概率与统计综合复习

1、随机变量随机变量表示随机试验结果的变量表示随机试验结果的变量. .连续型随机变量连续型随机变量 可取某区间内一切值的随机变量可取某区间内一切值的随机变量. .离散型随机变量离散型随机变量 取值可按次序一一列出的随机变量取值可按次序一一列出的随机变量. .x x1 1x x2 2x xi ip pp p1 1p p2 2p pi i的分布列的分布列:离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：，321, 0).1( ipi1).2(321 ppp( , ):()(1)kkn knB n ppkC p qpq二项分布1( , ):()(1)kkg k ppkqp

2、qp 几何分布的期望的期望:1122nnEx px px p()E abaEb性质性质:( , ),B n pEnp若则( ,)ab 是随机变量1( , ),.g k pEp若则的方差的方差:221122()()DxEpxEp性质性质:222();.D aba DDEE( , ),.(1)B n pDnpq pq若则2( , ),.qg k pp若则DD抽样方法抽样方法:简单随机抽样简单随机抽样抽签法抽签法随机数表法随机数表法系统抽样法系统抽样法分层抽样法分层抽样法总体分布估计总体分布估计:频率分布表频率分布表频率分布条形图频率分布条形图(直方图直方图)累积频率分布图累积频率分布图(分布密度曲

3、线分布密度曲线) ,21222xexfx正态分布正态分布:2( ,)N 例例1 箱内有大小相同的箱内有大小相同的20个红球个红球,80个黑球个黑球,从中任取一个从中任取一个记录它的颜色后再放回箱内记录它的颜色后再放回箱内,进行搅拌后再任意取出一个进行搅拌后再任意取出一个,记录它的颜色后再放回箱内搅拌记录它的颜色后再放回箱内搅拌,假设三次都是这样抽取假设三次都是这样抽取,试回答下列问题试回答下列问题:求事件求事件A：“第一次取出黑球，第二次第一次取出黑球，第二次取出红球，第三次取出黑球取出红球，第三次取出黑球”的概率；的概率；求事件求事件B：“三次三次中恰有一次取出红球中恰有一次取出红球”的概率

4、；的概率；如果有如果有50人进行这样的人进行这样的抽取，试推测约有多少人取出抽取，试推测约有多少人取出2个黑球，个黑球，1个红球。个红球。解：解： 每次抽得红（黑）球的概率相等，取得红（黑）球每次抽得红（黑）球的概率相等，取得红（黑）球次数复从二项分布。次数复从二项分布。(1,2,3),iAii (1)记事件 为第 次取到黑球804()(1,2,3).1005iP Ai12344 416( )() () ()(1).55 5125p AP A P A P A例例1 箱内有大小相同的箱内有大小相同的20个红球个红球,80个黑球个黑球,从中任取一个从中任取一个记录它的颜色后再放回箱内记录它的颜色后

5、再放回箱内,进行搅拌后再任意取出一个进行搅拌后再任意取出一个,记录它的颜色后再放回箱内搅拌记录它的颜色后再放回箱内搅拌,假设三次都是这样抽取假设三次都是这样抽取,试回答下列问题试回答下列问题:求事件求事件A：“第一次取出黑球，第二次第一次取出黑球，第二次取出红球，第三次取出黑球取出红球，第三次取出黑球”的概率；的概率；求事件求事件B：“三次三次中恰有一次取出红球中恰有一次取出红球”的概率；的概率；如果有如果有50人进行这样的人进行这样的抽取，试推测约有多少人取出抽取，试推测约有多少人取出2个黑球，个黑球，1个红球。个红球。解：解： 每次抽得红（黑）球的概率相等，取得红（黑）球每次抽得红（黑）球

6、的概率相等，取得红（黑）球次数复从二项分布。次数复从二项分布。(2)记事件B:任取一球,恰取得红球.201( ).1005P B 则13 1331148(1)(1).55125pC 例例1 箱内有大小相同的箱内有大小相同的20个红球个红球,80个黑球个黑球,从中任取一个从中任取一个记录它的颜色后再放回箱内记录它的颜色后再放回箱内,进行搅拌后再任意取出一个进行搅拌后再任意取出一个,记录它的颜色后再放回箱内搅拌记录它的颜色后再放回箱内搅拌,假设三次都是这样抽取假设三次都是这样抽取,试回答下列问题试回答下列问题:求事件求事件A：“第一次取出黑球，第二次第一次取出黑球，第二次取出红球，第三次取出黑球取

7、出红球，第三次取出黑球”的概率；的概率；求事件求事件B：“三次三次中恰有一次取出红球中恰有一次取出红球”的概率；的概率；如果有如果有50人进行这样的人进行这样的抽取，试推测约有多少人取出抽取，试推测约有多少人取出2个黑球，个黑球，1个红球。个红球。解：解：48(2)(),5021,125p D由知设人中恰有 人取出 黑 红球记事件记事件D：1人有放回地取人有放回地取3球，恰有球，恰有2黑黑1红球，红球，48(50,),125B则485019.2,125E所以所以50人中约有人中约有19人取出人取出2个黑球，个黑球，1个红球。个红球。例例 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的甲、乙两人参

8、加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的道试题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中的道，乙能答对其中的8道，规道，规定每次考试都从备选题中随机抽出定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答题进行测试，至少答对对2题才能合格。题才能合格。 （1）求甲答对题数）求甲答对题数的概率分布及数学期望；的概率分布及数学期望； （2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。解：解：（1）依题意甲答对题数）依题意甲答对题数的分布列为的分布列为0123p1/303/101/21/61301303011923,265E (2)设甲、乙两人至少有一设

9、甲、乙两人至少有一人考试合格的事件为人考试合格的事件为A,B.2136463102( ),3C CCp AC21382831014( ),15C CCp BC故甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为故甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为11441()13 1545pp A B 例例 对三架仪器进行检验对三架仪器进行检验,各仪器产生故障是相互独立的各仪器产生故障是相互独立的,其其概率分别为概率分别为p1 ,p2 ,p3 .试证试证: 产生故障的仪器数的期望为产生故障的仪器数的期望为p1+p2 +p3证明：证明：设产生故障的仪器数为设产生故障的仪器数为(=0,1,2,3),其分布列为其分布列为:12

10、3(0)(1)(1)(1),pppp123213123(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)pppppppppp123123123(2)(1)(1)(1)pp pppppp p p123(3)pp p p其数学期望其数学期望为为:12312312312312311231231231230 (1)(1)(1) 1 (1)(1)(1)(1)(1)(1)2 (1)(1)(1)(1)(1)(1)3Eppppppp pppppppppp pppppp p pppp 练习练习: 1.某厂生产电子元件时其产品的次品率为某厂生产电子元件时其产品的次品率为5%,现从一现从一批产品中任意地连续选取出批产品中任意地连续选取出2件件,其中次品数其中次品数的分布列的分布列为为012P0.90250.0950.0025 2.从含有从含有500个个体的总体中一次性地抽取个个体的总体中一次性地抽取25个个体个个体,假定假定其中每个个体被抽取的概率相等其中每个个体被抽取的概率相等,那么总体中每个个体被抽那么总体中每个个体被抽取的概率等于取的概率等于_0.05 3.一个袋子里装有大小相同的一个袋子里装有大小相同的3个红球和个红球和2个黄球个黄球,从中抽取从中抽取出出2个个,其中含红球个数的数学期望是其中含红球个数的数学期望是_(用数字作答用数