4空间力系和重心3

1、第四章第四章 空间力系和重心空间力系和重心 课题课题41 41 空间力的投影空间力的投影 力对轴之矩力对轴之矩 课题课题42 42 空间力系平衡方程的应用空间力系平衡方程的应用 课题课题43 43 重心重心 平面图形的形心平面图形的形心 课题课题41 41 空间力的投影空间力的投影 力对轴之矩力对轴之矩1.1.一次投影法一次投影法 已知力F与三个坐标轴的夹角分别为、, 2.2.二次投影法二次投影法 已知力F与z轴的夹角为，力与轴所确定平面与x轴的夹角为。 conFFx一一. .力在空间直角坐标轴上的投影力在空间直角坐标轴上的投影 conFFyconFFz) 14( consin FFxsins

2、in FFyconFFz)24( yxzFxFFyFzyxzFFxyFxFzFy3.3.力沿坐标轴方向分解力沿坐标轴方向分解 FxFyFzFyFzFx4.4.已知投影求作用力已知投影求作用力 222zyxFFFFFFFFFFzyxcon;con;con)34( 二、二、力对轴之矩力对轴之矩 力对轴之矩是力使物体绕该轴转动效应的度量，是一个代数量。其正负号可按以下法确定：从z轴正端来看，若力矩逆时针，规定为正，反之为负。也可按右手螺旋法则来确定其正负号。 结论结论：三、合力矩定理三、合力矩定理 力对轴之矩等于力在力对轴之矩等于力在垂直于轴的平面上的投影垂直于轴的平面上的投影对该轴与平面交点之矩。

3、对该轴与平面交点之矩。 yxzFAFzdFxyyxOdFxydFFMFMxyxyOz)()( 力系合力对某轴之矩，等于各分力对同轴力矩的代数和。力系合力对某轴之矩，等于各分力对同轴力矩的代数和。)()()()(zzyzxzzFMFMFMFM四、应用举例四、应用举例例例4-1 4-1 图示托架OC套在轴z上，在C点作用力F=1000N，图中C点在Oxy面内。试分别求力F对x、y、z轴之矩。 解：解：1.应用二次投影法，求得各分力的大小为2.由合力矩定理求F对轴之矩FxyFxFyFz4660sin45conFFFx4260con45conFFFy2245sinFFFz)()()()(zxyxxxx

4、FMFMFMFMmN4 .4206. 021000200)()()()(zyyyxyyFMFMFMFMmN4 .3505. 021000200)()()()(zzyzxzzFMFMFMFM005. 041000206. 0410006mN1 .19C 五、平面解法五、平面解法 解：解：已知各分力1.在yz平面取平面投影FxyFxFyFz46FFx42FFy22FFz)()(0yzxFMFMmN4 .4206. 0210002)()(0 xzyFMFMmN4 .3505. 0210002)()(xyOzFMFM05. 041000206. 0410006mN1 .1940 20FyFzyzO2.

5、在xz平面取平面投影xzO50FxFz3.在xy平面取平面投影yxO40 2050CFyFx例例4-2 4-2 图示半径为r的圆盘，在与水平夹角为45半径的切平面上作用力F，求力F对x、y、z轴之矩。 解：解：1.将F沿坐标轴方向分解2.求F对x.y.z轴之矩4645sin30conFFFx4645con30conFFFy230sinFFFz22)(rFhFFMzyxhOyzx45F30FzFxFy4246FrFh22)(rFhFFMzxy4246FrFh2222)(rFrFFMyxz234343FrFrFr 平 面 解 法平 面 解 法：2.在坐标平面分别取投影46FFx46FFy2FFz2

6、2)(rFhFFMzyxhOyzx45F30FzFxFy4246FrFh22)(rFhFFMzxy4246FrFh2222)(rFrFFMyxz234343FrFrFr 解：解：1.将F沿坐标轴方向分解Oyz22rOxz22rFzFxFyxOy22r4522rFzFyyz平面平面xz平面平面xy平面平面Fz 课后作业：课后作业：工程力学练习册练习十一练习十一本课节小结本课节小结2.2.二次投影法二次投影法一一. .力在空间直角坐标轴上的投影力在空间直角坐标轴上的投影1.1.一次投影法一次投影法结论：结论：力对轴之矩等于力在垂直于轴的平面上的投影对该轴与力对轴之矩等于力在垂直于轴的平面上的投影对

7、该轴与平面交点之矩。平面交点之矩。 二、二、力对轴之矩力对轴之矩 力系合力对某轴之矩，等于各分力对同轴力矩的代数和。力系合力对某轴之矩，等于各分力对同轴力矩的代数和。conFFxconFFyconFFzconsin FFxsinsin FFyconFFzdFFMFMxyxyOz)()(三、合力矩定理三、合力矩定理)()()()(zzyzxzzFMFMFMFM一、空间力系的简化一、空间力系的简化 课题课题42 42 空间力系平衡方程的应用空间力系平衡方程的应用二、空间力系平衡方程二、空间力系平衡方程1.1.空间力系平衡条件：空间力系平衡条件：:0)(FMx:0 xF:0yF 1. 1.主矢主矢F

8、 F RCBAM1M2M3= =F RM0222222)()()()()()(zyxzyxRFFFFFFF 2. 2.主矩主矩M02220)()()(FMFMFMMzyx简化中心 OF2F1F3OF1F2F3OABC= =主矢主矢F F R=0, 主矩主矩M0=0。2.2.平衡方程平衡方程:0zF:0)(FMy:0)(FMz三、空间约束三、空间约束 1.1.轴承轴承 向心轴承：向心轴承：限制了轴端的上下移动和前后移动，不限制轴向移动。 2.2.空间固定端空间固定端 既限制了轴端的上下、前后、轴向的移动，又限制了绕x、y、z轴的转动。 约束力约束力用上下和前后两正交分力表示。FXFZFXFZ 推

9、力轴承：推力轴承：限制了轴端的上下、前后、轴向的移动。 约束力约束力用上下、前后、和轴向三个正交分力表示。FYxzyFXFZFY 约束端有三个约束力三个约束力和三个约束三个约束力偶矩。力偶矩。MXMYMZ应用举例应用举例 例例4-3 4-3 某传动轴图所示。已知轴B端联轴器输入外力偶矩为M0， 齿轮C分度圆直径为D, 压力角为,轮间距为a、b。求齿轮圆周力,径向力和轴承的约束力。 解：解：ABCM0abFnxzy 1.建立坐标系，将啮合力沿坐标轴方向分解为圆周力F和径向力Fr。FFr 2.画传动轴的约束力FAxFAZFBxFBZ 3.列平衡方程求解:0)(FMy020MDFDMF02tan2t

10、an0DMFFr:0)(FMx0)(aFbaFrBzbaaFFrBz:0zF0rBzAzFFFbabFFFFrrAzAz:0)(FMz0)(aFbaFBx:0 xF0FFFBxAxbaaFFBxbabFFFFBxAx平面解法：平面解法： 解：解：取平面投影列平衡方程xz平面：ABCM0abFnxzyFFrFAxFAZFBxFBZ:0)(FMy020MDFDMF02tan2tan0DMFFrOxzFAZ+FBZFAx+FBxFFrM0yz平面：OyzFAZFBZ:0)(FMx0)(aFbaFrBzbaaFFrBz:0zF0rBzAzFFFbabFFFFrrAzAzOyxxy平面：FFAxFBx:

11、0)(FMz0)(aFbaFBx:0 xF0FFFBxAxbaaFFBxbabFFFFBxAxFr解：解：画受力图列平衡方程求解 例例4-4 4-4 传动轴如图，已知带轮半径0.6m；自重2kN;齿轮半径r=0.2m，轮重G1=1kN.其中AC=CB=l=0.4m,BD=0.2m，圆周力Fz=12kN，径向力Fx=1.5kN,轴向力Fa0.5kN, 紧边拉力FT,的松边拉力Ft，FT=2Ft 。试求轴承、两处的约束反力。 :0)(FMy0)(RFFrFtTkN46 . 02 . 012RrFFtkN82tTFF:0)(FMx05 . 2)30sin45sin()(221lGFFlGFlFtTB

12、z:0zFkN57. 121125 . 2)25 . 04707. 08(BzF0)30sin45sin(21GFFGFFFtTBzAzkN09. 6)2266. 5(11257. 1AzF:0)(FMz05 . 2)30con45con(2lFFrFlFlFtTaBxkN03.124 . 021)46. 366. 5(1 . 06 . 0BxF:0 xF030con45contTrBxAxFFFFFkN41. 146. 366. 55 . 103.12AxF:0 xF0aAyFFkN5 . 0aAyFF 课后作业：课后作业：工程力学练习册练习十二练习十二本课节小结本课节小结一、空间力系的简化

13、一、空间力系的简化二、空间力系平衡方程二、空间力系平衡方程 1.1.轴承轴承 约束力约束力用上下和前后两正交分力表示三、空间约束三、空间约束 2.2.空间固定端空间固定端 约束端有三个约束力三个约束力和三个约束力偶矩。三个约束力偶矩。 1. 1.主矢主矢F F R222222)()()()()()(zyxzyxRFFFFFFF 2. 2.主矩主矩M02220)()()(FMFMFMMzyx平衡方程平衡方程:0)(FMx:0 xF:0yF:0zF:0)(FMy:0)(FMz一、物体重心的概念一、物体重心的概念 课题课题43 43 重心重心 平面图形的形心平面图形的形心 将物体分割为每个微重力将物

14、体分割为每个微重力G Gi i，构成一个平，构成一个平行力系。此平行力系的中心即是物体的重心。行力系。此平行力系的中心即是物体的重心。 xzyx1y1 G1xiyi GixcycCG二、二、重心的坐标公式重心的坐标公式 1. 1.重心坐标重心坐标 由合力矩定理知： iiCxGxGiiCyGyGiiCzGzGGxGxiiCGyGyiiCGzGziiC 2. 2.质心坐标和形心坐标质心坐标和形心坐标 对于均质物体，若用表示其密度，则gVgmGiiigVmgGGxGxiiCGyGyiiCGzGziiCmxmiiVxViimymiiVyViimzmiiVzVii重心坐标重心坐标 质心坐标质心坐标 形心

15、坐标形心坐标三、平面图形的形心坐标三、平面图形的形心坐标 对于均质薄平板，若表示其厚度， A表示微体面积，厚度取在轴方向，其V =A代入可得其形心的坐标公式为xzyyixiAiAxAxiiCAyAyiiC记Sy=Aixi ，称为图形对y轴的静矩静矩；Sx=Aiyi ，称为图形对x轴的静矩。静矩。此即表明，平面图形对某坐标轴的平面图形对某坐标轴的静矩等于该图形各微面积对静矩等于该图形各微面积对于同一轴静矩的代数和。于同一轴静矩的代数和。四、求重心的方法四、求重心的方法 1. 1.对称法对称法 对于均质物体，若在几何体上具有对称面、对称轴或对称点，则物体的重心或形心也必在此对称面、对称轴或对称点上

16、。 2. 2.实验法实验法 悬挂法 称重法 3.3.分割法分割法 无限分割法（积分法）无限分割法（积分法） 有限分割法（组合法）有限分割法（组合法）AniiixxAAd1nlinAniiiyyAdA1nlinAxAxAxAiiCdAAyAyAyAiiCdA 对于由简单形体构成的组合体，可将其分割成若干个简单形状的物体，当各简单形体重心位置可知时，可利用公式求出物体的重心位置。 圆 矩形 几种简单形体的重心（形心）坐标见表4-1 CC例例4-5 4-5 有一T字型截面如图所示，试求此截面的形心坐标。 解：解：1.将T型截面分割成两块矩形A1、A2 。2010010020 2.建立图示的坐标系，两

17、矩形截面的形心坐标分别为C1(50,110)，C2(50,50）。OxyC1C2212211AAxAxAAxAxCCiiCmm50100202010050100205020100212211AAyAyAAyAyCCiiCmm801002020100501002011020100 3. 3.将坐标系轴建立在图形的对称轴上。xy0002121AAAAxC2121060AAAAyCmm3010020201006020100结论：结论： 对称图形，若将坐标轴选在对对称图形，若将坐标轴选在对称轴上，可以使计算简便。称轴上，可以使计算简便。CA1A2例例4-6 4-6 平面图形如图所示，在矩形上挖去一圆形，试求此组合图形的形心坐标。 400600150200解：解：1.将图形分成矩形A1和圆形A2 。A1A2xy 2.建立坐标系，两矩形截面的形心坐标分别为C1(0,-150)，C2(0,0）。C1C20002121AAAAxC21210(-150)AAAAyCmm6 .172100600400(-150)6004002CyC结论：结论： 若有一形体从其基本形体中挖去部分，可把若有一形体从