第十一讲：二元随机变量函数的分布

1、一、二元连续型随机变量及其概率密度一、二元连续型随机变量及其概率密度),(yxf定义定义3.6 （P54） 对于二维随机变量对于二维随机变量(X, Y)，若存在一个非负可若存在一个非负可积函数积函数，使对使对 (x, y) R2，其分布函数其分布函数 xydsdttsfyYxXPyxF),(,),(),(yxf则称则称 (X, Y)为二为二元元连续型随机变量，连续型随机变量，为为(X, Y)的密度函数的密度函数(概率密度概率密度)，或，或X与与Y的的联合密度函联合密度函数数，可记为，可记为 (X, Y) ， (x, y) R2),(yxf二元连续型随机变量二元连续型随机变量联合密度联合密度的性

2、质的性质(P54) (1)非负性非负性： 0, (x, y)R2; (2)归一性归一性： ),(yxf1),(dsdttsf(4)重要公式重要公式:对于任意平面区域G R2, GdxdyyxfGYXP.),(),(yxyxFyxfyxf),(),(:),()3(2的连续点处有在边际密度函数（边际密度函数（P55）),(),(yxfYX设,),()(的边际密度为关于称XdyyxfxfX,),()(的边际密度为关于称YdxyxfyfY., 的总长的比例那部分的长占内的包含在等于区间则上的均匀分布服从区间若随机变量babadcdXcPbaX态分布二、二元均匀分布及正 GUYXGYXothersGyx

3、SyxfYX),( :)( 0),( 1),()( , S,G (P56) 记为上的均匀分布。服从，则称的联合概率密度为，二元随机变量若其面积为为平面上的有界区域设定义.),(,),( 的总面积的比例那部分的面积占内的包含在区域等于区域则上的均匀分布服从区域若随机变量GGWWYXPGYX);,;,(),( :)(100121),()( (P57) 22212121,21,21)(2)1(2122122221212112NYXYXyxfYXyyxx记为服从二元正态分布。，称时，均为常数。，其中的联合概率密度为：，二元连续型随机变量若定义），（）；，（则若222211222121);,;,(),(

4、 NYNXNYX三三、连续型连续型随机变量的随机变量的条件分布条件分布(P57)(),()|(:,0)( )(),()|(:,0)( ),(),(),(),(57000|0000|0yfyxfyyxfXyYyfxfyxfxxyfYxXxfyfxfyxfYXPYYXYXXYXYX的条件密度为的条件下在对一切的条件密度为的条件下在对一切则边际概率密度分别为，的联合概率密度为）设定义（四四、随机变量的独立性、随机变量的独立性（P58）定理：定理：随机变量随机变量X X与与Y Y独立的充分必要条件独立的充分必要条件是是 F(x,y)=FX(x)FY(y) )2()1(, jijijiijppyYPxX

5、PyYxXPpYX条件是）相互独立的充分必要，变量（定理：二元离散型随机定理：定理： 设设(X,Y)(X,Y)是二元连续型随机变量，是二元连续型随机变量，X X与与Y Y独独立的充分必要条件是立的充分必要条件是)()(),(yfxfyxfYX要求：要求：（1 1）会由二元连续型随机变量的）会由二元连续型随机变量的联合密度求边际密度并能进行简单的联合密度求边际密度并能进行简单的相关概率计算。相关概率计算。 (2) (2) 两个随机变量相互独立时，两个随机变量相互独立时，联合分布与边际分布的关系。联合分布与边际分布的关系。 在第二章中，我们讨论了一元随机变量函数在第二章中，我们讨论了一元随机变量函

6、数的分布，现在我们进一步讨论的分布，现在我们进一步讨论:我们只讨论几种特殊情形：我们只讨论几种特殊情形：当随机变量当随机变量X1, X2, ,Xn的联合分布已知时，的联合分布已知时，如何求出它们的函数如何求出它们的函数 Y=g(X1, X2, ,Xn), i=1,2,m的分布的分布?第十一讲第十一讲 二元随机变量函数的分布二元随机变量函数的分布ijjipyYxXPYX,),(的联合分布为若ijjipyxfZPYXfZ),(),(的分布为则合并有取值相同的，将概率其中),(jiyxfZ 一、二元离散型随机变量函数的分布（一、二元离散型随机变量函数的分布（P60）或或 Yg(X)PYg(xk)pk

7、 ， k1, 2, （其中其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）有相同的，其对应概率合并。）一般地若随机变量一般地若随机变量X的分布列为：的分布列为：XPk而随机变量Y是X的函数，Y=g(X)，则Y的分布列为： kxxx21 kppp21 )()()(21kxgxgxgPk kppp21YYXZ1P的联合分布列为：，：已知二元随机变量例)(1YXXY的分布和求XYZYXZ210.10.10.20.0530.050.10.050.0520.050.10.10.051210-10.050 YXZ1P0.050 1 2 3 4 5 0.150.20 0.350.150.101 2 3 1 2 3

8、 4 2 3 4 5 0.1 0.1 0.05 0.05 0.05 0.1 0.05 0.05 0.2 0.10.15432101，：Z 所有可能取值为解05. 0) 1, 1()0(1YXPZP15. 0) 1, 2()0, 1() 1(1YXPYXPZP的联合分布列为：，：已知二元随机变量例)(1YXXY的分布和求XYZYXZ210.10.10.20.0530.050.10.050.0520.050.10.10.051210-1XYZ2P0.05-3 -2 -1 0 1 2 3 4 6 0.050.050.350.1 0.15 0.1 0.050.16 , 4 , 3210 , 1, 2,

9、 32，：Z所有可能取值为解05. 0) 1, 3() 3(2YXPZP05. 0) 1, 2() 2(2YXPZP05. 0) 1, 1() 1(2YXPZP35. 0) 0, 3() 0, 2() 0, 1() 0(2YXPYXPYXPZP1 . 0) 1, 1() 1(2YXPZP15. 0) 1, 2() 2, 1() 2(2YXPYXPZP1 . 0) 1, 3() 3(2YXPZP05. 0) 2, 2() 4(2YXPZP1 . 0) 2, 3() 6(2YXPZP：XYZ的分布为所以2的联合分布列为：，：已知二元随机变量例)(2YXXY的分布求),max(YXZ 0.10.10

10、.20.0530.050.10.050.0520.050.10.10.051210-1),max(YXZ P0.251 2 30.300.45321，：Z 所有可能取值为解25. 0) 1, 1() 0, 1() 1, 1() 1(YXPYXPYXPZP3 . 0) 2, 2() 1, 2() 0, 2() 1, 2() 2, 1() 2(YXPYXPYXPYXPYXPZP45. 0) 2, 3() 1, 3() 0, 3() 1, 3() 3(YXPYXPYXPYXPZP：YXZ的分布为所以),max(例例3 3：已知两随机变量与相互独立，其分布如下：已知两随机变量与相互独立，其分布如下：X

11、Y)15(YXP 11 10 9 XP P0.30.30.50.50.20.2 7 6 YP P 0.40.40.60.6解：解：12. 0)6()9(YPXP)16(YXP)6,10()7, 9(YXPYXP 的分布求YX YX P P0.120.380.380.12 181617150.380.40.50.60.318，17，16，15：的所有可能取值为YX )6, 9(YXP)17(YXP)6,107, 9(YXYXP或)6117,10(，YXYXP或38. 04 . 02 . 06 . 05 . 0)611()7,10(，YXPYXP)18(YXP12. 06 . 02 . 0)7,1

12、1(YXP解：依题意解：依题意 例例4 若若X和和Y相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为 的泊松分布的泊松分布, 求求Z=X+Y的分布的分布21,i=0,1,2,j=0,1,2,!)(ieiXPi11 !)(jejYPj22 kiikYiXP0),(kiikiiki02-1-)!-(e!e21kiikiikikke021)()!( !21,)(!21)(21kke即即Z服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布.21k=0,1，)()(kYXPkZP，的所有可能取值为：432 , 1 , 0YXZ)0,1, 1, 0(YkXkYXkYXP或或kiikYPiXP0)()(X和和

13、Y相互独立相互独立 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f (x,y),求求Z=X+Y的密度的密度 Z=X+Y的分布函数是的分布函数是:Ddxdyyxf),(这里积分区域这里积分区域D=(x, y): x+y z是直线是直线x+y =z 左下方的半平面左下方的半平面.二、二元连续型随机变量函数的分布二、二元连续型随机变量函数的分布（P61）1、 Z=X+Y的分布的分布FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)的分布的分布来求出转换为关于利用或密度函数的分布函数要求是已知的密度函数或的分布函数若连续型随机变量YXxXPxYPxGxgxGXYxfxFX)()()( )()()( ,)()( 化成累

14、次积分化成累次积分,得得zyxZdxdyyxfzF),()()(zFZdyyyzfzFzfZZ),()()(由由X和和Y的对称性的对称性, fZ (z)又可写成又可写成 dxxzxfzFzfZZ),()()(以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式(P62).yzdxyxf),(dy xzZdxdyyxfzF),()( 特别，当特别，当X和和Y独立，设独立，设(X,Y)关于关于X,Y的边际的边际密度分别为密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为则上述两式化为: dyyfyzfzfYXZ)()()(这两个公式称为这两个公式称为卷积公

15、式卷积公式 .（P62）dxxzfxfzfYXZ)()()(dyyyzfzFzfZZ),()()(为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 例例5 若若X和和Y 独立独立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度 .其它, 010, 1)(xxfdxxzfxfzfYXZ)()()(解解: 由卷积公式由卷积公式1010 xzx即即110 xzxx其它, 021,2 10,)(110zzZzzdxzzdxzf如图示如图示:dxxzfxfzfYXZ)()()(110 xzxx求求M=max(X,Y) 及及N=min(X,Y)的分布

16、函数的分布函数.P63设设X，Y是两个相互独立的随机变量，是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为FX(x)和和FY(y),2、M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布M=max(X,Y) (Mz) (Xz,Yz)又由于又由于X和和Y 相互独立相互独立,M=max(X,Y)的分布函数为的分布函数为: FM(z)=P(Mz)=P(Xz)P(Yz)=P(Xz,Yz)即有即有 FM(z)= FX(z)FY(z) 结论的运用可看一下结论的运用可看一下P63例例5=P63此处的此处的x,y应改为应改为z=Pmax(X,Y)z 类似地，可得类似地，可得N=min(

17、X,Y)的分布函数是的分布函数是即有即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) =1- -P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1- -P(Nz)=1- - P(Xz)P(Yz)(Nz)=(Xz,Yz)设设X1,Xn是是n个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,)(xFiX(i =0,1，, n)它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为 M=max(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为: )()(1zFzFXM)(zFnXN=min(X1,Xn)的分布函数是的分布函数是)(1 1)(1zFzFXN)(1 zFnX特别，当特别，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有时，有 FM(z)=F(z) nFN(z)=1-1-F(z) n与二维情形类似，可得与二维情形类似，可得: 需要指出的是，当需要指出的是，当X1,Xn相互独立且相互独立且具有相同分布函数具有相同分布函数F(x)时时, 常常称称M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)为极值为极值 . 由于一些灾害性的自然现象，如地震、由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要洪水等等