材料力学课件及习题答案第5章弯曲内力

1、1第第 五五 章章 弯曲内力弯曲内力 2 1 平面弯曲的概念及梁的计算简图平面弯曲的概念及梁的计算简图一、弯曲的概念一、弯曲的概念1. 弯曲弯曲: : 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。2. 梁：梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。33. 3. 平面弯曲：平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一 平面内。 对称弯曲（如下图） 平面弯曲的特例。纵向对称面纵向对称面MP1P2q4非对称弯曲 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在对称面内，这种 弯曲则统称为非对称弯曲。 下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。

2、5二、梁的计算简图二、梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。1. 构件本身的简化构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。2. 载荷简化载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。3. 支座简化支座简化6固定铰支座 2个约束，1个自由度。如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。可动铰支座 1个约束，2个自由度。如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。7固定端 3个约束，0个自由度。如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。XAYAMA4. 梁的三种基本形式梁的三种基本形式简支梁M 集中力偶集中力

3、偶q(x) 分布力分布力悬臂梁8外伸梁 集中力集中力Pq 均布力均布力5. 静定梁与超静定梁静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。92 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩 一、弯曲内力：一、弯曲内力：举例举例已知：如图，P，a，l。 求：距A端x处截面上内力。PaPlYAXARBAABB解：求外力lalPYYlPaRmXXABAA)( , 0 , 00 , 010ABPYAXARBmmx求内力截面法xYMmlalPYQYACA , 0)( , 0AYAQMRBPMQ 弯曲构件内力剪力弯矩1. 弯矩：

4、M 构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。CC112. 剪力：Q 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。3.内力的正负规定:剪力Q: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。Q(+)Q()Q()Q(+)M(+)M(+)M()M()12 例例2：求图（a）所示梁1-1、2-2截面处的内力。xyqLQQqLY11 0解：解：截面法求内力。 1-1截面处截取的分离体 如图（b）示。图（a）1111 0)(qLxMMqLxFmiA二、例题二、例题qqLab1122qLQ1AM1图（b）x113L)axq Q22( axqMqLx

5、FmiB0)(21, 0)(22222-2截面处截取的分离体如图（c） )ax( qQqLY0222222)(21qLxaxqMxy图（a）qqLab1122qLQ2BM2x2图（c）141. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。2. 剪力图和弯矩图：)(xQQ 剪力方程)(xMM 弯矩方程)(xQQ 剪力图的图线表示)(xMM 弯矩图的图线表示3 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图15 例例3 3 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。PY)x(QO解：求支反力)Lx(PMxY)x(MOO 写出内力方程PL MPYOO ; PYOL根据方程画内力

6、图M(x)xQ(x)Q(x)M(x)xxPPLMO16解：写出内力方程根据方程画内力图qx)x(Q221qx)x(MLqM(x)xQ(x)Q(x)x qL22qLM(x)x17)3(6220 xLLq)x(Q解：求支反力内力方程3 ; 600Lq RLqRBAq0RA根据方程画内力图RBL)xL(LxqxM2206)(L33Q(x)x620Lq320Lqx27320LqM(x)+18一、一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系剪力、弯矩与分布荷载间的关系对dx 段进行平衡分析，有：0dd0)x(Q)x(Qx)x( q)x(QY)x(Qx)x( qdd 4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与

7、分布荷载集度间的关系dxxq(x)q(x)M(x)+d M(x)Q(x)+d Q(x)Q(x)M(x)dxAy xqxxQdd剪力图上某点处的切线斜率剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。等于该点处荷载集度的大小。 19q(x)M(x)+d M(x)Q(x)+d Q(x)Q(x)M(x)dxAy0)(d)()()(d(21)d(, 0)(2xMxMxMxxqxxQFmiA)(d)(dxQxxM弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。)(d)(d22xqxxM弯矩与荷载集度的关系是：弯矩与荷载集度的关系是：20二、剪力、弯矩与外力间

8、的关系二、剪力、弯矩与外力间的关系外力外力无外力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q0q0QQ0 x斜直线增函数xQxQ降函数xQCQ1Q2Q1Q2=P自左向右突变xQC无变化斜直线xM增函数xM降函数曲线M坟状xMx盆状自左向右折角 自左向右突变与m反xM折向与P反向MxM1M2mMM2121简易作图法简易作图法: : 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作 图的方法。 例例44 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。解: 利用内力和外力的关系及 特殊点的内力值来作图。特殊点特殊点: :端点、分区点（外力变化点）和驻点等。aaqaqA222230qaM;Q0 ; MqaQ2 ;qaMqaQ22

9、3; 0qaMQaaqaqA左端点：左端点：线形：线形：根据)(d)(dxQxxM)(d)(d22xqxxM； xqxxQdd；及集中载荷点的规律确定。分区点分区点A：M 的驻点的驻点：右端点：右端点：Qx223qaqaqa2xM23 例例66 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。解：求支反力2 ; 2qaRqaRDA0;2MqaQ左端点A：221;2qaMqaQB点左：221;2qaMqaQB点右：221;2qaMqaQC点左：M 的驻点：283; 0qaMQ221;2qaMqaQC点右：0 ; 21MqaQ右端点D：qqa2qaRARDQxqa/2qa/2qa/2+ABCDMxqa2/2q

10、a2/23qa2/8qa2/2+245 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图一、叠加原理一、叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。)()()()(221121nnnPQPQPQPPPQ )()()()(221121nnnPMPMPMPPPM 适用条件适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满 足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。25二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理 叠加方法叠加方法步骤：步骤： 分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； 将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不

11、是图形的简单拼凑）。26 例例77按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力P作用在梁AB的中点处）。qqPP=+AAABBBxM12Pa+xM+xM2 +22qa222qaPa=+27例例7 作下列图示梁的内力图。PPLPPLLLLLLL0.5P0.5P0.5P0.5PP0QxQ1xQ2x0.5P0.5P0.5P+P28PPLPPLLLLLLL0.5P0.5P0.5P0.5PP0M2x0.5PL0.5PL+M1x+0.5PLMxPL+29例例8 改内力图之错。a2aaqqa2ABQxxM+qa/4qa/43qa/47qa/4qa2/449qa2/323qa2/25qa2/447;4qaRqaRBA3

12、0例例9 已知Q图，求外载及M图（梁上无集中力偶）。Q(kN)x1m1m2m2315kN1kNq=2kN/m+M(kNm)x+111.25316 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图一、平面刚架一、平面刚架1. 平面刚架：平面刚架：同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相 互刚性连接而组成的结构。 特点：特点：刚架各杆的内力有：Q、M、N。2. 内力图规定：内力图规定： 弯矩图：弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。 剪力图及轴力图：剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。32例例10 试作图示刚架的内力图。P1P2alABCN 图P2+

13、Q 图P1+P1P1aM 图P1aP1a+ P2 l33二、曲杆：二、曲杆：轴线为曲线的杆件。 内力情况及绘制方法与平面刚架相同。例例11 已知：如图所示，P及R 。试绘制Q、M、N 图。OPRqmmx解：建立极坐标，O为极点，OB 极轴，q表示截面mm的位置。)(0 )cos1 ()cos()(qqqqPRRRPPxM)(0 cos)(2qqqPPN)(0 sin)(1qqqPPQAB34OPRqmmx)(0 )cos1 ()cos()(qqqqPRRRPPxM)(0 cos)(2qqqPPN)(0 sin)(1qqqPPQABABOM图OO+Q图N图2PRPP+35一、内力的直接求法：一、

14、内力的直接求法： 求任意截面 A上的内力时，以 A 点左侧部分为研究对象，内力计算式如下，其中Pi 、 Pj 均为 A 点左侧的所有向上和向下的外力。剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图弯曲内力习题课弯曲内力习题课 iiAPPQ )( )(iAiAAPmPmM36)(d)(d22xqxxM 剪力、弯矩与分布荷载间的关系：剪力、弯矩与分布荷载间的关系：q(x) xqxxQdd)(d)(dxQxxM二、二、 简易作图法简易作图法: : 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。37 叠加原理：叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。)()()(

15、)(221121nnnPQPQPQPPPQ )()()()(221121nnnPMPMPMPPPM 38例例12 绘制下列图示梁的弯矩图。2PaaP=2PP+xM1=+2PaxM2+2PaxM+Pa(1)39(2)aaqqqq=+=+xM23qa2/2xM1+qa2/2xMqa240(3)PaaPL/2=+PxM2xM=+PL/2PL/4PL/2xM1+PL/241(4)50kNaa20kNm=+xM=+20kNmxM120kNm50kN20kNm20kNmxM250kNm+20kNm30kNm20kNm42yzhb)4(222yhIQbIQSzzz解： （1）横截面的剪应力为： 例例22结构如图，试证明： （1）任意横截面上的剪应力的合力等于该面的剪力； （2）任意横截面上的正应力的合力矩等于该面的弯矩； （3）过高度中点做纵截面，那么，此纵截面上的剪应力的 合力由