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文档简介
1、矩阵的运算及其运算规则一、矩阵的加法与减法1、运算规则 设矩阵,则 简言之,两个矩阵相加减,即它们相同位置的元素相加减!注意:只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵(即同型矩阵),加减法运算才有意义,即加减运算是可行的2、 运算性质 (假设运算都是可行的) 满足交换律和结合律交换律 ; 结合律 二、矩阵与数的乘法1、 运算规则 数乘矩阵A,就是将数乘矩阵A中的每一个元素,记为或特别地,称称为的负矩阵2、 运算性质 满足结合律和分配律结合律: ()A=(A) ; (+)A =A+A分配律: (A+B)=A+B典型例题 已知两个矩阵 满足矩阵方程,求未知矩阵解由已知条件知 三、矩阵与矩阵
2、的乘法1、 运算规则 设,则A与B的乘积是这样一个矩阵:(1) 行数与(左矩阵)A相同,列数与(右矩阵)B相同,即(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘,再取乘积之和典型例题 设矩阵 计算 解是的矩阵设它为 想一想:设列矩阵,行矩阵,和的行数和列数分别是多少呢 是3×3的矩阵,是1×1的矩阵,即只有一个元素课堂练习 1、设,求2、在第1道练习题中,两个矩阵相乘的顺序是A在左边,B在右边,称为A左乘B或B右乘A如果交换顺序,让B在左边,A在右边,即A右乘B,运算还能进行吗?请算算试试看并由此思考:两个矩阵应当满足什么条件,才能够做乘法运算3、设列矩阵,
3、行矩阵,求和,比较两个计算结果,能得出什么结论吗?4、设三阶方阵,三阶单位阵为,试求和,并将计算结果与A比较,看有什么样的结论解: 第1题 第2题对于 ,求是有意义的,而是无意义的结论1只有在下列情况下,两个矩阵的乘法才有意义,或说乘法运算是可行的:左矩阵的列数右矩阵的行数第3题是矩阵,是的矩阵 结论2在矩阵的乘法中,必须注意相乘的顺序即使在与均有意义时
4、,也未必有=成立可见矩阵乘法不满足交换律第4题计算得:结论3方阵A和它同阶的单位阵作乘积,结果仍为A,即单位阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在我们普通乘法中的作用典型例题 设,试计算和解 结论4两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵由此若,不能得出或的结论利用矩阵的乘法,三元线性方程组 可以写成矩阵的形式 若记系数、未知量和常数项构成的三个矩阵分别为 ,则线性方程组又可以简写为矩阵方程的形式:2、 运算性质(假设运算都是可行的) (1)结合律(2)分配律(左分配律);(右分配律)(3) 3、 方阵的幂 定义:设A是方阵,是一个正整数,规定 , 显然,记号表示个A的连
5、乘积四、矩阵的转置1、 定义 定义:将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵,记作或例如,矩阵的转置矩阵为2、运算性质(假设运算都是可行的)(1) (2) (3) (4),是常数典型例题 利用矩阵 验证运算性质: 解 ;而 所以定义:如果方阵满足,即,则称A为对称矩阵对称矩阵的特点是:它的元素以主对角线为对称轴对应相等五、方阵的行列式1、定义 定义:由方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵A的行列式,记作或2 、运算性质 (1) (行列式的性质)(2) ,特别地: (3) (是常数,A的阶数为n)思考:设A为阶方阵,那么的行列式与A的行列式之间的关系为什么不是,而是?不妨自行设计一个二阶方阵,计
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