第三章旋转对称系统

1、电子光学第三章第三章 旋转对称系统的高斯光学旋转对称系统的高斯光学31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动l轨迹方程l电子光学要研究和解决的问题是带电粒子的运动规律，从上一章的内容中我们得到了三种描述带电粒子运动规律的方法，他们分别是牛顿运动方程、拉格朗日方程和最小作用原理，前两个方程，描述了微分方程，最后一个描述的是积分方程，证明他们是等价的。31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动 如果从运动方程得到一个以位置坐标z为变量的微分方程，称为轨迹方程，与最小作用原理等价。本章采用的描述方法是从运动方程出发，通过数学变换，将方程中的时间坐标变换成位置坐标，从而得到轨迹方程

2、。通常描述带电粒子运动的基本方程式是牛顿运动方程，它是一个以时间为变量的二阶微分方程。本章描述的方法是一般教科书常用的方法。31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动直角坐标的运动方称的三个分量式分别为：直角坐标的轨迹方程)(0zxBxBzeyUeym )(0 xyByBxezUezm )(0yzBzByexUexm 31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动l利用能量守恒定律eUzyxmm)(22222020可以得到关于位置坐标变量z对时间t的一阶微分21220)1 (2yxUmez 31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动而坐标x,y对t的一阶和二阶微分可以

3、表示为xdzdzdzdxdtdzxdtdxydzdzy )()(dzdxzdzdzxdtddtdx )(dzdyzdzdzy Uyxmez)1 (2220)1 (2()1 (22222xyxmeUdzdyxmeUx 由于因此31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动l将上式中的z对时间的微分替代，然后再代入运动方程的左端得到0222222()11UdUdxm xmxydzxydz)(yzBzByzexUe再将z的微分代入上式，可以得到x方向的轨迹方程得分量方程为：而右端项为31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动22222()1(1)()2zydUxdzxyxyUy BB

4、Ux 22222()1(1)()2xzdUydzxyxyUBx BUy 31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动2. 圆柱坐标的轨迹方程圆柱坐标的轨迹方程l由于电子光学中，旋转对称系统常用圆柱坐标表示，从上一章中得到，从直角坐标的运动方程，经过坐标变换得到的圆柱坐标运动方程的三个分量方程为：zBerrUerrm )(2031旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动)()(120zrBrBzermdtdrrBerzUezm 0r z 同上节一样，将上述方程中对时间微分量换成对位置坐标的微分，可以得到圆柱坐标的轨迹方程。和，31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动首

5、先，利用上面的第二个方程，可以得到角动量守恒定律，从而得到旋转角动量其中上式第二式表示旋转方向的分量运动将得到的角速度代入其他两式，得到圆柱坐标表示的运动方程的r和z方向的两个分量式该方程表示一个以某一个角速度旋转的坐标系。31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动3.角动量守恒和旋转角速度l（313）式表示旋转方向分量方程，用磁矢量A位代替磁感应强度BrrArrezrArzeBrBzermdtdrzr)(1)(1)()(120zrArBr)(1rrArBz)(1方程为：31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动将方程中r1去掉，方程为：)()(20zrBrBzermdtd

6、由于全微分形式有：( )( )( )()drArArAerAezeredtzrtrrArezrAze)()(31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动l而由于对于恒定磁场有 0)(rAt因此右端项可以写成全微分形式)(erAdtd方程为：)()(20erAdtdrmdtd31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动写成全微分，因此有0)(20erArmd积分后得到)(00020020AererArmrm31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动l角动量守恒0r0A0其中：分别表示初始坐标、 磁矢位、旋转角速度。上式左端项表示角动量，右端项的第一项表示初始角动量第二项

7、表示磁通的增量。说明，带电粒子任一点的角动量，只取决于初始角动量及粒子运动过程中磁通量的变化，31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动rArA的变化引起的，若粒子运动中一磁力线上，角动量不变。表示磁通量函数，可以看出，角动量的变化是磁通量不变，或始终两点在同(2) 角速度利用布许定理可以得到粒子旋转运动角速度为)(220rcrrAme其中000200Arremc31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动zBerrUerrm )(20代入后可以写为即可得到不考虑旋转方向的，关于带电粒子在子午面的运动方程。如果将式得到的角速度代入圆柱坐标的第一和第三个方程中，将不包括旋转方向

8、的分量关于r方向的第一个方程为： 31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动2222221 ()()()zUrrr BrrAcrAcrArrrrrr 右端项写成=2221()()()() 2rAcrAcrAcrAcrrrrrr代入第二个方程Uzz2)2(rcrAz31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动得到圆柱坐标的运动方程形式rUr 2() 2rAcrrzUz 2() 2rAczr上面两个方程表示，当消除角速度后在r和z方向的运动，上的运动方程。也就是说，它表示的是一个以角速度旋转的子午面31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动4. 约化电位表示的运动方程一

9、项由磁位产生的运动，方程的表示不简便，如果令得到的运动方程包括两项，一项由电位产生的运动，2()2rAcQUr称为约化电位，运动方程可以简化为rQerm 0zQezm 031旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动5. 约化电位表示的能量守恒同样可以证明，用约化电位表示的运动方程遵从能量守恒定律。r z 将上面第一式乘以，第二式乘以後，两个方程将加，有00()QQdQm rrm zze rzerzdt 积分后得eQzrm)(2220常数 )(2220zrmeQ 或31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动l右端项表示粒子在子午面方向运动的动能，总能量为旋转运动的动能加上子午面

10、方向的动能。l可以看出，与静电场的电位意义不同，约化电位与磁场分布有关，与粒子初始状态有关，即与000200Arremc有关。 这说明，发射点在磁场所处的位置影响粒子运动。31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动6. 圆柱坐标的轨迹方程 圆柱坐标下的运动方程，可以通过坐标变换，得到轨迹方程。 利用下列变换：cosrx sincosrrxsinry cossinrry可以得到柱坐标的能量关系式：2222222zrrzyxeUzrrmzyxm)(2)(222220222031旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动因此可以表示为 z 对 t 的微分形式为：eUrrzm) 1(2

11、2222022221222012)1 (2rrUrrUmez 由于t的微分算子可以表示为：dzdzdtdr zr z 而r的二阶微分为 )( r zdzdzr 31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动r 将和代入到第一个表示 r 分量的运动方程中zBerrUerrm )(20)()(120zrBrBzermdtdrr zr z 22212rrUz rrrUr zr22212因此22212rrUz )12(12222222rrrUdzdrrUr 31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动zBerrUerrm )(20由方程2 rBrrUrz得到zBrrrrUrUUrrrrr

12、Udzd2222222222122)1 ()12(代入后得到31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动7. 采用约化电位表示的轨迹方程l由于约化电位表示的方程简洁，方便，因此也可以从运动方程得到轨迹方程。rQedzzddzdrdzrdzzmdzdrzdzdzmrm)()(22000 关于 z 的方程为： 关于 r 的方程为： zQedzzdzmzm 00可以得到zQzdzzd31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动而从能量守恒公式中得到)1 (2220rzmeQ1202)1 (2rQmez 代入上式中rQezQzrr zzmrm )(00 )(2zQrrQzr )(212

13、zQrrQQrr 20)(2rcrAmeUQ31旋转对称场中的电子的运动旋转对称场中的电子的运动当只有电场时，方程为)(212zUrrUUrr 旋转方向的方程写成的形式：20rceAmedzdz20rceAmzedzd22122220)1 (2)(1rcrArrUrcrAmez32旁轴轨迹方程旁轴轨迹方程（1）旁轴轨迹的定义在电子光学要研究和解决的带电粒子的运动规律中，往往更为关心的是轴附近电子的运动，即离轴很近，斜率很小的电子轨迹，这部分带电粒子具有聚焦成像的特性，研究这部分轨迹的特性称为旁轴光学或近轴光学。（2）旁轴运动方程旁轴轨迹方程同样可以从运动方程得到。32旁轴轨迹方程旁轴轨迹方程直

14、角坐标的牛顿运动方程表达式为：)(yBzBxUxzy )(zBxByUyxz 在旋转对称电磁场中，已知，表示旁轴区的电位和磁感应强度的近似表达式为：)(4)(2zrzU xzBBx)(21yzBBy)(2132旁轴轨迹方程旁轴轨迹方程将其代入牛顿运动方程中，可得直角坐标的旁轴运动方程为：)()(21()(2yzByzzBxzx )()(21()(2xzBxzzByzy 如果采用一个旋转坐标，旋转角速度和角度为：（3）表示子午面的旋转坐标）zB(2ttdtzB0)(232旁轴轨迹方程旁轴轨迹方程旋转坐标和其对时间的微分与直角坐标的关系为 sincosyxXcossinyxYsincosyxYXc

15、ossinyxXY32旁轴轨迹方程旁轴轨迹方程对时间再求一次导数 sincos22yxYXYX cossin22yxXYXY （4）轨迹方程cos将上面的运动方程第一式乘以cos)()(21()(2cosyzByzzBxzx 然后相加， 左端项相加为sincos22yxYXYX 第二式乘以sinsin)()(21()(2sinxzBxzzByzy 32旁轴轨迹方程旁轴轨迹方程32旁轴轨迹方程旁轴轨迹方程( )( cossin)21( ) (cossin)2( )( cossin)z xyB z zyxB zyx右端相加为再考虑将下式代入 sincosyxXcossinyxYsincosyxYX

16、cossinyxXY代入得到直角坐标系的方程为：YzzBYzBXzBXX)(2()(2()(22 32旁轴轨迹方程旁轴轨迹方程又由于假设的旋转坐标条件)(2zBzzB )(2带入上面方程式中，可得)(2(22XzBX )(2(22YzBY 0)2(22 xBx 0)2(22 yBy 既为旁轴运动方程，再利用坐标的变换 ()dxzzxdz()dyzzydz32旁轴轨迹方程旁轴轨迹方程又根据能量守恒定律可以得到关于z 的表达形式eUyxzmyxzm)1 (2)(222202220 xy考虑当1，1时，上式去掉高阶项，可以得到0022meUmez带入运动方程式中，可得旁轴轨迹方程0)2(41)(2

17、xBxdzd0)2(41)(2 yBydzd)()(800zdzzBzz32旁轴轨迹方程旁轴轨迹方程可以得到用一个统一方程表示的旁轴轨迹方程为：0)2(41)(2 Bdzd0)2(4122 B在纯电场中，旁轴轨迹方程为：0412 在纯磁场中，旁轴轨迹方程为：082 B32旁轴轨迹方程旁轴轨迹方程旋转角速度20rrAme对于旁轴区2)(21rzBrA 因此旋转角速度也可以表示为：)(2)(20zBzBme由于上述的轨迹方程包含了会带来运算的误差，可以去掉一次项，提高计算精度。的一阶微分，因此采用分离变量，令)()()(zPzRz32旁轴轨迹方程旁轴轨迹方程)()()()()(zPzRzPzRz带

18、入旁轴轨迹方程中，可得：02)84()22(2 RPPPBRPPRP令其中的一次项为0，即022PP解一次微分方程为：ln41lnP41PPRPRPR 232旁轴轨迹方程旁轴轨迹方程因此，代入分离变量式中可得：)()()(41zzRz将其带入轨迹方程中，得到0)()( RzWzR8)(163)(22BzW上式为简正的旁轴轨迹方程，它的计算精度高于普遍的轨迹方程。33理想聚焦系统理想聚焦系统（1）旁轴轨迹解的形式l旁轴轨迹方程是一个二阶齐次线形常微分方程，假设它有两个线性无关的特解，)(zg)(zh分别为和微分方程通解，一般可以表示为两个特解的线性组合，即为： ，则可以得到)()()(21zhc

19、zgczx)()()(43zhczgczy假设有一点),(0000zyxP应该满足轨迹方程的解，将初始条件代入方程解的形式中，轨迹的初始点， 带电粒子通过此初始点时可以表示为： 32旁轴轨迹方程旁轴轨迹方程002010)()()(xzhczgczx004030)()()(yzhczgczy根据上述的初始条件，可以确定方程的两个积分常数)()(101002zgcxzhc)()(102004zgcyzhc将这两个系数代入解的表示式中，可以得到方程得通解，两个分量方程的解分别表示为：)()()()()()()(00100zhzhzgzgcxzhzhzx00300()( )( ) ( )( )()()

20、g zh zy zyc g zh zh zh z),(0000zyxP1c3c上式描述的是具有相同起始点轨迹，显然式中第一项为初始位置值，而系数轨迹曲线的斜率。的所有带电粒子表示如果上述轨迹经过另外的某一点),(iiiizyxP时，能够 使得下式成立，即满足第二式为0， 0)()()()(00iizhzhzgzg那么，可以得到在两个特定点的，关于两个特解的关系为 )()()()(00iizhzgzhzg代入解中得到iiixxzhzhzx00)()()(iiiyyzhzhzy00)()()(即，表示最终的位置与初始的位置成线性比例关系。这种情况表示，凡是从),(0000zyxP满足旁轴轨迹方程的

21、带电粒子，其运动的轨迹，最终都聚焦于 点发出的，斜率不同的，),(iiiizyxPiP0P0P点，称为的像，称为物点。 （2）横向放大率可以定义 )()()()(00zgzgzhzhMii为横向放大率，表示物像之间尺寸的关系。横向放大率为常数，只与物、像的z坐标有关，而与x,y坐标无关，从物点坐标横界面上发出的射线轨迹，都在像点坐标横截面上。（3）像转角0PiP由于我们采用了旋转坐标，所以物点一个方位角的差值，即为像转角，可以表示为：与像点之间具有08izzBdz也就是说，在方位角方向也有聚焦作用，即它的聚焦作用不仅表示在r方向，同时也存在于旋转方向。(5) 两条特殊轨迹的解由于物像之间的关系

22、与轨迹的具体路径无关，只与初始位置和最终的位置有关，因此，为了使求解简化，可以选取两条合适的轨迹，一条为从轴上入射，斜率为45，一条为平行于z轴入射，用这两条轨迹作为特殊的轨迹来讨论聚焦特性。1c2c3c4c0zz 0zz 如果选定两个轨迹后可以分别从方程解中的求得系数、，他们可以分别表示为轨迹在处，选取从轴上入射的轨迹时，和平面的初始位置和斜率。例如：在可以表示为：0)(0zg1)(0 zg平行入射的轨迹可以表示为：1)(0zh0)(0 zh代入式中002010)()()(xzhczgczx004030)()()(yzhczgczy002010)()()(xzhczgczx004030)()

23、()(yzhczgczy通过四个方程可以解出四个系数为：20cx10cx40cy30cy代入方程中为：)()()(00zgxzhxzx)()()(00zgyzhyzy共轭平面的位置可以确定为0)(izg横向放大率为)(izhM (6) 通过旁轴轨迹方程，可以得到焦点和焦距 0)(BzB0)(Uz 均匀轴向磁场，磁感应强度为=常数，=常数，阴极在磁场之外，在磁场中，电位为该电子光学系统的旁轴轨迹方称表示为：0802022UBdzd0222dzd222000088eBBmUU根据微分方程的理论，该微分方程的两个特解为：zzgcos)(zzhsin)(由)()()()(00zhzhzgzgii条件，

24、可得00sincossincoszzzzii上式的解为：nzzi0其中：emUBzzi00122说明该磁场具有聚焦作用，其具有等间距的n个像点。（7）什么叫圆电子透镜 在旋转对称电、磁场的旁轴区，对于斜率很小、r很小的带电粒子束，具有理想聚焦性质，这种旋转对称电磁场称为圆电子透镜。圆电子透镜聚焦成像性质可以表现为：（a）实现物平面到像平面的图像变换，形成电子或离子像 （b）聚焦电子或离子束(c) 线放大率与角放大率的关系-亥姆霍兹定理在电子像的变换中，除了要求具有一定的尺寸的聚焦束，即清晰的电子像外，还需要具有一定的电子密度。而电子束的密度与电子束张角有关，这需要有表述角放大的关系，因此，需要

25、建立角放大率与像放大率的关系。这个关系可以从旁轴轨迹方程中得到。)(zg)(zh假设微分方程的两个特解和分别满足旁轴轨迹方程：0)()2(41)(2 zgBzgdzd0)()2(41)(2 zhBzhdzd)(zh)(zg第一式乘以，第二式乘以得0)()()2(41)()(2 zhzgBzgdzdzh0)()()2(41)()(2 zgzhBzhdzdzg然后相减0)()()()(zgdzdzhzhdzdzg上式是一个全微分形式，写成全微分形式0)()()()(zgzhzhzgdzd积分后为)()()()()()()()(00000zgzhzhzgzgzhzhzgiiiii将选择的两条特殊轨迹

26、的初始条件有0)(0zg0)(izg00)( zgiizg)(分别表示轨迹的斜率，那么方程可以写为000hhiii其中0hhMi表示线放大率；0iM 表示角放大率。 上式即为拉格朗日-亥姆霍兹定理，它也可表示为：000hnhniiiIMM0上式说明，当物象平面的电位给定后，角放大率反比于线放大率，就是说，线放大率得到放大，束张角将减少。34基点和基本关系式1透镜的条件和作用0 0B我们知道，在旋转对称场中，当，和磁场对带电粒子具有聚焦作用，我们称之为圆电子透镜。时，电场2短透镜的定义当作用于带电粒子的电场和磁场集中在较短的区域内，即物平面和像平面均在场区外的情况称为短透镜，这类透镜的性质类似于

27、光学透镜，因此可以应用光学透镜的方法研究它。3.研究方法可以利用两条特殊的轨迹：即一条是从物平面的轴上发出的，与轴的夹角为45的轨迹；另一条是从垂直于物平面发出的，平行于轴的轨迹。通过这两条轨迹可以研究透镜和轨迹的一些特性 4. 基点有一个圆透镜是短透镜，物方和像方空间是无场空间，粒子轨迹为直线，粒子轨迹在场区受到作用弯曲，称为聚焦 研究聚焦特性可以利用上述的两条特殊的轨迹，一条为平行入射轨迹，在物方空间是一条直线，与轴平行，在透镜区受到折射，进入象方后又是一条直线，并与轴相交于点Fi，该点称之为像方焦点，可以证明，凡是物方平行入射的轨迹都交于像方焦点。(1) 像方焦点：0FiH同样像方平行入

28、射的轨迹都交于物方一点物方平行入射轨迹在像方与轴相交，这两条直线的延长线交于一点，该点称为像方主点，通过该点垂直与轴的平面称为像方主平面。(2) 物方焦点：，该点称之为物方焦点。(3) 主点：0HarariHiH可以证明，物方平行入射的所有轨迹的主点都在一个平面上。假如有两条轨迹同样，像方平行入射轨迹与物方通过焦点轨迹的延长线交点称物方主点，通过该点与轴相交的平面称为物方主平面。和分别由相交点和，主平面与焦点的距离可以分别表示为tgzrzzaiHiF)(0iHiFaaiHiFzzKtgzKrtgzKrzz)()(00证明两式相等，主平面重合。（4）焦距：焦点与主平面的距离称为焦距，定义为)()(0baaiHiFizrzrzzf其中)(bazr为轨迹在像方的斜率。上式称为像方焦距 同样可以得到物方焦距为 )()(000abbbHFzrzrzzf焦点和主点统称为基点。5.光线光学作图法（1）目的对于短透镜，利用光学作图方法，可以不考虑透镜区内轨迹的具体形状，只考虑透镜区外轨迹的直线段规律，就可以通过基点得到物像之间的关系，这样，只要知道透镜的参数，就不需要每次求解