一、教学目标：1、知识与技能（1）掌握任意角的正弦、 余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3） 了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角a的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数2、过程与方法初中学过：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角，通过单位圆和角的终边，探讨任意角的三角函数值的求法，最终得到任意角三角函数的定义.根据角

2、终边所在位置不同，分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数 .讲解例题，总结方法，巩固练习 .3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利 于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲 突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数

3、也有不同，这些都会影响学生对 三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系二、教学重、难点重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）难点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.三、学法与教学用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦 函数.表明了正弦、余弦函数中从

4、自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了教学用具：投影机、三角板、圆规、计算器 四、教学设想第一课时任意角的三角函数（【创设情境】P (a, b)提问：锐角。的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾 .引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？如图，设锐角a的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.在a的终边上任取一点P(a,

5、b),它与原点的距离r = Ja2 +b2 0 .过P作x轴的垂线,垂足为 M ,则线段OM的长度为a,线段MP的长度为b.则sina =MP=b；OP rcosOM； tan吧上 OP rOM a思考：对于确定的角 a ,这三个比值是否会随点 P在a的终边 上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP的长r =1的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin世=b; cos空二a; tan吧.OPOPOM a思考：上述锐角a的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么，角的概念推广以后， 我们应该如 何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角

6、呢？本节课就研究这个问题一一任意角的三角函【探究新知】1 .探究：结合上述锐角的三角函数值的求法，我们应如何求解任意角的三角函数值呢？显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了 .所以，我们在此引入单位圆的定义：在直角坐标系中，我们称以原点 O为圆心，以单位长度为半径的圆.2 .思考：如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义？如图，设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y),那么:(1) y叫做a的正弦(sine),记做sina，即sin a = y ；(2) x 叫做 a 的余弦(cossine), 记做 cos a

7、,即 cosa = x ；(3)义叫做口的正切(tangent), 记做tan a ,即tana =)(x # 0). xx注意：当a是锐角时，此定义与初中定义相同(指出对边，邻边，斜边所在)；当a不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P(x, y),从而就必然能够最终算出三角函数值.3 .思考：如果知道角终边上一点，而这个点不是终边与单位圆的交点，该如何求它的三角函数值呢？前面我们已经知道，三角函数的值与点 P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离 r = x2 +y2 ,那么 sin 口= $ y , cosa =

8、: x , ,x2y2x2 y2tana =.所以，三角函数是以为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角x的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数4 .例题讲评5例1.求5-的正弦、余弦和正切值.例2.已知角a的终边过点P0(-3,-4),求角a的正弦、余弦和正切值教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法如例 2:设 x =4,y = 乂，则 r = q(T)+(_4)2 =5.y4x3, y4十sin =一, cos 二=一 =-一，tan 二=一=一.r5r5x35 .巩固练习弓7第1,2,3

9、题6 .探究：请根据任意角的三角函数定义，将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中:三角函数定义域第一象限第二象限第三象限第四象限角度制弧度制sin acos atana7.例题讲评. sin1：0 . ，一.例3.求证：当且仅当不等式组(成立时，角日为第三象限角.8.思考：根据三角函数的定义，终边相同的角的同一三角函数值有和关系？显然：终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一：sin(一i 12k二)=sin ：-cos(a +2kn) =cosa (其中 kZ)tan(二：12k 二)=tan-i9.例题讲评例4.确定下列三角函数值的符号，然

10、后用计算器验证：cJIO(1) cos250 ； (2) sin( -)；(3)tan(-672 )； (4) tan3二4例5.求下列三角函数值：9 二一 11 二(1) sin1480 10 ； (2)cos一 ； (3) tan( )46利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0至112n (或0。到360口)角的三角函数值.另外可以直接利用计算器求三角函数值，但要注意角度制的问题.10 .巩固练习P17第4,5,6,7题11 .学习小结(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同？(2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗？(3)请写出各三角函数的定义域；(4) 终边相同

11、的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?五、评价设计1 作业：习题1.2 A 组第 1,2 题2比较角概念推广以后, 三角函数定义的变化. 思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用. 另外 , 关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握, 知道推导方法.第二课时任意角的三角函数(二)【复习回顾】1 、 三角函数的定义；2、三角函数在各象限角的符号；3、三角函数在轴上角的值；4、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；5、三角函数的定义域.要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合 定义进行分析；并要求在理解的基础上记

12、忆.【探究新知】1 .引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数一一三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2 .边描述边画以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角豆为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点P（x,y）,过点P作PM _Lx轴交x轴于点M ,则请你观察：根据三角函数的定义：|MP闫yRsinot | ；|OM |=|x|=|cos： |随着a在第一象限内转动，MP、OM是否也跟着变化？3 .思考：（1）为了去掉上述等式

13、中的绝对值符号，能否给线段MP、OM规定一个适当的方向，使它们的取值与点P的坐标一致？（2）你能借助单位圆，找到一条如 MP、OM 一样的线段来表示角a的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角口的终边不在坐标轴时，以。为始点、M为终点，规定：当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值 x；当线段OM与x轴反向时，OM的方 向为负向，且有正值 x；其中x为P点的横坐标.这样，无论那种情况都有OM = x = cos：同理，当角a的终边不在x轴上时，以M为始点、P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值 y;当线段MP与y轴反向时，MP的方

14、向为负向，且有正值 y；其中y为P点的横坐标.这样，无论那种情况都有MP = y = sin ;4 .像MP、OM这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（ direct line segment ）.5 .如何用有向线段来表示角豆的正切呢？如上图，过点A（1,0）作单位圆的切线，这条切线必然平行于轴，设它与a的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识，借助有向线段 OA、AT,我们有tan - - AT x我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角口的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.6 .探究：（1）当角口的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出

15、它们的正弦线、余弦线和正切线吗？7 .例题讲解JT例1.已知 ； 0f ,试比较 久,tan u ,sin a ,cos a 的大小. 处理：师生共同分析解答，目的体会三角函数线的用处和实质.8 .练习P9第1,2,3,4 题9 学习小结10 ) 了解有向线段的概念.11 ) 了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角a的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用.【评价设计】1 .作业：比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器) *. _ *,* 一冗 ,n(1) sin15、tan15 (2) cos15018、cos121(3) 、ta

16、n2 .练习三角函数线的作图.1.2.2同角三角函数的基本关系一、教学目标：1、知识与技能(1)使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；(5)牢（6）灵活（7）掌握恒固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力; 运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法； 等式证明的一般方法.2、过程与方法由圆的几何性质出发，利用三角函数线，探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习已知一个三角

17、函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式 证明三角，rf等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习，巩固所学知识.3、情态与价值通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法二、教学重、难点22， sin 工重点：公式sin2 a十cos2 a =1及=tano（的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正cos ;切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.难点：根据角a终边所在象限求出其三角函数值；选

18、择适当的方法证明三角恒等式三、学法与教学用具利用三角函数线的定义，推导同角三角函数的基本关系式：sin2a +cos2o（ =1及网巴=tana ,并COs.：i灵活应用求三角函数值，化减三角函数式，证明三角，rf等式等.教学用具：圆规、三角板、投影 四、教学设想【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数 之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化.【探究新知】1 .探究：三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性质出发，讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗？如图：以正弦线MP ,余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三角形而且OP=1 .由勾股定理由MP2 +OM 2 =1 ,因此x2 +y2 =1 ,即.22，sin 二, cos - =1.sin ,工根据二角函数的te义，当a # kn +（k匚Z）时，有=tana .2cos-这就是说，同一个角a的正弦、余弦的平方等于1,商等于角a的正切.2 .例题讲评3 .例 6.已知 sin 口 = ,求 cosot ,tana 的值.sin aeos%tan 三者知一求二，熟练掌握.3.巩固练