322立体几何中的向量方法(二)

1、ZPZ空间空间“距离距离”问题问题一、复习引入一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意成相应的几何意义。义。（化为向

2、量问题）（化为向量问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形）（回到图形）空间空间“距离距离”问题问题1. 空间两点之间的距离空间两点之间的距离 根据两向量数量积的性质和坐标运算，根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式利用公式 或或 (其中其中 ) ，可将两点距离问题，可将两点距离问题转化为求向量模长问题转化为求向量模长问题2aa222zyxa),(zyxa 例例1：如图如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个顶点，那么以这个顶点为端

3、点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ A1B1C1D1ABCD图图1解：解：如图如图1，设，设 BADADAAAB， 11 6011DAABAA化为向量问题化为向量问题依据向量的加法法则，依据向量的加法法则，11AAADABAC 进行向量运算进行向量运算2121)(AAADABAC )(2112122AAADAAABADABAAADAB )60cos60cos60(cos2111 6 所以所以6|1 AC回到图形问题回到图形问题这个晶体的对角线这个晶体的对角线 的长是棱长的的长是棱长的 倍。倍。1AC6思考：思考：（1）本题中四棱柱的对角线）本题中四

4、棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？的长与棱长有什么关系？ （2 2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于于 , , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗确定棱长吗? ? A1B1C1D1ABCD11BBBCBABD 60 120 11BCBABBABC，其中其中分析分析:分析分析: 1111 DAABAABADxAAADABaAC，设设11 AAADABAC 则由则由)(211212221AAADAAABADABAAADABAC )cos3(2

5、3 222 xxa 即即ax cos631 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。（3 3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？ 设设AB=1 AB=1 （提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）A1B1C1D1ABCDH 分析：分析：面面距离面面距离点面距离点面距离. 11HACHAA于点于点平面平面点作点作过过 解：解：. 1的的距距离离为为所所求求相相对对两两个个面面之之间间则则HA111 AAADABBADADAABA 且且由由.

6、 上上在在 ACH3 360cos211)(22 ACBCABAC. 160cos60cos)(1111 BCAAABAABCABAAACAA31|cos 111 ACAAACAAACA36sin 1 ACA36sin 111 ACAAAHA 所求的距离是所求的距离是。 36问题：如何求直线问题：如何求直线A1B1到平面到平面ABCD的距离？的距离？ n A P O 2、向量法求点到平面的距离、向量法求点到平面的距离：例例 2:2: 如图，已知正方形如图，已知正方形 ABCD 的边长为的边长为 4，E、F 分分别是别是 AB、AD 的中点，的中点，GC平面平面 ABCD，且，且 GC2，求点求

7、点 B 到平面到平面 EFG 的距离的距离. DABCGFExyzDABCGFExyz(2, 2,0),( 2, 4,2),EFEG nEF nEG ，|BE|2 11.11ndn 2202420 xyxyZ 1 1(,1),3 3n B(2,0,0)E 例例 2 2: : 如图，已知正方形如图，已知正方形 ABCD 的边长为的边长为 4，E、F 分分别是别是 AB、AD 的中点，的中点，GC平面平面 ABCD，且，且 GC2，求点求点 B 到平面到平面 EFG 的距离的距离. APDCBMN解：如图解：如图, ,以以D D为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系D Dxyzxyz 则

8、则D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )a2aaAPDCBMNzxy2.(2.(课本第课本第107107页练习页练习2)2)如图，如图，6060的二面角的棱上有的二面角的棱上有A A、B B两点，两点，直线直线ACAC、BDBD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直ABAB，已，已知知ABAB4 4，ACAC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的长的长. . BACD 3如图 3-5，已知两条异面直线所成的角为，

9、在直线 a、b 上分别取 E、F，已知 AE=m，AF=n， EF=l，求公垂线 A A的长 d. EFEAA AAF 解：22()EFEAA AAF 2222()EAA AAFEA A AEA AFA A AF 当当E,F在公垂线同一侧时取负号在公垂线同一侧时取负号当当d等于等于0是即为是即为“余弦定理余弦定理”,AAEA AAAF =（或（或），），AFEA, 22222lEAA AAFEA AF 2222cosmdnmn 2222cosdlmnmn 1111013.4,2,90 ,ABCABCAAABCACBCBCAEABCEAB例 已知：直三棱柱的侧棱底面中为的中点。求与的距离。zxyABCC1).4 , 2 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 0(,1BAECxyzC则解：如图建立坐标系),4 , 2 , 2(),0 , 1 , 1 (1BAEC则的公垂线的方向向量为设).,(,1zyxnBAEC001BAnECn即即04220zyxyx取x=1,则y=-1,z=1,所以) 1 , 1, 1 ( n).0,0, 1 (,ACAC在两直线上各取点.332|1nACndBAEC的距离与EA1B1 小结小结 1、E为